Μιγαδικοί αριθμοί (επαναληπτικό)

thanasis kopadis · #1

Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z,w

για τους οποίους ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις:
$(8-6i)^{2\left|z \right|}-8\cdot 10^{\left|z \right|}=20$ , με $\left|z \right|\epsilon N$ και z^2=4+3iwz

α) Να αποδείξετε ότι η εικόνα του

στο μιγαδικό επίπεδο κινείται στον μοναδιαίο κύκλο.

β) Έστω οι μιγαδικοί z_1,z_2

και

.
Δίνεται και η εξίσωση $x^2-2\sqrt{2}\left|z_ 1-z_ 2 \right|x+4=0$ , με ρίζες τους x_1,x_2

Να αποδείξετε ότι:
i) Οι x_1,x_2

των μιγαδικών

και

αντίστοιχα, στο μιγαδικό επίπεδο.

(Δόθηκε επιπλέον δεδομένο, μετά από την παρατήρηση του συνάδελφου Μάγκου Θάνου)

#2

thanasis kopadis έγραψε:Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις:
$(8-6i)^{2\left|z \right|}-8\cdot 10^{\left|z \right|}=20$ και

α) Να αποδείξετε ότι η εικόνα του στο μιγαδικό επίπεδο κινείται στον μοναδιαίο κύκλο.

Νομίζω υπάρχει πρόβλημα στο πρώτο ερώτημα, εκτός αν δε βλέπω εγώ κάτι.

Είναι

$\displaystyle{(8-6i)^{2|z|}=20+8^{|z|}}\implies \left|(8-6i)^{2|z|} \right|=\left|20+10^{|z|} \right|.}$

Επειδή το $\displaystyle{20+10^{|z|}}$ είναι πραγματικός, θετικός, είναι $\displaystyle{|20+10^{|z|}|=20+10^{|z|}.}$

Ωστόσο, έχουμε πρόβλημα με το $\displaystyle{\left|(8-6i)^{2|z|} \right|.}$

Εκ των προτέρων δε γνωρίζουμε ότι ο εκθέτης $\displaystyle{2|z|}$ είναι θετικός ακέραιος, ώστε να εφαρμόσουμε την ιδιότητα $\displaystyle{|w^n|=|w|^n.}$

thanasis kopadis · #3

Έχεις δίκιο.Δεν το είχα σκεφτεί. Ίσως να μπορεί να βελτιωθεί με το επιπλέον δεδομένο $\left|z \right|\epsilon N$
Ευχαριστώ πολύ για την παρατήρηση.

dennys · #4

1) Αφήνω στο 1 μέλος το $(8-6i)^{2|z|}$ και μετράρω και θέτοντας $10^{|z|}=k\Rightarrow k^{2}-8k-20=0$

αρα τριώνυμο και απλά $k=10=10^{|z|}\Rightarrow |z|=1$

2)οι σχέσεις που δίνονται σημαίνουν οτι οι z_1,z_2

κινούνται στο ίδιο τεταρτημόριο και συνεπώς

$|z_1-z_2|_{max}=\sqrt{2}\Rightarrow$ το τριώνυμο έχει αρνητική διακρίνουσα , αρα x_1,x_2

δεν είναι πραγματικοί.αρα είναι μιγαδικοί συζυγείς .

Ετσι $|x_1|^{2}=(x_1)(\bar x_1)=4\Rightarrow |x_1|=2=|x_2|$ απο Vieta .

3) Ξεκινώντας απο το 1 μέλος με πράξεις $|x_1-x_2|^{2}+8|z_1-z_2|^{2}=$

$(x_1-x_2)(\bar x_1-\bar x_2)+8|z_1-z_2|^{2}=...=4+4-[(x_1+x_2)^{2}-2x_1x_2]+8|z_1-z_2|^{2}=$

$4+4+8-(x_1+x_2)^{2}+8|z_1-z_2|^{2}=16$ εύκολο απο Vieta

4) $|z-3wi|=|\cfrac{1}{z}(z^{2}-3zwi|=1/|z||z^{2}-3zwi|=1\cdot 4=4$

Βουτσάς Διονυσης (dennys)

thanasis kopadis · #5

Ευχαριστώ Διονύση για την ενασχόληση.

Μια άλλη προσέγγιση για το ερώτημα β).

i) Θέτω z_1=a+bi

και

με

και

$D=8\left|z_1-z_2 \right|^2-16=8\left|a+bi-c-di \right|^2-16=8[(a-c)^2+(b-d)^2]-16=8(a^2+c^2-2ac+b^2+d^2-2bd)-16=$
8(1+1-2ac-2bd)-16=-2(ac+bd)<0

. Άρα το τριώνυμο έχει δύο ρίζες x_1,x_2

που δεν είναι πραγματικές και άρα είναι συζυγείς μιγαδικοί.

$\left|x_1x_2 \right|=\left|\frac{4}{1} \right|=4\Leftrightarrow \left|x_1 \right|=\left|x_2 \right|=2$ , αφού οι x_1,x_2

έχουν ίσα μέτρα, ως συζυγείς.

ii) Eίναι $x_1,x_2=\frac{2\sqrt{2}\left|z_1-z_2 \right|\pm i\sqrt{16-8\left|z_1-z_2 \right|^2} }{2}$

Οπότε
$\left|x_1-x_2 \right|=\left|\sqrt{2}\left|z_1-z_2 \right|+i\sqrt{2}\sqrt{2-\left|z_1-z_2 \right|^2}-\sqrt{2}\left|z_1-z_2 \right|+i\sqrt{2}\sqrt{2-\left|z_1-z_2 \right|^2} \right|$
Δηλαδή
$\left|x_1-x_2 \right|=2\sqrt{2}\sqrt{2-\left|z_1-z_2 \right|^2}$
Υψώνοντας στο τετράγωνο προκύπτει:
$\left|x_1-x_2 \right|^2=8(2-\left|z_1-z_2 \right|^2)$ , οπότε το ζητούμενο.

Μιγαδικοί αριθμοί (επαναληπτικό)

Μιγαδικοί αριθμοί (επαναληπτικό)

Re: Μιγαδικοί αριθμοί (επαναληπτικό)

Re: Μιγαδικοί αριθμοί (επαναληπτικό)

Re: Μιγαδικοί αριθμοί (επαναληπτικό)

Re: Μιγαδικοί αριθμοί (επαναληπτικό)

Μέλη σε σύνδεση