Μάλλον απίθανη , αλλά χρήσιμη
Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5561
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
- Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα
Μάλλον απίθανη , αλλά χρήσιμη
Στο συνημμένο βάζω ένα θέμα με μερικά καλά σημεία.
Ας τη δούμε και τα ξαναλέμε.
Μπάμπης
ΣΧΟΛΙΟ
Στο τελευταίο ερώτημα πρόσθεσα ένα δεδομένο για να γίνει η λύση πιο απλή. Ευχαριστώ το Γιώργο και το Λευτέρη για την επισήμανση.
Μπάμπης
Ας τη δούμε και τα ξαναλέμε.
Μπάμπης
ΣΧΟΛΙΟ
Στο τελευταίο ερώτημα πρόσθεσα ένα δεδομένο για να γίνει η λύση πιο απλή. Ευχαριστώ το Γιώργο και το Λευτέρη για την επισήμανση.
Μπάμπης
- Συνημμένα
-
- 2009-11-26,ΓΕΝΙΚΟ ΘΕΜΑ.pdf
- (77.96 KiB) Μεταφορτώθηκε 362 φορές
- chris_gatos
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6962
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
- Τοποθεσία: Ανθούπολη
Re: Μάλλον απίθανη , αλλά χρήσιμη
Καλημέρα. Νομίζω πως κανένας μαθητής δε θα την απαντήσει ολοκληρωμένα.
Αλλά και πάλι, αναρωτιέμαι, θα βάλουν ένα τέτοιο θέμα ποτέ;;
Αλλά και πάλι, αναρωτιέμαι, θα βάλουν ένα τέτοιο θέμα ποτέ;;
Χρήστος Κυριαζής
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5561
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
- Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα
Re: Μάλλον απίθανη , αλλά χρήσιμη
Χρήστο καλημέρα !chris_gatos έγραψε:Καλημέρα. Νομίζω πως κανένας μαθητής δε θα την απαντήσει ολοκληρωμένα.
Αλλά και πάλι, αναρωτιέμαι, θα βάλουν ένα τέτοιο θέμα ποτέ;;
Προσωπικά δεν θα έβαζα ποτέ ένα τέτοιο θέμα , τουλάχιστον για αυτό το επίπεδο εξετάσεων.
Το έδωσα όμως στην κοινότητα για να καλύψουμε και αυτή την ακραία περίπτωση .
Ίσως με κάποιον πολύ καλό μαθητή μπορούμε να το κουβεντιάσουμε. Είναι ευκαιρία να αποδείξουμε μαζί του ότι κάθε συνεχής και 1-1 συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη. Πιθανόν αυτό να μην του χρειαστεί ποτέ , αλλά θα δει πώς εφαρμόζουμε το ΘΕΤ σε θεωρητικά θέματα και πώς την απαγωγή σε άτοπο.
Θα βάλω κάποια στιγμούλα και τη λύση , οπότε θα δείτε ότι η άσκηση δεν είναι και τόσο ....άσχημη , όσο φαίνεται από πρώτη στιγμή.Με εξαίρεση το γ) όλα τα άλλα ερωτήματα είναι στοιχειώδη, αν και μερικά είναι κάπως δύσκολα.
Με το σκεπτικό λοιπόν ότι σε ένα μαθηματικό site η επισήμανση των δύσκολων σημείων είναι χρήσιμη και μας βγάζει από τα απρόοπτα(πχ : κύριε, δεν μας είχατε ποτέ κάνει κάτι παρόμοιο !) , έφτιαξα το θέμα αυτό και το μοιράστηκα μαζί σας .
Μπάμπης
Re: Μάλλον απίθανη , αλλά χρήσιμη
Καλό μεσημέρι
Επιχειρώ μια προσέγγιση και ελπίζω να μην έχω λάθη.
α) . Άρα η f είναι 1-1.
