Εμβαδό και συναρτησιακή

mathxl · #1

Να βρείτε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των f και g, με $\displaystyle{g\left( x \right) = \frac{2}{{1 + {x^2}}}}$ και $\displaystyle{ f(x) f(y) = f(xy) }$ για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς x,y. Δίνεται ότι $\displaystyle{ f^{\prime}(1) = 1 }$

#2

mathxl έγραψε:Να βρείτε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των f και g, με $\displaystyle{g\left( x \right) = \frac{2}{{1 + {x^2}}}}$ και $\displaystyle{ f(x) f(y) = f(xy) }$ για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς x,y. Δίνεται ότι $\displaystyle{ f^{\prime}(1) = 1 }$

Καλημέρα
Μήπως χρειάζεται περιορισμός f(x) διάφορο του 0;

dement · #3

Θεωρω οτι η

ειναι συνεχης αν και δεν αναφερεται.

Με αντικαταστασεις τιμων βρισκουμε f(0) = 0

και

. Χρησιμοποιουμε το γεγονος οτι η

δε μηδενιζεται σε αλλο σημειο εκτος απο το

, γιατι τοτε θα ειχαμε $f(x) = 0 \ \forall x \in \mathbb{R}$ και δε μπορει να εχει παραγωγο

πουθενα.

Αρα $f(x) > 0 \ \forall x>0$ και μπορουμε να θεωρησουμε τη συναρτηση $g(x) = \ln \left( f (e^x) \right)$ . Παρατηρουμε οτι η

ειναι συνεχης και εχει g(x+y) = g(x) + g(y)

οποτε, απο την ιδιοτητα Cauchy ισχυει g(x) = cx

και

για θετικα

(για καποιο c > 0

). Αφου $f^{\prime} (1) = 1$ εχουμε c = 1

και

για $x \geq 0$ .

Για x < 0

εχουμε δυο περιπτωσεις: Αν f(-1) = 1

η συναρτηση ειναι αρτια (η f(x) = |x|

) και αν

ειναι περιττη (η f(x) = x

). Εδω κανουμε χρηση του γεγονοτος οτι τα γραφηματα των f, g

πρεπει απο μονα τους να οριζουν χωριο πεπερασμενου μετρου, οποτε εχουμε f(x) = |x|

. Οι δυο συναρτησεις τεμνονται στα x = 1, -1

.

Το εμβαδον μας λοιπον ειναι το $\displaystyle 2 \int_0^1 \left( \frac{2}{1+x^2} - x \right) dx = 2 \times \left[2 \tan^{-1}x - \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = \pi - 1$

Δημητρης Σκουτερης

mathxl · #4

xr.tsif έγραψε:
Καλημέρα
Μήπως χρειάζεται περιορισμός f(x) διάφορο του 0;

Όχι δεν χρειάζεται΄

dement έγραψε:Θεωρω οτι η ειναι συνεχης αν και δεν αναφερεται.

Με αντικαταστασεις τιμων βρισκουμε και . Χρησιμοποιουμε το γεγονος οτι η δε μηδενιζεται σε αλλο σημειο εκτος απο το , γιατι τοτε θα ειχαμε $f(x) = 0 \ \forall x \in \mathbb{R}$ και δε μπορει να εχει παραγωγο πουθενα.

Αρα $f(x) > 0 \ \forall x>0$ και μπορουμε να θεωρησουμε τη συναρτηση $g(x) = \ln \left( f (e^x) \right)$ . Παρατηρουμε οτι η ειναι συνεχης και εχει οποτε, απο την ιδιοτητα Cauchy ισχυει και για θετικα (για καποιο ). Αφου $f^{\prime} (1) = 1$ εχουμε και για $x \geq 0$ .

Για εχουμε δυο περιπτωσεις: Αν η συναρτηση ειναι αρτια (η ) και αν ειναι περιττη (η ). Εδω κανουμε χρηση του γεγονοτος οτι τα γραφηματα των πρεπει απο μονα τους να οριζουν χωριο πεπερασμενου μετρου, οποτε εχουμε . Οι δυο συναρτησεις τεμνονται στα .

Το εμβαδον μας λοιπον ειναι το $\displaystyle 2 \int_0^1 \left( \frac{2}{1+x^2} - x \right) dx = 2 \times \left[2 \tan^{-1}x - \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = \pi - 1$

Δημητρης Σκουτερης

Δημήτρη σωστό το τελικό αποτέλεσμα και η πορεία από ένα σημείο και μετά
αλλά
1) όπως σωστά παρατήρησες δεν δίνεται η συνέχεια, άρα...
2) τα μπλε ισχύουν γιατί είμαστε στο λύκειο (χωρίο που περικλείεται)

hsiodos · #5

Μια αντιμετώπιση για τον τύπο της f

Για κάθε $x,y\in R$ ισχύει $f(x)f(y)=f(xy)\,\,\,\,(1)$

Αν $x\in R$ και y= 0 η (1) δίνει $f(x)f(0)=f(0)\Rightarrow f(0)(f(x)-1)=0$ και έτσι f(0)=0

γιατί διαφορετικά θα ήταν για κάθε $x\in R$ \displaystyle{f(x) = 1

f^\prime(1)\neq 1 , άτοπο.

Αν

x\in R

f(x)f(1)=f(x)\Rightarrow f(x)(f(1)-1)=0 και έτσι

f(1)=1

x\in R}

δηλαδή θα ήταν $f^\prime(1)\neq 1$ , άτοπο.

Επίσης από την (1) για x = y = -1 βρίσκουμε $f(-1)=1\,\,\,\,\, \acute{\eta }\,\,\,\,\,f(-1)=-1$

$f^\prime(1)= 1\Rightarrow \displaystyle\lim_{x\to1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1} =1\Rightarrow \displaystyle\lim_{x\to1}\frac{f(x)-1}{x-1} =1$

Έστω $x_0\in R^*$
$\displaystyle\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_o)}{x-x_o} =\displaystyle\lim_{h\to 1}\frac{f(x_oh)-f(x_o)}{x_oh-x_o}$ \displaystyle{=\displaystyle\lim_{h\to 1}\frac{f(x_o)f(h)-f(x_o)}{x_o(h-1)}} $=\displaystyle\lim_{h\to 1}\frac{f(x_o)(f(h)-1)}{x_o(h-1)}$ \displaystyle{=\frac{f(x_o)}{x_o}\displaystyle\lim_{h\to 1}\frac{f(h)-1}{h-1}=\frac{f(x_o)}{x_o} Δηλαδή για κάθε

x\in R^*

f^\prime(x)=\frac{f(x)}{x}\Rightarrow xf^\prime(x)-f(x)=0} $\Rightarrow \frac{xf^\prime(x)-f(x)}{x^2}=0$ $\Rightarrow\left(\frac{f(x)}{x} \right)^\prime=0$

$\bullet \,\,\,\,\alpha \nu \,\,\,\,x>0$
Τότε f(x)=c_1x

και από

προκύπτει

. Άρα f(x) = x , x > 0

$\bullet \,\,\,\,\alpha \nu \,\,\,\,x<0$
Τότε f(x)=c_2x

i) Αν

τότε προκύπτει c_2=1

, δηλαδή f(x) = x , x < 0 και επειδή f(0) = 0 τελικά θα είναι f(x) = x , $x\in R$
Τότε όμως όπως εύκολα βρίσκουμε οι C_g,C_f

έχουν μοναδικό σημείο τομής το (1,0) και δεν ορίζεται χωρίο. Συνεπώς η περίπτωση f(-1)=-1

απορρίπτεται.
ii) Θα είναι λοιπόν f(-1)=1

οπότε βρίσκουμε f(x) = -x , x <0

Επειδή f(0)=0 τελικά $f(x)=\left|x \right|$ για κάθε $x\in R$

Το ζητούμενο εμβαδόν έχει υπολογισθεί πιο πάνω από τον Δημήτρη.

Γιώργος

mathxl · #6

Πολύ σωστά

Εμβαδό και συναρτησιακή

Εμβαδό και συναρτησιακή

Re: Εμβαδό και συναρτησιακή

Re: Εμβαδό και συναρτησιακή

Re: Εμβαδό και συναρτησιακή

Re: Εμβαδό και συναρτησιακή

Re: Εμβαδό και συναρτησιακή

Μέλη σε σύνδεση