Παραγωγίσιμη Συνάρτηση

#1

Έστω $\displaystyle{f,g:\left( {\alpha ,\beta } \right) \to \mathbb{R}}$ δύο συναρτήσεις και $\displaystyle{{x_0} \in \left( {\alpha ,\beta } \right)}$ . Υποθέτουμε ότι:

$\bullet$ Η $\displaystyle{g}$ είναι συνεχής στο $\displaystyle{{x_0}}$ και $\displaystyle{g\left( {x} \right) \ne 0}$ για κάθε $\displaystyle{x \in \left( {\alpha ,\beta } \right)}$ .

$\bullet$ Οι συναρτήσεις $\displaystyle{f \cdot g}$ και $\displaystyle{\frac{f}{g}}$ είναι παραγωγίσιμες στο $\displaystyle{{x_0}}$ .

Να εξατάσετε αν η $\displaystyle{f}$ είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{{x_0}}$ .

#2

...Καλησπέρα σου Βαγγέλη και σε όλη την παρέα... να δούμε είναι παραγωγίσιμη....

Αν $h(x)=f(x)g(x),\,\,\,\varphi (x)=\frac{f(x)}{g(x)}$ λόγω υπόθεσης οι $h,\,\varphi$ παραγωγίσιμες στο ${{x}_{0}}$ και $f(x)=\frac{h(x)}{g(x)},\,\,f(x)=\varphi (x)g(x)$ άρα

$\frac{h(x)}{g(x)}=\varphi (x)g(x)\Leftrightarrow {{g}^{2}}(x)=\frac{h(x)}{\varphi (x)}$ και επειδή $h,\,\varphi$ παραγωγίσιμες στο ${{x}_{0}}$ η $\kappa (x)={{g}^{2}}(x)$ παραγωγίσιμη στο ${{x}_{0}}$ οπότε επειδή

$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{g(x)-g({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,(\frac{{{g}^{2}}(x)-{{g}^{2}}({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}\cdot \frac{1}{g(x)+g({{x}_{0}})})={\kappa }'({{x}_{0}})\frac{1}{2g({{x}_{0}})}$ αφού η

συνεχής στο ${{x}_{0}}$ θα είναι και

παραγωγίσιμη στο ${{x}_{0}}$ οπότε και η

$\,f(x)=\varphi (x)g(x)$ είναι παραγωγίσιμη στο ${{x}_{0}}$ αφού η $g,\,\varphi$ παραγωγίσιμες στο ${{x}_{0}}$

... μάλλον είναι τελικά αλλά χρειάσθηκα βέβαια και ότι η f(x) δεν είναι μηδέν...ότι πεί ο κατασκευαστής

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

#3

Βασίλη καλησπέρα! Μια λίγο διαφορετική προσέγγιση:

Είναι: $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {g\left( x \right) + g\left( {{x_0}} \right)} \right) = 2g\left( {{x_0}} \right) \ne 0,}$

οπότε $\displaystyle{{g\left( x \right) + g\left( {{x_0}} \right) \ne 0}}$ για όλα τα $\displaystyle{x}$ κοντά στο $\displaystyle{{{x_0}}}$ .

Άρα, για $\displaystyle{x \in \left( {\alpha ,\beta } \right)}$ με $\displaystyle{x}$ κοντά στο $\displaystyle{{{x_0}}}$ , είναι:

$\displaystyle{\frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \frac{{\left[ {f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)} \right]\left[ {g\left( x \right) + g\left( {{x_0}} \right)} \right]}}{{\left( {x - {x_0}} \right)\left[ {g\left( x \right) + g\left( {{x_0}} \right)} \right]}} = }$

$\displaystyle{\frac{1}{{g\left( x \right) + g\left( {{x_0}} \right)}}\left[ {\frac{{f\left( x \right)g\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)g\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} + \frac{{f\left( x \right)g\left( {{x_0}} \right) - f\left( {{x_0}} \right)g\left( x \right)}}{{x - {x_0}}}} \right]=}$

$\displaystyle{ \frac{1}{{g\left( x \right) + g\left( {{x_0}} \right)}}\left[ {\frac{{f\left( x \right)g\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)g\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} + \frac{{\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} - \frac{{f\left( {{x_0}} \right)}}{{g\left( {{x_0}} \right)}}}}{{x - {x_0}}} \cdot g\left( x \right)g\left( {{x_0}} \right)} \right]}$

και το συμπέρασμα έπεται άμεσα!

Σημείωση: Πρόκειται για το Πρόβλημα Β3 του φετινού διαγωνισμού Putnam.

Παραγωγίσιμη Συνάρτηση

Παραγωγίσιμη Συνάρτηση

Re: Παραγωγίσιμη Συνάρτηση

Re: Παραγωγίσιμη Συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση