Σταθερή συνάρτηση

mathxl · #1

Αναζητείται σχολική λύση (έχω μη σχολική)

Έστω συνεχής συνάρτηση ορισμένη στο R. Αν |f(x)|=< M, για κάθε πραγματικό αριθμό x και τέτοια ώστε
$\displaystyle{ x\int_{x}^{x+1}f(t)\,\text{d}t=\int_{0}^{x}f(t)\,\text{d}t,\quad\text{for any}\ x\in\mathbb{R}. }$

Να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή.

Υπόδειξη

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Υπόδειξη 2

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#2

Μεταφέρω μία λύση του Νίκου Ζανταρίδη:

Θεωρούμε την $F(x)= \displaystyle\int_0^xf(t)dt$

Από την $x\displaystyle\int_x^{x+1}f(t)dt=\displaystyle\int_0^xf(t)dt$ προκύπτει ότι

$xF(x+1)=(x+1)F(x), \forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow \frac {F(x+1)}{x+1}=\frac {F(x)}{x}, \forall x>0$

Δηλαδή αν $g(x)=\frac {F(x)}{x}$ , τότε $g(x+1)=g(x), \forall x>0$

Έχουμε $F(x)=xg(x) \Rightarrow F^{\prime}(x)=g(x)+xg^{\prime}(x) \Rightarrow f(x)=g(x)+xg^{\prime}(x)$ (1)

Από την $g(x+1)=g(x), \forall x>0$ επαγωγικά παίρνουμε $g(x+n)=g(x), \forall x>0 \wedge \forall n \in \mathbb{N}^*$

και $g^{\prime}(x+n)=g^{\prime}(x), \forall x>0 \wedge \forall n \in \mathbb{N}^*$

Έτσι από την (1) προκύπτει ότι $f(x+n)=g(x+n)+(x+n)g^{\prime}(x+n)=g(x)+(x+n)g^{\prime}(x)$ (2)

Έστω ότι υπάρχει x_0>0

ώστε $g^{\prime}(x_0) \neq 0$ , τότε από τη (2) προκύπτει ότι

$\displaystyle\lim_{n \to \infty}f(x_0+n)= \pm \infty$ , άτοπο, αφού η

είναι φραγμένη.

Συνεπώς $g^{\prime}(x)=0, \forall x>0$ .

Ομοίως αποδεικνύεται ότι $g^{\prime}(x)=0, \forall x<0$ .

Άρα $g(x)=c_1, x>0 \wedge g(x)=c_2, x<0 \Rightarrow$

$F(x)=c_1x, x>0 \wedge F(x)=c_2x, x<0 \Rightarrow$

$f(x)=c_1, x>0 \wedge f(x)=c_2, x<0 \Rightarrow$

Η

όμως είναι συνεχής στο σύνολο των πραγματικών, συνεπώς

$\displaystyle\lim_{x \to 0^{-}}f(x)=\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}}f(x)=f(0) \Rightarrow$

c_1=c_2=f(0)

Άρα η

είναι σταθερή στο $\mathbb{R}$ και ικανοποιεί και την υπόθεση

Για την αντιγραφή

mathxl · #3

Ωραία η λύση του Νίκου

Έχω δει ακριβώς την ίδια λύση από τον Diogene στο mathlinks. Μπορούμε να βρούμε μια με σχολικά εργαλεία;

#4

Για σχολική λύση (Νίκος Ζανταρίδης):

$\displaystyle{x\int_x^{x+1}f(t)dt=\int_0^xf(t)dt}$ (1)

$\displaystyle{g(x)=\begin{cases} \frac {\int_0^xf(t)dt}{x} &x\neq 0\\ f(0), &x=0 \end{cases}}$

Είναι φανερό ότι η

είναι συνεχής στο $\mathbb{R}$

(1) $\Rightarrow ...\Rightarrow g(x+1)=g(x), \forall x>0$ (2)

(2) $\Rightarrow ... \Rightarrow g(x+n)=g(x), \forall n \in \mathbb{N}^*\wedge \forall x>0$ (3)

(1) $\displaystyle{\Rightarrow \int_x^{x+1}f(t)dt=g(x), \forall x>0}$ (4)

(4) $\displaystyle{\Rightarrow\int _x^{x+n}f(t)dt}=$

=g(x)+g(x+1)+...+g(x+n-1)=ng(x)

, λόγω της (3)

$\displaystyle{\Rightarrow \int_x^{x+n}f(t)dt=ng(x), \forall n \in \mathbb{N}^* \wedge \forall x>0}$ (5)
Έστω $x_1,x_2 \in (0,+\infty)$ με x_1<x_2

Τότε $\displaystyle{\int_{x_1+n}^{x_2+n}f(t)dt-\int_{x_1}^{x_2}f(t)dt=}$

$\displaystyle{\int_{x_2}^{x_2+n}f(t)dt-\int_{x_1}^{x_1+n}f(t)dt=}$ , λόγω της (5)

=n(g(x_2)-g(x_1))

(6)

Είναι $|f(x) \le M, \forall x \im \mathbb{R}\Rightarrow -M\le f(x) \le M, \forall x \in \mathbb{R}$

$\displaystyle{\Rigfhtarrow -M(x_2-x_1) \le \int_{x_1+n}^{x_2+n}f(t)dt \le M(x_2-x_1)}$ (a)

και $\displaystyle{-M(x_2-x_1) \le -\int_{x_1}^{x_2}f(t)dt \le M(x_2-x_1)}$ (b)

(a) και (b) $\displaystyle{\Rightarrow -2M(x_2-x_1) \le \int_{x_1+n}^{x_2+n}f(t)dt-\int_{x_1}^{x_2}f(t)dt\le 2M(x_2-x_1)}$

(6) $\displaystyle{\Rightarrow -2(M(x_2-x_1)\le n(g(x_2)-g(x_1)) \le 2M(x_2-x_1)}$

$\displaystyle{\Rightarrow -\frac {2M(x_2-x_1)}{n} \le g(x_2)-g(x_1) \le \frac {2M(x_2-x_1)}{n}}$ (7)

Από το κριτήριο παρεμβολής $\displaystyle{(7) \Rightarrow \lim_{n \to \infty}(g(x_1)-g(x_2))=0 \Rightarrow g(x_1)=g(x_2)}$

Άρα η

είναι σταθερή στο $(0,+\infty)$ . Ομοίως προκύπτει ότι είναι σταθερή και στο $(-\infty,0)$ και επειδή

είναι και συνεχής θα έχουμε $g(x)=c ,\forall x \in \mathbb{R}$

Άρα $\displaystyle{\frac {\int_0^xf(t)dt}{x}=c \forall x \neq 0 \wedge f(0)=c}$

$\displaystyle{\Rightarrow \int_0^xf(t)dt=cx \wedge f(0)=c}$

$\displaystyle{\int_0^xf(t)dt=cx, \forall x \in \mathbb{R}}$

$\Rightarrow f(x)=c, \forall x \in \mathbb{R}$

Για την αντιγραφή

#5

Η άσκηση αυτή, όπως δόθηκε, υπάρχει στο "Probleme de Calcul Integral" Radu Miculescu Cezar Lupu 2005.

Σταθερή συνάρτηση

Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση