Υπάρχει συνάρτηση;

#1

Να εξετάσετε αν υπάρχει συνάρτηση $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ , τέτοια ώστε f(f(x)) + xf(x) = 1,

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ .

#2

socrates έγραψε:Να εξετάσετε αν υπάρχει συνάρτηση $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ , τέτοια ώστε για κάθε $x \in \mathbb{R}$ .

Αν υποθέσουμε ότι υπάρχει $\displaystyle{q}$ με $\displaystyle{f(q)=0,}$ από τη δοθείσα για $\displaystyle{x=q}$ λαμβάνουμε $\displaystyle{f(0)=1.}$

Τότε, για $\displaystyle{x=0}$ προκύπτει $\displaystyle{f(1)=1}$ άρα $\displaystyle{f(f(1))=1,}$ οπότε η αρχική για $\displaystyle{x=1}$ δίνει $\displaystyle{f(1)=0,}$ άτοπο.

Άρα είναι $\displaystyle{f(x)\ne 0}$ για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb{R}.}$

Τότε, εύκολα βλέπουμε ότι η $\displaystyle{f}$ είναι 1-1.

Επίσης, η αρχική για $\displaystyle{x=0}$ δίνει $\displaystyle{f(f(0))=1.}$

Θέτουμε στην αρχική $\displaystyle{x=f(0)}$ και λαμβάνουμε $\displaystyle{f(1)+f(0)=1}$ (*).

Θέτουμε στην αρχική $\displaystyle{x=1}$ και έχουμε $\displaystyle{f(f(1))+f(1)=1,}$ δηλαδή λόγω της (*) $\displaystyle{f(f(1))=f(0),}$ οπότε λόγω του 1-1 είναι $\displaystyle{f(1)=0}$ άτοπο.

Dreamkiller · #3

Έστω ότι υπάρχει τέτοια συνάρτηση.
Για x=0

παίρνουμε

και άρα

.
Για

και λαμβάνοντας υπ' όψιν την (2)

: $f(f(f(0)))+f(0)f(f(0))=1 \Leftrightarrow f(1)+f(0)=1 (3)$
Για x=1

παίρνουμε

Από τις

παίρνουμε

Από την

και

παίρνουμε

Για

και λαμβάνοντας υπ' όψιν τις (5), (6)

παίρνουμε $f(f(f(1)))+f(1)(f(f(1)))=1 \Leftrightarrow 1 +f(1)f(0)=1 \Leftrightarrow f(1)f(0)=0$ .
Αν f(1)=0

τότε

σύμφωνα με την (3)

και

. Τότε όμως f(f(f(1)))=f(1)=0

, άτοπο από την (6)

.
Αν

τότε

. Αλλά από την (1)

είναι

, άτοπο.
Άρα δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση.

Mulder · #4

$x=0 \to f(f(0))=1,(1)$

$x=1 \to f(f(1))+f(1)=1,(2)$

$x=f(x)\to f(f(f(x)))+f(x)f(f(x))=1 \Leftrightarrow f(f(f(x)))+f(x)(1-xf(x))=1 ,(3)$

Στη (3) για x=0

,και χρησιμοποιωντας την (1) παιρνουμε οτι f(1)+f(0)=1,(4)

Στη (3) για x=1

και χρησιμοποιωντας τις (2),(4) παιρνουμε $f(1-f(1))+f(1)(1-f(1))=1 \Leftrightarrow f(f(0))+f(1)-f^2(1)=1\Leftrightarrow f(1)=f^2(1) ,(5)$

Οι (4),(5) δινουν οτι $(f(1)=0 \wedge f(0)=1) \vee (f(1)=0 \wedge f(0)=0)$

Και για τις δυο περιπτωσεις εχοντας ως δεδομένο ότι f(f(0))=1

οδηγούμαστε σε αντίφαση.

Υπάρχει συνάρτηση;

Υπάρχει συνάρτηση;

Re: Υπάρχει συνάρτηση;

Re: Υπάρχει συνάρτηση;

Re: Υπάρχει συνάρτηση;

Μέλη σε σύνδεση