Σύνολο τιμών 2

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #1

Με αφορμή την άσκηση που έβαλε ο Βασίλης (mathxl) σε άλλο post ας δούμε μια άσκηση προσαρμοσμένη για θέμα εξετάσεων και μια γενικότερη, και αρκετά δύσκολη, που είναι για μας.

Άσκηση 1

Έστω $\displaystyle{\displaystyle f:R \to R}$ παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύει για κάθε $\displaystyle{\displaystyle x \in R}$ ότι $\displaystyle{\displaystyle {e^{{f^/}(x)}} \le \frac{\alpha }{2}}$ , με 0<α<2.
Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης f.

Άσκηση 2

Έστω $\displaystyle{\displaystyle f:R \to R}$ παραγωγίσιμη συνάρτηση.
Να βρεθεί η μικρότερη τιμή της παραμέτρου α για την οποία ισχύει για κάθε $\displaystyle{\displaystyle x \in R}$ ότι $\displaystyle{\displaystyle {e^{{f^/}(x)}} = \alpha \cdot \frac{{\left| {f(x)} \right|}}{{1 + {f^2}(x)}}}$

Θωμάς

hsiodos · #2

Άσκηση 1

Έστω $f:R \to R$ παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύει για κάθε $x \in R$ ότι ${e^{{f^/}(x)}} \le \frac{\alpha }{2}$ , με 0<α<2.
Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης f.
Λύση
Επειδή $\frac{a}{2}<1$ προκύπτει πως για κάθε $x \in R$ ισχύει $e^{f^\prime(x)}<1\Rightarrow f^\prime(x)<0$ και συνεπώς η f είναι γνησίως φθίνουσα.
Το σύνολο τιμών της f είναι το διάστημα $(\displaystyle\lim_{x\to +\propto }f(x),\displaystyle\lim_{x\to -\propto }f(x))$
Έστω ότι $\displaystyle\lim_{x\to +\propto }f(x)=k\in R$
Αν x > 0 από το ΘΜΤ στο [0 , x] βρίσκουμε $\xi \in (0,x)$ ώστε $f^\prime(\xi )=\frac{f(x)-f(0)}{x}$ $\Rightarrow e^{\frac{f(x)-f(0)}{x}}=e^{f^\prime(\xi )}$ και λόγω του δεδομένου προκύπτει $e^{\frac{f(x)-f(0)}{x}}\leq \frac{a}{2}$
Παίρνοντας τα όρια στο + άπειρο στην τελευταία σχέση βρίσκουμε $1\leq \frac{a}{2}$ που είναι άτοπο. Άρα το $\displaystyle\lim_{x\to +\propto }f(x)$ δεν είναι πραγματικός.
Με όμοιο τρόπο (ΘΜΤ στο [χ,0] , χ<0) δείχνουμε ότι και το $\displaystyle\lim_{x\to -\propto }f(x)$ δεν είναι πραγματικός.
Συμπεραίνουμε ότι $\displaystyle\lim_{x\to +\propto }f(x)=-\propto$ και $\displaystyle\lim_{x\to -\propto }f(x)=+\propto$
Επομένως το σύνολο τιμών της f είναι το R .

Γιώργος

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #3

Καλησπέρα Γιώργο και λοιποί φίλοι.

Όντως το σύνολο τιμών της είναι το IR.
Θα δώσω και μια άλλη λύση, αργότερα, αφού βλέπω ότι απαντάς και στην άλλη άσκηση.
Σε ευχαριστώ,
να είσαι καλά
Θωμάς

hsiodos · #4

Άσκηση 2

Έστω $f:R \to R$ παραγωγίσιμη συνάρτηση.
Να βρεθεί η μικρότερη τιμή της παραμέτρου α για την οποία ισχύει για κάθε $x \in R$ ότι ${e^{{f^/}(x)}} = \alpha \cdot \frac{{\left| {f(x)} \right|}}{{1 + {f^2}(x)}}$ (1)

Λύση
Αρχικά παρατηρούμε ότι για να ισχύει η (1) για κάθε $x \in R$ πρέπει α > 0 και η f να μην μηδενίζεται.

Θεωρούμε την συνάρτηση $g(x)=\frac{x}{1+x^2},x>0$
Μελετώντας την κατά τα γνωστά βρίσκουμε ότι για κάθε χ > 0 ισχύει $0<g(x)\leq \frac{1}{2}$ (το = για χ=1)

Συνεπώς για κάθε $x \in R$ ισχύει:

$0<g\left(\left|f(x) \right| \right)\leq \frac{1}{2}$ \displaystyle{\Rightarrow \frac{\left|f(x) \right|}{1+f^2(x)}\leq \frac{1}{2}} $\Rightarrow a\frac{\left|f(x) \right|}{1+f^2(x)}\leq \frac{a}{2}$ $\Rightarrow e^{f^\prime(x)}\leq \frac{a}{2}$

Αν 0<α<2 τότε από την άσκηση 1 προκύπτει πως η f έχει σύνολο τιμών το R και άρα μηδενίζεται , αυτό όμως είναι άτοπο.

Συνεπώς $a\geq 2$ και έτσι η ελάχιστη τιμή του α ώστε να ισχύει η (1) είναι α = 2.

YΓ 1:
Υπάρχει συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R ώστε να ισχύει η (1) με α = 2; Ναι για παράδειγμα η σταθερή f(x) = 1.
YΓ 2:
Υπάρχει μη σταθερή συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R ώστε να ισχύει η (1) με α >= 2;
Δεν γνωρίζω , δεν το έχω ψάξει.

ΥΓ 3 Καλησπέρα στον Θωμά και στους άλλους φίλους. Περιμένω με ενδιαφέρον να δω και τις άλλες προσεγγίσεις.

Γιώργος

***** Τώρα που το βλέπω η $\frac{x}{1+x^2}\leq \frac{1}{2}$ είναι μια απλή ταυτότητα!

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #5

Υπέροχη η λύση σου και η παρατήρησή σου όλα τα λεφτά.

Για την άσκηση 1
Από τη δοσμένη σχέση έχουμε ότι
$\displaystyle{\displaystyle {f^/}(x) \le \ln \frac{\alpha }{2} \Rightarrow {\left( {f(x) - \ln \frac{\alpha }{2}x} \right)^/} \le 0}$ ,
οπότε η συνάρτηση $\displaystyle{\displaystyle g(x) = f(x) - \ln \frac{\alpha }{2}x}$ είναι γνήσια φθίνουσα.
Για x>0 έχουμε $\displaystyle{\displaystyle g(x) < g(0) \Rightarrow f(x) - \ln \frac{\alpha }{2}x < f(0) \Rightarrow f(x) < \ln \frac{\alpha }{2}x + f(0)}$ και επειδή $\displaystyle{\displaystyle \ln \frac{\alpha }{2} < 0}$ , έχουμε ότι $\displaystyle{\displaystyle \mathop {\ell im}\limits_{x \to + \infty } \left( {\ln \frac{\alpha }{2}x + f(0)} \right) = - \infty }$ , άρα και $\displaystyle{\displaystyle \mathop {\ell im}\limits_{x \to + \infty } f(x) = - \infty }$ .
Για x<0, εργαζόμενοι αντίστοιχα, έχουμε σαν συμπέρασμα ότι $\displaystyle{\displaystyle \mathop {\ell im}\limits_{x \to - \infty } f(x) = + \infty }$ .
Οπότε το σύνολο τιμών της συνάρτησης είναι το IR.

Άσκηση 2
Με βάση τη παρατήρησή σου έχουμε:
$\displaystyle{\displaystyle {e^{{f^/}(x)}} = \frac{\alpha }{2} \cdot \frac{{2\left| {f(x)} \right|}}{{1 + {f^2}(x)}} \le \frac{\alpha }{2} \cdot \frac{{1 + {f^2}(x)}}{{1 + {f^2}(x)}} \le \frac{\alpha }{2}}$ , ...

Όντως η f(x)=1 ικανοποιεί την αρχική συνθήκη, οπότε υπάρχει συνάρτηση που ικανοποιεί την αρχική συνθήκη.
Θωμάς
Υ.Γ 1
Η άσκηση 2 έχει πέσει σε μαθηματικό διαγωνισμό.
Την άσκηση 1 την έκανα για τους μαθητές μου.
Θα διδάξω Γιώργο με ιδιαίτερη χαρά τη δική σου πρόταση.

Υ.Γ 2
Φωτεινή γράφαμε μαζύ το ίδιο. Σύμπτωση ή πρέπει να το αποδώσουμε κάπου;

#6

hsiodos έγραψε:Άσκηση 2

Έστω $f:R \to R$ παραγωγίσιμη συνάρτηση.
Να βρεθεί η μικρότερη τιμή της παραμέτρου α για την οποία ισχύει για κάθε $x \in R$ ότι ${e^{{f^/}(x)}} = \alpha \cdot \frac{{\left| {f(x)} \right|}}{{1 + {f^2}(x)}}$ (1)

Λύση
Αρχικά παρατηρούμε ότι για να ισχύει η (1) για κάθε $x \in R$ πρέπει α > 0 και η f να μην μηδενίζεται.

Θεωρούμε την συνάρτηση $g(x)=\frac{x}{1+x^2},x>0$
Μελετώντας την κατά τα γνωστά βρίσκουμε ότι για κάθε χ > 0 ισχύει $0<g(x)\leq \frac{1}{2}$ (το = για χ=1)

Συνεπώς για κάθε $x \in R$ ισχύει:

$0<g\left(\left|f(x) \right| \right)\leq \frac{1}{2}$ \displaystyle{\Rightarrow \frac{\left|f(x) \right|}{1+f^2(x)}\leq \frac{1}{2}} $\Rightarrow a\frac{\left|f(x) \right|}{1+f^2(x)}\leq \frac{a}{2}$ $\Rightarrow \boxed{\color{red}e^{f^\prime(x)}\leq \frac{a}{2}}$

Αν 0<α<2 τότε από την άσκηση 1 προκύπτει πως η f έχει σύνολο τιμών το R και άρα μηδενίζεται , αυτό όμως είναι άτοπο.

Συνεπώς $a\geq 2$ και έτσι η ελάχιστη τιμή του α ώστε να ισχύει η (1) είναι α = 2.
Γιώργος

στην παρακάτω σχέση
$\boxed{\color{red}e^{f^\prime(x)}\leq \frac{a}{2}}$ μπορούμε να καταλήξουμε και ως εξής

$\displaystyle e^{f^{\prime}(x)}=a\cdot\frac{|f(x)|}{1+f^2(x)}=\frac{a}{2}\cdot\frac{2|f(x)|}{1+f^{2}(x)}\leq \frac{a}{2}\cdot\frac{1+f^{2}(x)}{1+f^{2}(x)}=\frac{a}{2}\longrightarrow e^{f^{\prime}(x)}\leq \frac{a}{2}$

#7

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς έγραψε:
Υ.Γ 2
Φωτεινή γράφαμε μαζύ το ίδιο. Σύμπτωση ή πρέπει να το αποδώσουμε κάπου;

μάλλον σύμπτωση

****μακάρι να μπορούσα να έρθω στη συνάντηση που κανονίζετε ****

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #8

φωτεινή έγραψε:
Ραϊκόφτσαλης Θωμάς έγραψε:
Υ.Γ 2
Φωτεινή γράφαμε μαζύ το ίδιο. Σύμπτωση ή πρέπει να το αποδώσουμε κάπου;
μάλλον σύμπτωση

****μακάρι να μπορούσα να έρθω στη συνάντηση που κανονίζετε ****

Και εμείς θα το θέλαμε.
Ο Αντώνης θα μας μιλήσει για σένα και θα είσαι ωσεί παρούσα (δεν ξέρω αν το γράφω καλά)
Να περνάς καλά, Θωμάς

hsiodos · #9

Ωραία άσκηση Θωμά.
Θα την κάνω (του χρόνου) στους μαθητές μου δίνοντάς την σε δύο ερωτήματα ,με την σειρά που τα έβαλες , και θα συζητήσουμε όλες τις προσεγγίσεις που έγιναν εδώ. Αν κάποιος μαθητής μας , δώσει και άλλη λύση ακόμα καλύτερα.

Γιώργος

ΥΓ. Φωτεινή το είδα ότι έβγαινε εύκολα(ταυτότητα) αλλά ήταν αργά!

Σύνολο τιμών 2

Σύνολο τιμών 2

Re: Σύνολο τιμών 2

Re: Σύνολο τιμών 2

Re: Σύνολο τιμών 2

Re: Σύνολο τιμών 2

Re: Σύνολο τιμών 2

Re: Σύνολο τιμών 2

Re: Σύνολο τιμών 2

Re: Σύνολο τιμών 2

Μέλη σε σύνδεση