Καζαντζίδης 3

mathxl · #1

Από lupu
Έστω $\displaystyle{ f:\mathbb{R}\to (0,\infty) }$ μία παραγωγίσιμη συνάρτηση στο [α,b]. Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα $\displaystyle{ c\in (a,b) }$ ώστε να ισχύει $\displaystyle{ \displaystyle\frac{f^{\prime}(c)}{f(c)}=\frac{\int_{a}^{c}f(t)dt-\int_{c}^{b}f(t)dt}{\int_{a}^{c}f(t)dt\cdot\int_{c}^{b}f(t)dt} }$

#2

Βella Romania!!!
Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση:
$\displaystyle{\displaystyle g(x) = e^{f(x)} \int\limits_a^x {f(t)dt} \int\limits_x^b {g(t)dt} ,x \in \left[ {a,b} \right] }$ ,
με

$\displaystyle{\displaystyle g^{\prime} (x) = e^{f(x)} f^{\prime} (x)\int\limits_a^x {f(t)dt} \int\limits_x^b {g(t)dt} + e^{f(x)} f(x)\int\limits_x^b {f(t)dt - e^{f(x)}{f(x)} } \int\limits_a^x {f(t)dt} ,\forall x \in \left[ {a,b} \right] }$

βλέπουμε πως άνετα ικανοποιείται το Θεώρημα Rolle, συνεπώς....μετά απο πράξεις , καταλήγουμε στο ζητούμενο, συμπεριλαμβανομένου οτι τα ολοκληρώματα και η f δε μηδενίζονται ...

ΔΙΟΡΘΩΣΗ
Eίχα ξεχάσει ένα...f(x) και επενέβην εις τον κώδικα , προς διόρθωση...

k-ser · #3

Χρήστο, καλή η συνάρτηση!
Εγώ σκέφτηκα κάτι διαφορετικό:

Η συνάρτηση $\displaystyle F(x)=f(x)+\ln{(\int_a^xf(t)dt\int_x^{\beta}f(t)dt)$ ορίζεται και είναι παραγωγίσιμη στο (α,β) με όρια στο α και β $-\infty$ .
Αποδεικνύεται με την βοήθεια της συνέχειας, αυτό που λογικό φαίνεται: η F θα έχει μέγιστη τιμή σε κάποιο c ε (α,β) - δεν γράφω την απόδειξη, (αν κάποιος τη χρειάζεται, ας μου το πει να τη γράψω).
Από θεώρημα Fermat έχουμε το ζητούμενο.

mathxl · #4

Ωραιες λύσεις
Η λύση που έχω δει είναι αυτή του Χρήστου

ΥΓ: Ζητώ συγνώμη αν κάποιος παρεξηγήθηκε, από την ονομασία του θέματος. Πιστεύω ότι ο Καζαντζίδης είναι η μεγαλύτερη φωνή που πέρασε. Απλώς είχα διάθεση για χιούμορ (όσοι το βρήκαν αστείο

)

Καζαντζίδης 3

Καζαντζίδης 3

Re: Καζαντζίδης 3

Re: Καζαντζίδης 3

Re: Καζαντζίδης 3

Μέλη σε σύνδεση