ΜΙΑ ΓΝΩΣΤΗ ΥΠΑΡΞΗ

nikoszan · #1

Η συνάρτηση $\displaystyle{f:\left[ {a,b} \right] \to R}$ είναι παραγωγίσιμη και ισχύει $\displaystyle{\int\limits_a^b {f\left( t \right)dt\,\, = 0\,\,\,\,\,\,\,} }$ .
Ν.Δ.Ο.για καθε $\displaystyle{x \in \left[ {a,b} \right]}$ υπάρχει $\displaystyle{\xi \in \left( {\alpha ,\beta } \right)}$ ,ώστε να ισχύει $\displaystyle{\int\limits_a^\chi {f\left( t \right)dt\,\, = \frac{1}{2}\,\left( {\chi - \alpha } \right)\,\,\left( {\chi - \beta } \right)\,\,} f'\left( \xi \right)}$

#2

Επαναφορά!

hsiodos · #3

Θεωρούμε την συνάρτηση $\displaystyle{F(x) = \int_a^x {f(t)dt\,\,\,,\,\,\,x \in \left[ {a,b} \right]} }$

Είναι $\displaystyle{F(a) = F(b) = 0\,\,}$ και η $\displaystyle{F}$ είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{{\left[ {a,b} \right]}}$ με $\displaystyle{F{'} (x) = f(x)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,F{''} (x) = f{'} (x)}$

Το ζητούμενο προφανώς ισχύει αν $\displaystyle{x = a\,}$ ή $\displaystyle{x = b}$ . Θα αποδείξουμε ότι ισχύει και για τυχαίο σημείο του διαστήματος $\displaystyle{(a,b)}$ , δηλαδή αν $\displaystyle{x_o \in (a,b)}$

θα αποδείξουμε ότι υπάρχει $\displaystyle{\xi \in \,(a,b)\,}$ ,τέτοιο ώστε , $\displaystyle{\int_a^{x_o } {f(t)dt\,\,} = \frac{1}{2}\left( {x_o - \alpha } \right)(x_o - b)f{'} (\xi )\,}$ ή ισοδύναμα $\displaystyle{ 2F(x_o ) = \left( {x_o - \alpha } \right)(x_o - b)f{'} (\xi )}$ ή ισοδύναμα $\displaystyle{ f{'} (\xi )\,\,\,\, - \frac{{2F(x_o )}}{{\left( {x_o - \alpha } \right)(x_o - b)}} = 0}$

Θεωρούμε τώρα και την συνάρτηση $\displaystyle{ H(x) = F(x) - \,\,\frac{{\left( {x - \alpha } \right)(x - b)F(x_o )}}{{\left( {x_o - \alpha } \right)(x_o - b)}}}$ που είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{\left[ {a,b} \right]}$

με $\displaystyle{ H{'} (x) = F{'} (x) - \,\frac{{\left( {x - \alpha } \right)F(x_o )}}{{\left( {x_o - \alpha } \right)(x_o - b)}}\, - \,\frac{{\left( {x - b} \right)F(x_o )}}{{\left( {x_o - \alpha } \right)(x_o - b)}}}$ και $\displaystyle{ H{''} (x) = F{''} (x) - \,\frac{{F(x_o )}}{{\left( {x_o - \alpha } \right)(x_o - b)}}\, - \,\frac{{F(x_o )}}{{\left( {x_o - \alpha } \right)(x_o - b)}} \Rightarrow H{''} (x) = f{'} (x) - \,\frac{{2F(x_o )}}{{\left( {x_o - \alpha } \right)(x_o - b)}}}$

Παρατηρούμε ότι $\displaystyle{H(a) = H(x_o ) = H(b) = 0}$ δηλαδή η $\displaystyle{H}$ ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle σε καθένα από τα διαστήματα $\displaystyle{ \left[ {a,x_o } \right],\left[ {x_o ,b} \right]}$ και έτσι βρίσκουμε ότι

υπάρχουν $\displaystyle{ \xi _1 \in \left( {a,x_o } \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\xi _2 \in \left( {x_o ,b} \right)}$ τέτοια ώστε $\displaystyle{H{'} (\xi _1 ) = H{'} (\xi _2 ) = 0}$ .

Εφαρμόζοντας και πάλι το θεώρημα Rolle για την $\displaystyle{H{'} }$ στο διάστημα $\displaystyle{\left[ {\xi _1 ,\xi _2 } \right]}$ προκύπτει η ύπαρξη ενός τουλάχιστον $\displaystyle{ \xi \in \left( {\xi _1 ,\xi _2 } \right) \subseteq \left( {a,b} \right)\,\,}$ για το οποίο ισχύει $\displaystyle{ H{''} (\xi ) = 0 \Rightarrow f{'} (\xi ) - \,\frac{{2F(x_o )}}{{\left( {x_o - \alpha } \right)(x_o - b)}} = 0}$ , όπως θέλαμε.

Γιώργος

ΜΙΑ ΓΝΩΣΤΗ ΥΠΑΡΞΗ

ΜΙΑ ΓΝΩΣΤΗ ΥΠΑΡΞΗ

Re: ΜΙΑ ΓΝΩΣΤΗ ΥΠΑΡΞΗ

Re: ΜΙΑ ΓΝΩΣΤΗ ΥΠΑΡΞΗ

Μέλη σε σύνδεση