Συνάρτηση από το ο.ε.δ. (18)

#1

Η συνάρτηση $f:\Bbb{ R}\to\Bbb{R}$ είναι τρεις φορές παραγωγίσιμη στο $\Bbb{R}$ με την

f {''}

γνησίως αύξουσα στο $\Bbb{R}.$
Να αποδείξετε ότι $f(2x)+f(0)≥2f(x) +x^2 f{''}(x)$ για κάθε $x\in \Bbb{R}.$

#2

Θέτω $\displaystyle{h(x)=f(2x)+f(0)-2f(x)-x^2f''(x)}$ οπότε αφού $\displaystyle{h(0)=0}$ αρκεί $\displaystyle{h'(x)\ge 0}$

όμως $\displaystyle{h'(x)=2(f'(2x)-f'(x)-xf''(x))-x^2f'''(x)=2(g(2x)-g(x)-xg'(x)-\frac{x^2}{2}g''(x))}$ [1] όπου $\displaystyle{f'=g}$

Από τοθεώρημα Taylor είναι $\displaystyle{g(2x)=g(x)+\frac{(2x-x)}{1!}g'(x)+\frac{(2x-x)^2}{2!}g''(u),x<u<2x}$ [2]

αντικαθιστώντας την [2] στην [1] αρκεί να δειχθεί ότι $\displaystyle{\frac{x^2}{2}(g''(u)-g''(x))\ge 0}$ που ισχύει αφού $\displaystyle{g''=f'''\uparrow,u>x}$

Συνάρτηση από το ο.ε.δ. (18)

Συνάρτηση από το ο.ε.δ. (18)

Re: Συνάρτηση από το ο.ε.δ. (18)

Μέλη σε σύνδεση