Συνάρτηση από το ο.ε.δ. (14)

#1

Για τη συνεχή συνάρτηση $f:(1,\infty)\to \Bbb{R}$ ισχύει f(x^3 ) = f(x^2 ) + f(x) ,

για κάθε

Αν η εξίσωση f(x)=0

έχει ρίζα στο $(1,\infty)$ να δείξετε ότι η εξίσωση f(x)=0

έχει άπειρο πλήθος λύσεων στο $(1,\infty).$

Προτείνεται από τον s.kap
http://www.operedidixe.gr/archive/issue ... %CE%A3.pdf

#2

socrates έγραψε:Για τη συνεχή συνάρτηση $f:(1,\infty)\to \Bbb{R}$ ισχύει για κάθε
Αν η εξίσωση έχει ρίζα στο $(1,\infty)$ να δείξετε ότι η εξίσωση έχει άπειρο πλήθος λύσεων στο $(1,\infty).$

Προτείνεται από τον s.kap
http://www.operedidixe.gr/archive/issue ... %CE%A3.pdf

Ας υποθέσουμε ότι η εξίσωση f(x)=0

έχει πεπερασμένο πλήθος λύσεων στο $(1,\infty)$ ,
κι ας συμβολίσουμε με $\rho$ την μικρότερη εξ αυτών.

Αν $r=\rho^{1/3}$ τότε $1<r<r^2<r^3=\rho$ κι άρα $f(r)f(r^2)\ne 0$ (1) από την επιλογή του $\rho$ .

Αλλά $f(r^2)+f(r)=f(r^3)=f(\rho)=0$ , οπότε f(r)=-f(r^2)

. (2)

Από (1), (2) έπεται ότι f(r)f(r^2)<0

.

Λόγω συνέχειας, από θεώρημα Bolzano, θα υπάρχει $c\in (r,r^2)$ τέτοιο ώστε f(c)=0

που αντιβαίνει στην επιλογή του $\rho$ .

Συνεπώς, η εξίσωση f(x)=0

έχει άπειρο πλήθος λύσεων στο $(1,\infty)$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας

Συνάρτηση από το ο.ε.δ. (14)

Συνάρτηση από το ο.ε.δ. (14)

Re: Συνάρτηση από το ο.ε.δ. (14)

Μέλη σε σύνδεση