Θέτουμε στην (1) ()
όπου x το f(x)(f(x) μεγαλύτερο ή ίσο του μηδενός) και παίρνουμε
β) Η f είναι 1-1 και ορίζεται η αντίστροφή της. Θα δείξουμε ότι η f έχει σύνολο τιμών το
Έστω , τότε
. Η εξίσωση f(x)=y έχει λύση τον αριθμό . Πράγματι
Συνεπώς η f έχει σύνολο τιμών το που είναι το πεδίο ορισμού (και σύνολο τιμών) της αντίστροφης της f.
Θέτουμε τώρα στην (1) όπου x το και παίρνουμε ότι:
. Συνεπώς η είναι συνεχής σαν ρίζα συνεχούς συνάρτησης(στο )
γ) Εδώ αποδεικνύουμε την γνωστή πρόταση ότι κάθε συνεχής και 1-1 συνάρτηση σε διάστημα Δ είναι γνησίως μονότονη σε αυτό.
Από την (3) προκύπτει ότι f και έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας.
δ) Από την (2) βρίσκουμε ότι και παίρνοντας υπόψη ότι η f είναι 1-1 θα είναι
Αν η f θα είναι γνησίως φθίνουσα(σαν γν.μονότονη) οπότε , άτοπο.
Συνεπώς και οι f , είναι γνησίως άυξουσες.
ε) Αρχικά δείχνουμε ότι η f(x) = x έχει μοναδικές ρίζες τις χ=0 και χ=1.
\displaystyle{\displaystyle{
\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} f(x^2 ) = f(f(x))\mathop \Leftrightarrow \limits_*^{f\,\,1 - 1} \,f(x) = x^2 \Leftrightarrow x^2 = x \Leftrightarrow x = 0\,\,\eta \,\,x = 1}\displaystyle{
x^2 }\displaystyle{
\gamma \iota \alpha \,\,\,\,\,\kappa \alpha \theta \,\,\,x \ge 0}\displaystyle{
f^{ - 1} (x^2 ) = \sqrt {f(x^2 )} \,\mathop \Rightarrow \limits^{(2)} f^{ - 1} (x^2 ) = f(x)\,\,\,(4)}\displaystyle{
\int_0^1 {(2x + 1)f(x)dx} \,\,\, = \int_0^1 {2xf(x)dx} + \int_0^1 {f(x)dx} \,\,(5)}\displaystyle{
\int_0^1 {2xf(x)dx} \mathop = \limits^{(4)} \int_0^1 {2xf^{ - 1} (x^2 )dx} \,\,\mathop = \limits_{du = 2xdx}^{u = x^2 } \,\,\int_0^1 {f^{ - 1} (u)du}
}}(συνημμένο σχήμα)
Ακόμη (Πήραμε υπόψη ότι f και μη αρνητικές ) , οπότε:
Γιώργος
ΥΓ. Η κόκκινη γρ.παρ είναι της f προφανώς πάνω από τη μπλε(της αντίστροφης) στο [0 , 1] λόγω της (3)
Επιχειρώ μια προσέγγιση και ελπίζω να μην έχω λάθη.
α) . Άρα η f είναι 1-1.
Θέτουμε στην (1) ()
όπου x το f(x)(f(x) μεγαλύτερο ή ίσο του μηδενός) και παίρνουμε
β) Η f είναι 1-1 και ορίζεται η αντίστροφή της. Θα δείξουμε ότι η f έχει σύνολο τιμών το
Έστω , τότε
. Η εξίσωση f(x)=y έχει λύση τον αριθμό . Πράγματι
Συνεπώς η f έχει σύνολο τιμών το που είναι το πεδίο ορισμού (και σύνολο τιμών) της αντίστροφης της f.
Θέτουμε τώρα στην (1) όπου x το και παίρνουμε ότι:
. Συνεπώς η είναι συνεχής σαν ρίζα συνεχούς συνάρτησης(στο )
γ) Εδώ αποδεικνύουμε την γνωστή πρόταση ότι κάθε συνεχής και 1-1 συνάρτηση σε διάστημα Δ είναι γνησίως μονότονη σε αυτό.
Από την (3) προκύπτει ότι f και έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας.
δ) Από την (2) βρίσκουμε ότι και παίρνοντας υπόψη ότι η f είναι 1-1 θα είναι
Αν η f θα είναι γνησίως φθίνουσα(σαν γν.μονότονη) οπότε , άτοπο.
Συνεπώς και οι f , είναι γνησίως άυξουσες.
ε) Αρχικά δείχνουμε ότι η f(x) = x έχει μοναδικές ρίζες τις χ=0 και χ=1.
\displaystyle{\displaystyle{
\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} f(x^2 ) = f(f(x))\mathop \Leftrightarrow \limits_*^{f\,\,1 - 1} \,f(x) = x^2 \Leftrightarrow x^2 = x \Leftrightarrow x = 0\,\,\eta \,\,x = 1}\displaystyle{
x^2 }\displaystyle{
\gamma \iota \alpha \,\,\,\,\,\kappa \alpha \theta \,\,\,x \ge 0}\displaystyle{
f^{ - 1} (x^2 ) = \sqrt {f(x^2 )} \,\mathop \Rightarrow \limits^{(2)} f^{ - 1} (x^2 ) = f(x)\,\,\,(4)}\displaystyle{
\int_0^1 {(2x + 1)f(x)dx} \,\,\, = \int_0^1 {2xf(x)dx} + \int_0^1 {f(x)dx} \,\,(5)}\displaystyle{
\int_0^1 {2xf(x)dx} \mathop = \limits^{(4)} \int_0^1 {2xf^{ - 1} (x^2 )dx} \,\,\mathop = \limits_{du = 2xdx}^{u = x^2 } \,\,\int_0^1 {f^{ - 1} (u)du}
}}(συνημμένο σχήμα)
Ακόμη (Πήραμε υπόψη ότι f και μη αρνητικές ) , οπότε:
Γιώργος
ΥΓ. Η κόκκινη γρ.παρ είναι της f προφανώς πάνω από τη μπλε(της αντίστροφης) στο [0 , 1] λόγω της (3)
Γιώργος Ροδόπουλος
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5561
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
- Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα
Re: Μάλλον απίθανη , αλλά χρήσιμη
Γιώργο, πολύ ωραία η προσέγγισή σου στα τρία πρώτα ερωτήματα.Και γω σε αυτό το μήκος κύματος τη συνέθεσα. Για το τελευταίο ερώτημα , δεν ξέρω αν έβαλες αυτή τη λύση για να καταδείξεις και κάποια γεωμετρική πλευρά του θέματος. Υποθέτω πως ναι.
Υπάρχει και άλλη λύση βέβαια , καθαρά .... αλγεβρική. Θα την βάλουμε, αν χρειαστεί , άλλη στιγμούλα.
Μπάμπης
Υπάρχει και άλλη λύση βέβαια , καθαρά .... αλγεβρική. Θα την βάλουμε, αν χρειαστεί , άλλη στιγμούλα.
Μπάμπης
Re: Μάλλον απίθανη , αλλά χρήσιμη
Μπάμπη ξεκινώντας για αλγεβρική λύση οδηγήθηκα στην ισότητα και επειδή σκέφθηκα την γεωμετρική αντιμετώπιση.Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Γιώργο, πολύ ωραία η προσέγγισή σου στα τρία πρώτα ερωτήματα.Και γω σε αυτό το μήκος κύματος τη συνέθεσα. Για το τελευταίο ερώτημα , δεν ξέρω αν έβαλες αυτή τη λύση για να καταδείξεις και κάποια γεωμετρική πλευρά του θέματος. Υποθέτω πως ναι.
Υπάρχει και άλλη λύση βέβαια , καθαρά .... αλγεβρική. Θα την βάλουμε, αν χρειαστε , άλλη στιγμούλα.
