Μιγαδικοί αριθμοί (επαναληπτικό)

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

Άβαταρ μέλους
thanasis kopadis
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Παρ Μαρ 22, 2013 9:51 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς - Αττική
Επικοινωνία:

Μιγαδικοί αριθμοί (επαναληπτικό)

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από thanasis kopadis » Δευ Ιούλ 08, 2013 12:33 pm

Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z,w για τους οποίους ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις:
(8-6i)^{2\left|z \right|}-8\cdot 10^{\left|z \right|}=20 , με \left|z \right|\epsilon N και z^2=4+3iwz

α) Να αποδείξετε ότι η εικόνα του z στο μιγαδικό επίπεδο κινείται στον μοναδιαίο κύκλο.

β) Έστω οι μιγαδικοί z_1,z_2 με \left|z_1 \right|=\left|z_2 \right|=\left|z\right| , Re(z_1)Re(z_2)>0 και Im(z_1)Im(z_2)>0.
Δίνεται και η εξίσωση x^2-2\sqrt{2}\left|z_ 1-z_ 2 \right|x+4=0, με ρίζες τους x_1,x_2
Να αποδείξετε ότι:
i) Οι x_1,x_2 δεν είναι πραγματικοί αριθμοί και ότι \left|x_1 \right|=\left|x_2 \right|=2
ii) Ισχύει: \left|x_1-x_2 \right|^2+8\left|z_1-z_2 \right|^2=16

γ) Να βρείτε την απόσταση των εικόνων A,B των μιγαδικών z και 3iw αντίστοιχα, στο μιγαδικό επίπεδο.

(Δόθηκε επιπλέον δεδομένο, μετά από την παρατήρηση του συνάδελφου Μάγκου Θάνου)
τελευταία επεξεργασία από thanasis kopadis σε Δευ Ιούλ 08, 2013 1:40 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


«Τι είναι το μηδέν, Μπαμπά ;»
«Ο αριθμός των φτερωτών ελεφάντων που στέκονται δίπλα σου.»
«Οι ροζ ή οι άσπροι;»
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 5953
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Μιγαδικοί αριθμοί (επαναληπτικό)

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από matha » Δευ Ιούλ 08, 2013 1:02 pm

thanasis kopadis έγραψε:Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z,w για τους οποίους ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις:
(8-6i)^{2\left|z \right|}-8\cdot 10^{\left|z \right|}=20 και z^2=4+3iwz

α) Να αποδείξετε ότι η εικόνα του z στο μιγαδικό επίπεδο κινείται στον μοναδιαίο κύκλο.


Νομίζω υπάρχει πρόβλημα στο πρώτο ερώτημα, εκτός αν δε βλέπω εγώ κάτι.

Είναι

\displaystyle{(8-6i)^{2|z|}=20+8^{|z|}}\implies \left|(8-6i)^{2|z|} \right|=\left|20+10^{|z|} \right|.}

Επειδή το \displaystyle{20+10^{|z|}} είναι πραγματικός, θετικός, είναι \displaystyle{|20+10^{|z|}|=20+10^{|z|}.}

Ωστόσο, έχουμε πρόβλημα με το \displaystyle{\left|(8-6i)^{2|z|} \right|.}

Εκ των προτέρων δε γνωρίζουμε ότι ο εκθέτης \displaystyle{2|z|} είναι θετικός ακέραιος, ώστε να εφαρμόσουμε την ιδιότητα \displaystyle{|w^n|=|w|^n.}


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
thanasis kopadis
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Παρ Μαρ 22, 2013 9:51 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς - Αττική
Επικοινωνία:

Re: Μιγαδικοί αριθμοί (επαναληπτικό)

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από thanasis kopadis » Δευ Ιούλ 08, 2013 1:11 pm

Έχεις δίκιο.Δεν το είχα σκεφτεί. Ίσως να μπορεί να βελτιωθεί με το επιπλέον δεδομένο \left|z \right|\epsilon N
Ευχαριστώ πολύ για την παρατήρηση.


«Τι είναι το μηδέν, Μπαμπά ;»
«Ο αριθμός των φτερωτών ελεφάντων που στέκονται δίπλα σου.»
«Οι ροζ ή οι άσπροι;»
dennys
Δημοσιεύσεις: 1275
Εγγραφή: Τετ Μάιος 05, 2010 11:29 pm
Τοποθεσία: θεσσαλονικη

Re: Μιγαδικοί αριθμοί (επαναληπτικό)

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από dennys » Δευ Ιούλ 08, 2013 3:19 pm

1) Αφήνω στο 1 μέλος το (8-6i)^{2|z|} και μετράρω και θέτοντας 10^{|z|}=k\Rightarrow k^{2}-8k-20=0

αρα τριώνυμο και απλά k=10=10^{|z|}\Rightarrow |z|=1

2)οι σχέσεις που δίνονται σημαίνουν οτι οι z_1,z_2 κινούνται στο ίδιο τεταρτημόριο και συνεπώς

|z_1-z_2|_{max}=\sqrt{2}\Rightarrow το τριώνυμο έχει αρνητική διακρίνουσα , αρα x_1,x_2

δεν είναι πραγματικοί.αρα είναι μιγαδικοί συζυγείς .

Ετσι |x_1|^{2}=(x_1)(\bar x_1)=4\Rightarrow |x_1|=2=|x_2| απο Vieta .

3) Ξεκινώντας απο το 1 μέλος με πράξεις |x_1-x_2|^{2}+8|z_1-z_2|^{2}=

(x_1-x_2)(\bar x_1-\bar x_2)+8|z_1-z_2|^{2}=...=4+4-[(x_1+x_2)^{2}-2x_1x_2]+8|z_1-z_2|^{2}=

4+4+8-(x_1+x_2)^{2}+8|z_1-z_2|^{2}=16 εύκολο απο Vieta

4)|z-3wi|=|\cfrac{1}{z}(z^{2}-3zwi|=1/|z||z^{2}-3zwi|=1\cdot 4=4

Βουτσάς Διονυσης (dennys)


Dennys =Ξεκλείδωμα κάθε άσκησης
Άβαταρ μέλους
thanasis kopadis
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Παρ Μαρ 22, 2013 9:51 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς - Αττική
Επικοινωνία:

Re: Μιγαδικοί αριθμοί (επαναληπτικό)

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #5 από thanasis kopadis » Δευ Ιούλ 08, 2013 4:57 pm

Ευχαριστώ Διονύση για την ενασχόληση.

Μια άλλη προσέγγιση για το ερώτημα β).

i) Θέτω z_1=a+bi και z_2=c+di με ac>0 και bd>0
D=8\left|z_1-z_2 \right|^2-16=8\left|a+bi-c-di \right|^2-16=8[(a-c)^2+(b-d)^2]-16=8(a^2+c^2-2ac+b^2+d^2-2bd)-16=
8(1+1-2ac-2bd)-16=-2(ac+bd)<0. Άρα το τριώνυμο έχει δύο ρίζες x_1,x_2 που δεν είναι πραγματικές και άρα είναι συζυγείς μιγαδικοί.

\left|x_1x_2 \right|=\left|\frac{4}{1} \right|=4\Leftrightarrow \left|x_1 \right|=\left|x_2 \right|=2 , αφού οι x_1,x_2
έχουν ίσα μέτρα, ως συζυγείς.

ii) Eίναι x_1,x_2=\frac{2\sqrt{2}\left|z_1-z_2 \right|\pm i\sqrt{16-8\left|z_1-z_2 \right|^2} }{2}

Οπότε
\left|x_1-x_2 \right|=\left|\sqrt{2}\left|z_1-z_2 \right|+i\sqrt{2}\sqrt{2-\left|z_1-z_2 \right|^2}-\sqrt{2}\left|z_1-z_2 \right|+i\sqrt{2}\sqrt{2-\left|z_1-z_2 \right|^2} \right|
Δηλαδή
\left|x_1-x_2 \right|=2\sqrt{2}\sqrt{2-\left|z_1-z_2 \right|^2}
Υψώνοντας στο τετράγωνο προκύπτει:
\left|x_1-x_2 \right|^2=8(2-\left|z_1-z_2 \right|^2) , οπότε το ζητούμενο.


«Τι είναι το μηδέν, Μπαμπά ;»
«Ο αριθμός των φτερωτών ελεφάντων που στέκονται δίπλα σου.»
«Οι ροζ ή οι άσπροι;»

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης