Συνάρτηση από το ο.ε.δ. (17)

#1

Για τη δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f : [0,1]\to \Bbb{R}$ ισχύει $(x^2-x)f{''}(x)-(x^2-x+1)f{'}(x)+f(x)=0,$ για κάθε $x\in [0,1].$
Να βρεθεί ο τύπος της

mathxl · #2

Καλό απόγευμα

$\displaystyle{({x^2} - x)f''(x) - ({x^2} - x + 1)f'(x) + f(x) = 0 \Leftrightarrow ({x^2} - x)f''(x) - ({x^2} - x)f'(x) = f'(x) - f(x) \Leftrightarrow }$
$\displaystyle{({x^2} - x)\left( {f''(x) - f'(x)} \right) = f'(x) - f(x) \Leftrightarrow ({x^2} - x)\left( {f''(x) - f'(x)} \right) = f'(x) - f(x) \Leftrightarrow }$
$\displaystyle{f'(x) - f(x) = x\left( {x - 1} \right){\left( {f'(x) - f(x)} \right)^\prime }}$ , σχέση (1)
Η συνάρτηση $\displaystyle{g\left( x \right) = f'(x) - f(x),x \in \left[ {0,1} \right]}$ ως συνεχής σε κλειστό διάστημα έχει μέγιστη και ελάχιστη τιμή. Οι τιμές στα άκρα από την σχέση (1) είναι $\displaystyle{g\left( 0 \right) = g\left( 1 \right) = 0}$ , οπότε αν κάποιο από τα ακρότατα παρουσιάζεται στις θέσεις $\displaystyle{0,1}$ έχει τιμή $\displaystyle{0}$ , αν πάλι παρουσιάζεται σε εσωτερικό σημείο του $\displaystyle{\left[ {0,1} \right]}$ από το θεώρημα Fermat

και την σχέση (1) λαμβάνουμε πάλι τιμή $\displaystyle{0}$ , οπότε σε κάθε περίπτωση θα ισχύει $\displaystyle{0 \le g\left( x \right) \le 0 \Leftrightarrow 0 = f'(x) - f(x),\forall x \in \left[ {0,1} \right]}$ .
Συνεχίζοντας έχουμε $\displaystyle{0 \le g\left( x \right) \le 0 \Leftrightarrow 0 = f'(x) - f(x) \Leftrightarrow f'(x) = f(x) \Leftrightarrow f(x) = c{e^x},\forall x \in \left[ {0,1} \right]}$ , που επαληθεύει.

antonis2012 · #3

"Εξαιρετικότατη" θα έλεγα , με παίδεψε λίγο αλλά μάταια.. δεν θα το σκευτόμουν με τίποτα!!!

Συνάρτηση από το ο.ε.δ. (17)

Συνάρτηση από το ο.ε.δ. (17)

Re: Συνάρτηση από το ο.ε.δ. (17)

Re: Συνάρτηση από το ο.ε.δ. (17)

Μέλη σε σύνδεση