Μπάμπης
Το ξανακοίταξα κάποια στιγμή αλλά δεν μπόρεσα να δώσω αλγεβρική λύση. Τι μου διαφεύγει ή τι δεν έχω σκεφθεί;
Γιώργος
Γιώργος Ροδόπουλος
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5561
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
- Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα
Re: Μάλλον απίθανη , αλλά χρήσιμη
Ευχαριστώ το Γιώργο και το Λευτέρη που μου το επεσήμαναν : Η παρακάτω σκέψη αφορά παραγωγίσιμη συνάρτηση. Θα το συμπληρώσω στην εκφώνηση:hsiodos έγραψε:Μπάμπη ξεκινώντας για αλγεβρική λύση οδηγήθηκα στην ισότητα και επειδή σκέφθηκα την γεωμετρική αντιμετώπιση.Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Γιώργο, πολύ ωραία η προσέγγισή σου στα τρία πρώτα ερωτήματα.Και γω σε αυτό το μήκος κύματος τη συνέθεσα. Για το τελευταίο ερώτημα , δεν ξέρω αν έβαλες αυτή τη λύση για να καταδείξεις και κάποια γεωμετρική πλευρά του θέματος. Υποθέτω πως ναι.
Υπάρχει και άλλη λύση βέβαια , καθαρά .... αλγεβρική. Θα την βάλουμε, αν χρειαστε , άλλη στιγμούλα.
Μπάμπης
Το ξανακοίταξα κάποια στιγμή αλλά δεν μπόρεσα να δώσω αλγεβρική λύση. Τι μου διαφεύγει ή τι δεν έχω σκεφθεί;
Γιώργος
Είναι επίσης
οπότε η αντικατάσταση βοηθάει περισσσότερο στο δεύτερο ολοκλήρωμα της σχέσης 5 , χωρίς να πειράξουμε το πρώτο ολοκλήρωμα!
Μπάμπης
- polysot
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2583
- Εγγραφή: Δευ Οκτ 19, 2009 11:43 pm
- Τοποθεσία: Όπου βρω ενδιαφέρουσες προσωπικότητες...
- Επικοινωνία:
Re: Μάλλον απίθανη , αλλά χρήσιμη
Καλή είναι η άσκηση και όχι πολύ δύσκολη!
Γενικά, πιστεύω ότι και κανένα πολύ δύσκολο θεματάκι είναι χρήσιμο για μερικούς μαθητές που και που, διότι :
α) Ενδεχομένως, να καλύπτει κάποια πλευρά σκέψης που πιθανόν τους διαφεύγει, εφόσον μπορούν να την "έχουν".
β) Ενδεχομένως, σε μερικούς μαθητές που μπορεί να "την έχουν δει" - μου χει τύχει τέτοια περίπτωση - να τους βοηθήσει να μη σπάσουν τα μούτρα τους σε περίπτωση που συναντήσουν κάτι πρωτόγνωρο: άρα κανά δυο τέτοια θεματάκια μέσα στη χρονιά ίσως να ναι χρήσιμα γι' αυτούς.
Όλα βέβαια εξαρτώνται από τη γνώση και τις ανάγκες που έχει διαγνώσει ο καθένας για τους μαθητές του. Το συγκεκριμένο θα το ενέτασσα, ως προς κάποια ερωτήματά του, στην κατηγορία α.
Ευχαριστούμε,
Γενικά, πιστεύω ότι και κανένα πολύ δύσκολο θεματάκι είναι χρήσιμο για μερικούς μαθητές που και που, διότι :
α) Ενδεχομένως, να καλύπτει κάποια πλευρά σκέψης που πιθανόν τους διαφεύγει, εφόσον μπορούν να την "έχουν".
β) Ενδεχομένως, σε μερικούς μαθητές που μπορεί να "την έχουν δει" - μου χει τύχει τέτοια περίπτωση - να τους βοηθήσει να μη σπάσουν τα μούτρα τους σε περίπτωση που συναντήσουν κάτι πρωτόγνωρο: άρα κανά δυο τέτοια θεματάκια μέσα στη χρονιά ίσως να ναι χρήσιμα γι' αυτούς.
Όλα βέβαια εξαρτώνται από τη γνώση και τις ανάγκες που έχει διαγνώσει ο καθένας για τους μαθητές του. Το συγκεκριμένο θα το ενέτασσα, ως προς κάποια ερωτήματά του, στην κατηγορία α.
Ευχαριστούμε,
Σωτήρης Δ. Χασάπης
Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu
Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 8 επισκέπτες