Μισό στην μισό

KARKAR · #1

Δύο θετικοί αριθμοί x , y

, έχουν σταθερό άθροισμα

.

1) Αν a=10

, να βρεθεί η μέγιστη τιμή της ποσότητας x^y

, αν $x , y \in\mathbb{N^*}$ ,

και να εκτιμηθεί η μέγιστη τιμή του x^y

, αν $x, y \in\mathbb{R^+}$ . ( Δεχθείτε ότι ln4=1.39

)

2) Να βρεθεί η τιμή του

, ώστε η μέγιστη τιμή της παράστασης x^y

, να επιτυγχάνεται για x=y

Γιώργος Απόκης · #2

Επαναφορά

#3

KARKAR έγραψε:Δύο θετικοί αριθμοί , έχουν σταθερό άθροισμα .

1) Αν , να βρεθεί η μέγιστη τιμή της ποσότητας , αν $x , y \in\mathbb{N^*}$ ,

και να εκτιμηθεί η μέγιστη τιμή του , αν $x, y \in\mathbb{R^+}$ . ( Δεχθείτε ότι )

2) Να βρεθεί η τιμή του , ώστε η μέγιστη τιμή της παράστασης , να επιτυγχάνεται για

Βιαστικά γιατί πνίίίίίγομαι αυτές τις μέρες:

1) Οι αριθμοί είναι αρκετά "μικροί" που να μην φοβόμαστε να κάνουμε τις πράξεις με το χέρι. Έχουμε

1^9=9, 2^8=256, 3^7==2187, 4^6=4096, 5^5=3125, 6^4=1296,

οπότε εντοπίζουμε τον πιο μεγάλο.

Μπορούμε και με εκτιμήσεις για να γλυτώσουμε πράξεις (π.χ. $4^6 = 2^{12}>2^8, \, 2^8 = 64^2 > 36^2=6^4$ ) αλλά σχεδόν δεν αξίζει το κόπο. Με πράξεις τελειώνουμε εξ ίσου γρήγορα. Με χρήση του (δοθέντος) ln4=1.39

γλιτώνουμε κάπως δουλειά, αλλά "δεν αξίζει την φασαρία".

2) Γράφοντας y=a-x

αναγόμαστε στο να παραγωγίσουμε την $\displaystyle{f(x) = x^{a-x}}$ . Είναι $\displaystyle{f' (x) = x^{a-x} \left( \frac {a-x}{x}- \ln x \right) \, (*)}$ . Αν θέλουμε να μηδενίζεται για x=a-x

, δηλαδή

, αντικατάσταση στην (*)

θα δώσει $1= \ln (a/2)$ , άρα a=2e

.

M.

Μισό στην μισό

Μισό στην μισό

Re: Μισό στην μισό

Re: Μισό στην μισό

Μέλη σε σύνδεση