Εύρεση τύπου

mathxl · #1

Έστω η συνεχής συνάρτηση $\displaystyle{f:\left[ {0,1} \right] \to R}$ η οποία είνα αύξουσα και ισχύουν $\displaystyle{\int_0^1 f (x)dx = \int_0^1\left ( \int_0^x f (t)dt\right )dx = 0}$ . Να βρείτε τον τύπο της

.

Υπάρχουν ήδη δύο προσεγγίσεις υπόψη. Ενδιαφέρον έχει κάποια σχολική λύση(εάν δοθεί τέτοια)

#2

mathxl έγραψε:Έστω η συνεχής συνάρτηση $\displaystyle{f:\left[ {0,1} \right] \to R}$ η οποία είνα αύξουσα και ισχύουν $\displaystyle{\int_0^1 f (x)dx = \int_0^1\left ( \int_0^x f (t)dt\right )dx = 0}$ . Να βρείτε τον τύπο της f.

Υπάρχουν ήδη δύο προσεγγίσεις υπόψη. Ενδιαφέρον έχει κάποια σχολική λύση(εάν δοθεί τέτοια)

Δεν πιστεύω ότι μπορούμε να περιγράψουμε όλες τις

με τις παραπάνω ιδιότητες καθώς υπάρχουν άπειρες το πλήθος και μάλιστα γραμμικά ανεξάρτητες:

Με ολοκλήρωση κατά παράγοντες, η δεύτερη συνθήκη γίνεται

$\displaystyle{0 = \int_0^1(x){'} \left ( \int_0^x f (t)dt\right )dx = 0}= \left[ x \int_0^x f (t)dt \right]_0^1 - \int_0^1 xf(x)dx = 0 - \int_0^1 xf(x)dx$

Δηλαδή οι

που ψάχνουμε είναι εκείνες με $\displaystyle{\int_0^1 f (x)dx = \int_0^1xf (x)dx = 0}$ . Τέτοιες είναι (για να ξεφύγω από τα σχολικά) όλες οι κάθετες στις 1, x

στον χώρο Hilbert που παράγουν οι συνεχείς συναρτήσεις, ως προς εσωτερικό γινόμενο $<f,g>= \int_0^1f(x)g(x)dx$ . Υπάρχουν άπειρες με τις ιδιότητς αυτές. Π.χ. αν ξεκινήσουμε από τις $1, \, x, \, x^2, \, x^3 \, ...$ μπορούμε με Gram-Schmidt να βρούμε ολόκληρο ορθοκανονικό σύστημα. Συνεπώς υπάρχουν πολυώνυμα

οποιουδήποτε βαθμού $\ge 2$ που ικανοποιούν τις (*). Άρα δεν βλέπω πώς θα τις περιγράψουμε όλες με στοιχειώδη τρόπο. Αν επιτρεπόταν εκτός ύλης περιγραφή, θα έλεγα

"

ικανοποιεί τις (*) αν και μόνον αν $f \in \{1, x\}^{\perp}\cap \calc {C(0,1)}$ "

Φιλικά,

Μιχάλης

mathxl · #3

Μιχάλη χρόνια πολλά και η Παναγιά μαζί μας!

Δεν μπορώ να σε καταλάβω λόγω γνώσεων αλλά δεν πειράζει, μπορείς εσύ να ελέγξεις το παρακάτω και να βρεις κάποιο λάθος.
Παρουσιάζω μια λύση;!
Η $\displaystyle{F\left( x \right) = \int\limits_0^x f (t)dt,x \in \left[ {0,1} \right]}$ είναι συνεχής και παραγωγίσιμη με παράγωγο αύξουσα άρα κυρτή, συνεπώς το μέγιστο θα παρουσιάζεται σε κάποιο από τα άκρα του πεδίου ορισμού, είτε στο 0 είτε στο 1. όμως $\displaystyle{F\left( 0 \right) = F\left( 1 \right) = 0}$
Είναι $\displaystyle{\int\limits_0^1 {\left( {\int\limits_0^x f (t)dt} \right)} dx = 0 \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {F\left( x \right)} dx = 0}$
και $\displaystyle{F\left( x \right) \le 0}$ , υποθέτουμε ότι η συνεχής $\displaystyle{F}$ δεν είναι παντού μηδέν δηλαδή ότι σε κάποιο σημείο έχει αρνητική τιμή τότε θα ίσχυε $\displaystyle{\int\limits_0^1 {F\left( x \right)} dx < 0}$ άτοπο.
Συνεπώς λαμβάνουμε
$\displaystyle{F\left( x \right) = 0,\forall x \in \left[ {0,1} \right]}$
Με παραγώγιση $\displaystyle{f\left( x \right) = 0,\forall x \in \left[ {0,1} \right]}$
που επαληθεύει την υπόθεση.

#4

Βασίλη δεν βλέπω κάτι λάθος. Ο Μιχάλης απάντησε στο αρχικό ερώτημα παραβλέποντας ότι η

απαιτείται να είναι αύξουσα.

#5

Demetres έγραψε:Βασίλη δεν βλέπω κάτι λάθος. Ο Μιχάλης απάντησε στο αρχικό ερώτημα παραβλέποντας ότι η απαιτείται να είναι αύξουσα.

Σωστά! Όπως επισημαίνει ο Δημήτρης, δεν πρόσεξα την υπόθεση ότι η

είναι αύξουσα.
Άρα, άκυρο το σχόλιό μου...

Φιλικά,

Μιχάλης

mathxl · #6

Επαναφορά για σχολική λύση

#7

Μία διδάξιμη λύση:
'Εστω

μία παράγουσα της

. Αφού $\int\limits_0^1 f (x)dx = \int\limits_0^1 {\left( {\int\limits_0^x f (t)dt} \right)} dx = 0$ θα είναι $\left[ {F\left( x \right)} \right]_0 ^1 = \int_0^1 {\left[ {F\left( t \right)} \right]_0 ^x } dx = 0$ οπότε $F\left( 0 \right) - F\left( 1 \right) = \int_0^1 {F\left( x \right)dx - F\left( 0 \right)} = 0$ και επομένως
$\int_0^1 {F\left( x \right)dx = F\left( 0 \right)} = F\left( 1 \right)$ . Από το θεώρημα του Rolle συνάγουμε ότι υπάρχει κάποιο $\xi \in \left( {0,1} \right)$ τέτοιο ώστε $F'\left( \xi \right) = f\left( \xi \right) = 0$ . Από τη μονοτονία της

συμπεραίνουμε ότι η

είναι μικρότερη ή ίση του μηδέν στο $\left[ {0,\xi } \right]$ και μεγαλύτερη ή ίση του μηδέν στο $\left[ {\xi ,1} \right]$ . Επομένως (αυτό δεν το λέει το βιβλίο και πρέπει να λεχθούν δύο λέξεις) η

είναι φθίνουσα στο $\left[ {0,\xi } \right]$ και αύξουσα στο $\left[ {\xi ,1} \right]$ και επομένως το $F\left( \xi \right)$ είναι η ελάχιστη τιμή της. Θα αποδείξουμε ότι το $F\left( \xi \right)$ είναι ίσο με τα $F\left( 0 \right),F\left( 1 \right)$ . Αν όχι θα είναι $F\left( \xi \right) < F\left( 0 \right) = F\left( 1 \right)$ . Από το θεώρημα ενδιάμεσης τιμής κάθε αριθμός μεταξύ των $F\left( 0 \right)$ και $F\left( \xi \right)$ είναι τιμή της

και επομένως θα υπάρχει κάποιος $\xi _1$ με $0 < \xi _1 < \xi$ έτσι ώστε $F\left( \xi \right) < F\left( {\xi _1 } \right) < F\left( 0 \right)$ . Θα είναι
$F\left( 0 \right) = \int_0^1 {F\left( x \right)dx = }$
$\int_0^{\xi _1 } {F\left( x \right)dx} + \int_{\xi _1 }^\xi {F\left( x \right)dx} + \int_\xi ^1 {F\left( x \right)dx} \le$
$F\left( 0 \right)\left( {\xi _1 - 0} \right) + F\left( {\xi _1 } \right)\left( {\xi - \xi _1 } \right) + F\left( 1 \right)\left( {1 - \xi } \right) < F\left( 0 \right)\left( {\xi _1 - 0} \right) + F\left( 0 \right)\left( {\xi - \xi _1 } \right) +F\left(0 \right)\left( {1 - \xi } \right) = F\left( 0 \right)$
'Αρα $F\left( 0 \right)<F\left( 0 \right)$ (άτοπο). Επομένως τελικά $F\left( \xi \right) = F\left( 0 \right) = F\left( 1 \right)$ η μέγιστη τιμή της

συμπίπτει με την ελάχιστη τιμή της, η

είναι σταθερή και η παράγωγος της

είναι παντού μηδέν.
Μαυρογιάννης

.

Εύρεση τύπου

Εύρεση τύπου

Re: Εύρεση τύπου

Re: Εύρεση τύπου

Re: Εύρεση τύπου

Re: Εύρεση τύπου

Re: Εύρεση τύπου

Re: Εύρεση τύπου

Μέλη σε σύνδεση