ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

nikoszan
Δημοσιεύσεις: 949
Εγγραφή: Τρί Νοέμ 17, 2009 2:22 pm

ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikoszan » Κυρ Σεπ 09, 2012 10:58 pm

Για την παραγωγίσιμη συνάρτηση \displaystyle{f:\left[ {0, + \infty } \right) \to R} ισχύει \displaystyle{{e^{f'\left( x \right)}} + {e^{{f^2}\left( x \right)}} = f\left( x \right) + 2,\forall x \in \left[ {0, + \infty } \right)} και \displaystyle{f\left( 0 \right) = 0} .
Να βρεθεί ο τύπος της \displaystyle{f}.
Ν.Ζ.


s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2450
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Δευ Σεπ 10, 2012 2:00 pm

nikoszan έγραψε:Για την παραγωγίσιμη συνάρτηση \displaystyle{f:\left[ {0, + \infty } \right) \to R} ισχύει (1)\displaystyle{{e^{f'\left( x \right)}} + {e^{{f^2}\left( x \right)}} = f\left( x \right) + 2,\forall x \in \left[ {0, + \infty } \right)} και \displaystyle{f\left( 0 \right) = 0} .
Να βρεθεί ο τύπος της \displaystyle{f}.
Ν.Ζ.
Ωραία έμπνευση :clap2:

Έχουμε \displaystyle{e^{f'(x)} \ge f'(x)+1} και \displaystyle{e^{f^2(x)} \ge 1}, άρα η (1) γίνεται

\displaystyle{f'(x)+2 \le f(x)+2 \Rightarrow f'(x)-f(x) \le 0 \Rightarrow e^{-x}f'(x)-e^{-x}f(x) \le 0 \Rightarrow \left(e^{-x}f(x)\right)' \le0}

Άρα η \displaystyle{h(x)=e^{-x}f(x)} είναι φθίνουσα στο \displaystyle{[0,+\infty)}

Συνεπώς \displaystyle{e^{-x}f(x) \le f(0)=0 \Rightarrow f(x) \le 0,\ \forall x \in [0,+\infty)}

Επειδή \displaystyle{f'(x) \le f(x)}(2) θα έχουμε \displaystyle{f'(x) \le 0,\ \forall x \in [0,+\infty)}.

Από την (1) εύκολα διαπιστώνουμε ότι η \displaystyle{f} παραγωγίζεται δύο φορές στο \displaystyle{[0,+\infty)}.

Παραγωγίζοντας την (1) κατά μέλη έχουμε

\displaystyle{f''(x)e^{f'(x)}+2f'(x)f(x)e^{f^2(x)}=f'(x) \le 0} και επειδή \displaystyle{2f'(x)f(x)e^{f^2(x)} \ge 0} θα έχουμε

\displaystyle{f''(x)e^{f'(x)} \le 0 \Rightarrow f''(x) \le 0,\ \forall x \in [0,+\infty)}, άρα η \displaystyle{f} είναι κοίλη (όχι κατ΄ανάγκη γνησίως).

Αν υποθέσουμε ότι για κάποιο \displaystyle{x_0} έχουμε \displaystyle{f'(x_0)<0}, τότε από την κοιλότητα έχουμε:

\displaystyle{f(x) \le f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0),\ \forall x \ge 0} και επειδή \displaystyle{\lim_{x \to +\infty}\left[f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)\right]=-\infty}

θα έχουμε \displaystyle{\lim_{x \to +\infty}f(x)=-\infty}, το οποίο είναι αντίφαση, γιατί η (1) δίνει \displaystyle{f(x)+2>e^{f'(x)} \Rightarrow f(x)>-2,\ \forall x \in [0,+\infty)}.

Άρα \displaystyle{f'(x)=0,\ \forall x \in [0,+\infty)} και η (2) δίνει \displaystyle{f(x)=0,\ \forall x \ge 0}, που επαληθεύει τα δεδομένα.


Σπύρος Καπελλίδης
nikoszan
Δημοσιεύσεις: 949
Εγγραφή: Τρί Νοέμ 17, 2009 2:22 pm

Re: ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikoszan » Δευ Σεπ 10, 2012 9:12 pm

Σπυρο :coolspeak: :clap2:


Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3737
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Τρί Σεπ 11, 2012 12:46 am

Σπύρο πολύ ωραία λύση! Νίκο όμορφη άσκηση :)

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1472
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Νοέμ 15, 2017 12:27 am

nikoszan έγραψε:
Κυρ Σεπ 09, 2012 10:58 pm
Για την παραγωγίσιμη συνάρτηση \displaystyle{f:\left[ {0, + \infty } \right) \to R} ισχύει \displaystyle{{e^{f'\left( x \right)}} + {e^{{f^2}\left( x \right)}} = f\left( x \right) + 2,\forall x \in \left[ {0, + \infty } \right)} και \displaystyle{f\left( 0 \right) = 0} .
Να βρεθεί ο τύπος της \displaystyle{f}.
Ν.Ζ.



Το πρόβλημα είναι.
Αν f'(x)=ln(2+f(x)-e^{f^{2}(x)}) ,x\in [0,\infty )
και f(0)=0
τότε να βρεθεί η f

Η f(x)=0 επαληθεύει το πρόβλημα.Αν χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα μοναδικότητας-ύπαρξης
για Διαφορικές Εξισώσεις(πληρούνται οι συνθήκες)βλέπουμε ότι αυτή είναι η μοναδική λύση.

Ας το δούμε με σχολικά μαθηματικά.Σε καμία περίπτωση δεν θεωρώ ότι τα παρακάτω είναι στο
πνεύμα των σχολικών μαθηματικών.
Θα δείξουμε το εξής γενικότερο.



Εστω q(x) μια συνεχής συνάρτηση που ορίζεται γύρω από το 0

είναι q(0)=0 και η q'(0) υπάρχει.

Αν f:[0,\infty )\rightarrow \mathbb{R}

είναι τέτοια ώστε f(0)=0,f'(x)=q(f(x)),x\in [0,\infty )

τότε f(x)=0, x\in [0,\infty )

Απόδειξη.
Θεωρούμε την συνάρτηση με r(x)=\frac{q(x)}{x},x\neq 0,r(0)=q'(0)

Προφανώς η r(x) είναι συνεχής και q(x)=r(x)x

Ετσι έχουμε ότι f'(x)=r(f(x))f(x)

Αφου η r(f(x)) είναι συνεχής έχει παράγουσα.

Εστω r(f(x))=g'(x)

Θα έχουμε f'(x)-g'(x)f(x)=0
δηλαδή

e^{-g(x)}f'(x)-f(x)g'(x)e^{-g(x)}=0

αρα

(f(x)e^{-g(x)})'=0

τελικά παίρνουμε

f(x)=ce^{g(x)}

Αφού f(0)=0προκύπτει c=0 οπότε f(x)=0


Είναι εύκολο να δούμε ότι η q(x)=ln(x+2-e^{x^{2}})
πληρεί τις πιο πάνω προυποθέσεις.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης