Βασισμένη σε συναρτησιακή σχέση

#1

Έστω συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ τέτοια ώστε
$f(x+y)+f(xy-1)=f(x)f(y)+f(x)+f(y)+1,\ \forall x,y \in \mathbb{R}$ .

α) Αποδείξτε ότι υπάρχει συνάρτηση με την παραπάνω ιδιότητα.
β) Βρείτε τα f(0),f(-1)

.
γ) Αποδείξτε ότι η

είναι άρτια συνάρτηση.
δ) Βρείτε όλες τις μονότονες συναρτήσεις με την παραπάνω ιδιότητα.
ε) Βρείτε όλες τις παραγωγίσιμες συναρτήσεις με την παραπάνω ιδιότητα.

#2

Κατ' αρχήν τα α) β) γ) (για τα υπόλοιπα βλέπουμε)

f(x+y)+f(xy-1)=f(x)f(y)+f(x)+f(y)+1

α) Φανερά η συνάρτηση $f(x)=x^{2}$ επαληθεεύει την συναρτησιακή σχέση.

β) Για x=y=0 έχουμε $f(0)+f(-1)=f^{2}(0)+2f(0)+1\Rightarrow f(-1)=f^{2}(0)+f(0)+1$
Για x=-1 , y=0 : $2f(-1)=f(0)f(-1)+f(0)+f(-1)+1\Rightarrow f(-1)=f(0)f(-1)+f(0)+1$

Τότε $f^{2}(0)+f(0)+1=f(0)(f^{2}(0)+f(0)+1)+f(0)+1\Rightarrow ... f^{3}(0)+f(0)=0\Rightarrow f(0)=0$ και f(-1)=1

γ) για y=-1 : f(x-1)+f(-x-1)=f(x)f(-1)+f(x)+f(-1)+1

(1)
για x=-x και y=-1 : f(-x-1)+f(x-1)=f(-x)f(-1)+f(-x)+f(-1)+1

(2)
Aπό (1) και (2) προκύπτει ότι f(-x)=f(x), άρα η f(x) είναι άρτια.

peter · #3

(δ) Δεν υπάρχουν τέτοιες: Αν μια άρτια $f:\mathbb R\to \mathbb R$ είναι μονότονη τότε είναι σταθερή.

(ε) Αν η

είναι παραγωγίσιμη σταθεροποιούμε ένα $y\in \mathbb R$ και παραγωγίζουμε τη σ.ε. ως προς

και βρίσκουμε: f'(x+y)+yf'(xy-1)=f'(x)+f'(x)f(y)

για κάθε $x\in \mathbb R$ . Θέτουμε όπου x=0

και προκύπτει ότι f'(y)-by=-a-af(y)

με

. Στη συνέχεια λύνουμε τη διαφορική εξίσωση κατά τα γνωστά και ελέγχουμε αν η ζητούμενη συνάρτηση είναι λύση της συναρτησιακής εξίσωσης.

Να προσθέσουμε μια ακόμη:

Άσκηση. (α) Να προσδιορισθούν όλες οι παραγωγίσιμες στο

συναρτήσεις $f:\mathbb R\to \mathbb R$ που ικανοποιούν την συναρτησιακή εξίσωση f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy

για κάθε $x,y\in \mathbb R$ .

(β) Να προσδιορισθούν όλες οι συναρτήσεις $g:\mathbb R\to \mathbb R$ που ικανοποιούν τη σ.ε. g(x+y)+g(x-y)=[g(x)]^2-[g(y)]^2

για κάθε $x,y\in \mathbb R$ .

#4

peter έγραψε: Άσκηση. (α) Να προσδιορισθούν όλες οι παραγωγίσιμες στο συναρτήσεις $f:\mathbb R\to \mathbb R$ που ικανοποιούν την συναρτησιακή εξίσωση ,(1) για κάθε $x,y\in \mathbb R$ .

η (1) ισοδύναμα γράφεται : f(x+y)-(x+y)^2=f(x)-x^2+f(y)-y^2

,(2)

έστω h(x)=f(x)-x^2

,με

παραγωγίσιμη,συνεχή στο 0

(2)<=> h(x+y)=h(x)+h(y)

,(3),προσθετική εξίσωση Cauchy

υπάρχει $c \in \mathbb{R}$ τέτοιο ώστε $h(x)=c.x, \forall x \in \mathbb{R}$

άρα ---> $f(x)=x^2+cx,x \in \mthbb{R}$ που ικανοποιεί την (1)

mathxl · #5

peter έγραψε:
(β) Να προσδιορισθούν όλες οι συναρτήσεις $g:\mathbb R\to \mathbb R$ που ικανοποιούν τη σ.ε. για κάθε $x,y\in \mathbb R$ .

Για χ=ψ=0 είναι g(0)=0
Για χ=ψ είναι g(2x)=0 όταν το χ καλύπτει το R το ίδιο κάνει και το 2χ άρα η g είναι η μηδενική που επαληθεύει την δοσμένη

Βασισμένη σε συναρτησιακή σχέση

Βασισμένη σε συναρτησιακή σχέση

Re: Βασισμένη σε συναρτησιακή σχέση

Re: Βασισμένη σε συναρτησιακή σχέση

Re: Βασισμένη σε συναρτησιακή σχέση

Re: Βασισμένη σε συναρτησιακή σχέση

Μέλη σε σύνδεση