Εξίσωση

#1

Να λυθεί στο σύνολο των πραγματικών η εξίσωση

$\displaystyle{4^x+6^{x^2}=5^x+5^{x^2}}$

#2

s.kap έγραψε:Να λυθεί στο σύνολο των πραγματικών η εξίσωση

$\displaystyle{4^x+6^{x^2}=5^x+5^{x^2}}$

Τη συναντήσαμε εδώ, αλλά δεν γράφτηκε πλήρης λύση. Υπάρχουν όμως μερικές βιβλιογραφικές αναφορές.

#3

matha έγραψε:
s.kap έγραψε:Να λυθεί στο σύνολο των πραγματικών η εξίσωση

$\displaystyle{4^x+6^{x^2}=5^x+5^{x^2}}$
Τη συναντήσαμε εδώ, αλλά δεν γράφτηκε πλήρης λύση. Υπάρχουν όμως μερικές βιβλιογραφικές αναφορές.

Θάνο σε ευχαριστώ, δεν την είχα προσέξει. Επειδή, όπως βλέπω έγινε πολύ κουβέντα, αλλά δεν δόθηκε πλήρης λύση, ας γράψω μία:

Θεωρώ τη συνάρτηση $f:(0,5] \to \mathbb{R}$ με $f(u)=u^x+(10-u)^{x^2}$ .

Έχουμε $f^{\prime}(u)=xu^{x-1}-x^2u^{x^2-1}$

Αν x<0

, τότε $f^{\prime}(u)<0$ , άρα η

είναι γνησίως φθίνουσα, συνεπώς

$f(4)=4^x+6^{x^2}>f(5)=5^x+5^{x^2}$

Αν 0<x<1

, τότε $10-u \ge 5 \Rightarrow x^2(10-u)^{x^2-1}<x(10-u)^{x-1} \le x5^{x-1}\le xu^{x-1}$

$\Rightarrow f^{\prime}(u)>0$ , άρα η

είναι γνησίως αύξουσα, συνεπώς

$f(4)=4^x+6^{x^2}<f(5)=5^x+5^{x^2}$

Αν x>1

, τότε $x^2(10-u)^{x^2-1}>x(10-u)^{x-1} \ge x5^{x-1}\ge xu^{x-1}$

$\Rightarrow f^{\prime}(u)<0$ , άρα η

είναι γνησίως φθίνουσα, συνεπώς

$f(4)=4^x+6^{x^2}>f(5)=5^x+5^{x^2}$

Άρα $f(4)=f(5) \Leftrightarrow x=0 \vee x=1$

Νασιούλας Αντώνης · #4

Ας δούμε και μια διαφορετική λύση, πιστεύω έχει κάποιο ενδιαφέρον αν και είναι κάπως περίεργη...

Έχουμε να λύσουμε την:

$\displaystyle 4^x+6^{x^2}=5^x+5^{x^2} \Leftrightarrow 6^{x^2}-5^{x^2}=5^x-4^x(1)$ .

Θεωρώ τις παραγωγίσιμες-συνεχείς συναρτήσεις:

$\displaystyle f(t)=t^x$ με $f{'}(t)=xt^{x-1}$
και
$\displaystyle g(t)=t^{x^2}$ με $g{'}(t)=x^2t^{x^2-1}$ .

Το θεώρημα Μέσης Τιμής για την

στο

μας εξασφαλίζει ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα $\xi_1 \in (4,5)$ τέτοιο ώστε $\displaystyle f{'}(\xi_1)=\frac{f(5)-f(4)}{5-4}=5^x-4^x (2)$ .

Επίσης, το θεώρημα Μέσης Τιμής για την

στο

μας εξασφαλίζει ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα $\xi_2 \in (5,6)$ τέτοιο ώστε $\displaystyle g{'}(\xi_2)=\frac{g(6)-g(5)}{6-5}=6^{x^2}-5^{x^2}(3)$

Από τις (2),(3) βλέπουμε ότι η (1) ισοδυναμεί με την:

$\displaystyle {g{'}(\xi_2)=f{'}(\xi_1) \Leftrightarrow x\xi_1^{x-1}=x^2\xi_2^{x^2-1}\Leftrightarrow x^2\xi_2^{x^2-1}-x\xi_1^{x-1}=0 \Leftrightarrow x( x\xi_2^{x^2-1}-\xi_1^{x-1})=0 \Leftrightarrow x=0 \vee x\xi_2^{x^2-1}-\xi_1^{x-1} =0}$

Η δεύτερη γίνεται:
$\displaystyle{x\xi_2^{x^2-1}-\xi_1^{x-1} =0\Leftrightarrow x\xi_2^{x^2-1}=\xi_1^{x-1}\Leftrightarrow x\left( \frac{\xi_2^{x+1}}{\xi_1}\right)^{x-1} =1}$

Αυτή έχει προφανή ρίζα το x=1

θα δείξουμε ότι είναι μοναδική.
Επειδή $\xi_1 \in (4,5)$ και $\xi_2 \in (5,6)$ είναι φανερό ότι x>0

.

Aν

πρέπει $\displaystyle \left( \frac{\xi_2^{x+1}}{\xi_1}\right)^{x-1} <1$ που είναι άτοπο.(*)
Αν x<1

πρέπει $\displaystyle \left( \frac{\xi_2^{x+1}}{\xi_1}\right)^{x-1} >1$ που είναι άτοπο(*)

Άρα τελικά έχουμε τις λύσεις $x=0 \vee x=1$

Σημείωση 1: Tα (*) προκύπτουν εύκολα από τη μονοτονία των εκθετικών.

Ελπίζω να μαι σωστός...

Εξίσωση

Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση