Συνάρτηση από το ο.ε.δ. (15)

#1

Έστω $f:\Bbb{R}\to \Bbb{R}$ συνεχής και φραγμένη συνάρτηση τέτοια ώστε $f(0)\ne 0.$
Να δείξετε ότι υπάρχουν $x_1\ne x_2$ ώστε x_1f(x_2)+x_2f(x_1)=0.

Δώστε παράδειγμα μη συνεχούς τέτοιας συνάρτησης.

peter · #2

Έστω ότι

. Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση $h(x)=\frac{f(x)}{x}, \ x\neq 0$ . Εφόσον, η

είναι φραγμένη ισχύει $\lim_{x\to \pm \infty}h(x)=0$ και $\lim_{x\to 0^+}h(x)=+\infty$ ενώ $\lim_{x\to 0^-}h(x)=-\infty$ . Από το θεώρημα ενδιάμεσης τιμής υπάρχει $x_1\in (-\infty,0)$ ώστε h(x_1)=-1

και $x_2\in (0,\infty)$ ώστε h(x_2)=1

. Τότε,

.

Παράδειγμα. Έστω $f(x)=1/|x|, \ |x|\geq 1$ και $f(x)=-1, \ |x|<1$ . Τότε, $(-1)\cdot f(1)+1\cdot f(-1)=0$ .

Συνάρτηση από το ο.ε.δ. (15)

Συνάρτηση από το ο.ε.δ. (15)

Re: Συνάρτηση από το ο.ε.δ. (15)

Μέλη σε σύνδεση