Ανισότητα Ναί!!!!

S.E.Louridas · #1

Ισχύει
$\frac{{\tan x}} {x} \geqslant \frac{x} {{\sin x}},\forall x \in \left( {0,\frac{\pi } {2}} \right);$

S.E.Louridas

#2

S.E.Louridas έγραψε:Ισχύει
$\frac{{\tan x}} {x} \geqslant \frac{x} {{\sin x}},\forall x \in \left( {0,\frac{\pi } {2}} \right);$

Ενδιαφέρον γιατί κοντά στο 0 είναι και τα δύο περίπου 1.

Ένας τρόπος απόδειξης της ανισότητας (υπάρχουν και άλλοι πιο φυσιολογικοί, αλλά βάζω έναν περίεργο) είναι:

Ισοδύναμα $\sin ^2x > x^2 \cos x}$ , που έπεται από τις

α) Στο διάστημα αναφοράς είναι 12 > x^2

άρα $\displaystyle{\frac{x^4}{6}> \frac {x^6}{72}$ οπότε και $\displaystyle- \frac{x^4}{3}+ \frac {x^6}{36} > -\frac {x^4}{2} + \frac {x^6}{24}}$

β) Έχουμε λοιπόν από γνωστές ανισότητες των $\sin x, \,\ \cos x$ , που αποδεικνύονται απλά και εντός ύλης, ότι

$\displaystyle {sin ^2 x > \left ( x- \frac {x^3}{6}\right)^2 = x^2 - \frac{x^4}{3}+ \frac{x^6}{36} > x^2 -\frac {x^4}{2} + \frac {x^6}{24}= x^2\left( 1 -\frac {x^2}{2} + \frac {x^4}{24} \right) > x^2 \cos x$ ,

όπως θέλαμε.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

KARKAR · #3

Μικροδιαφορές : Είναι για $x=\frac{\pi }{12}$

tanx-x = 0.061...

$\displaystyle\frac{tanx}{x}-\frac{x}{sinx}=0.012..$

Κερδίζει η μικρότερη διαφορά , η αποκαλούμενη και "Διαφορά Λουρίδα" !

S.E.Louridas · #4

Πέρα από την όμορφη και πρωτότυπη απόδειξη του Μιχάλη έχουμε και την εξής απόδειξη:
$f\left( x \right) = \frac{{\eta \mu x}} {{\sqrt {\sigma \upsilon \nu x} }} - x/\left[ {0,\frac{\pi } {2}} \right) \Rightarrow f\left( 0 \right) = 0\;\kappa \alpha \iota \;f{'} \left( x \right) > 0,x \in \left( {0,\frac{\pi } {2}} \right)....$

(*) Χρησιμοποιήσαμε ότι:
$1 + \sigma \upsilon \nu ^2 x - 2\sigma \upsilon \nu x\sqrt {\sigma \upsilon \nu x} \geqslant 1 + \sigma \upsilon \nu ^2 x - 2\sigma \upsilon \nu x = \left( {1 - \sigma \upsilon \nu x} \right)^2 ,x \in \left[ {0,\frac{\pi } {2}} \right].$
(**) Θα ήθελα να συμπληρώσω, ότι η επιλογή της συνάρτησης που χρησιμοποιήθηκε εδώ προήλθε τεχνικά από την εξαγωγή της τετραγωνικής ρίζας της ισοδύναμης σχέσης πρός την αρχική που θεώρησε ο Μιχάλης.

S.E.Louridas

Ανισότητα Ναί!!!!

Ανισότητα Ναί!!!!

Re: Ανισότητα Ναί!!!!

Re: Ανισότητα Ναί!!!!

Re: Ανισότητα Ναί!!!!

Μέλη σε σύνδεση