Αύξουσα συνάρτηση

#1

Μία κομψή (όχι δύσκολη) από το αρχείο του Θάνου:

Έστω $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ γνησίως αύξουσα συνάρτηση για την οποία ισχύει $f(f(x))=\frac {x}{\sqrt {x^2+1}}$ .

Αποδείξτε ότι υπάρχει $x_0 \in \mathbb{R}$ τέτοιο ώστε f(x_0)>1

#2

Έστω $f(x)\leq 1$ , για κάθε

Τότε $f(f(x))\leq f(1)$ , δηλαδή $\displaystyle \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\leq f(1)$ ,

οπότε για x>0

είναι $\displaystyle \frac{1}{x^2} \geq \frac{1}{f^2(1)}-1$ και παίρνοντας όριο στο $+\infty$ , $f^2(1)\geq 1$ .

Όμως, $0<f(1)\leq 1$ οπότε f(1)=1

.

Είναι $1\geq f(2)> f(1)=1$ , άτοπο.

mathxl · #3

Χεχε socrates θα σου κλέψω τον ρόλο. Κατά κανόνα υποδεικνύεις εσύ λινκσ αλλά αυτή είναι η 9 εδώ viewtopic.php?f=55&t=10627&start=20

#4

Ας δούμε και μία κάπως διαφορετική :

Κατ' αρχάς $f(1) \neq 1$ , γιατί αν f(1)=1

, τότε $\frac {1}{\sqrt{2}}=f(f(1))=f(1)=1$ , άτοπο.

Αν $f(x) \le 1, \forall x \in \mathbb{R}$ , τότε

$f(f(x)) \le f(1), \forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow \frac {x}{\sqrt{x^2+1}} \le f(1), \forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow$

$1=\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac {x}{\sqrt{x^2+1}} \le f(1)<1$ , άτοπο.

Αύξουσα συνάρτηση

Αύξουσα συνάρτηση

Re: Αύξουσα συνάρτηση

Re: Αύξουσα συνάρτηση

Re: Αύξουσα συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση