ΣΥΣΤΗΜΑ 38

nikoszan · #1

Να λυθεί το σύστημα
$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} {3^{x - y}} = \frac{{6x + 3}}{{x + y + 2}}\\ {\left( {{x^3} + x} \right)^3} + 4{\left( {y + 1} \right)^3} = 10x + 2y + 2\\ \left( {x,y \in \left[ {0, + \infty } \right)} \right) \end{array} \right.}$

kostas_zervos · #2

nikoszan έγραψε:Να λυθεί το σύστημα
$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} {3^{x - y}} = \frac{{6x + 3}}{{x + y + 2}}\\ {\left( {{x^3} + x} \right)^3} + 4{\left( {y + 1} \right)^3} = 10x + 2y + 2\\ \left( {x,y \in \left[ {0, + \infty } \right)} \right) \end{array} \right.}$

$3^{x-y}=\dfrac{6x+3}{x+y+2}\iff \dfrac{3^x}{3^y}=\dfrac{3(2x+1)}{x+y+2}\iff$

$\iff \dfrac{3^{x-1}}{3^{y}}=\dfrac{2x+1}{x+y+2} \iff \dfrac{3^{x-1}\cdot 3^{x+2}}{3^{y}\cdot 3^{x+2}}=\dfrac{2x+1}{x+y+2}\iff$

$\dfrac{3^{2x+1}}{3^{y+x+2}}=\dfrac{2x+1}{x+y+2}\iff \dfrac{2x+1}{3^{2x+1}}=\dfrac{x+y+2}{3^{x+y+2}}$ .

Έστω η συνάρτηση $f(x)=\dfrac{x}{3^x}\;,\;x\geq 1$ .

Η

είναι συνεχής στο $[1,+\infty)$ και παραγωγίσιμη με $f'(x)=\dfrac{1-xln3}{3^x}<0$ για κάθε $x\geq 1$ .

Άρα είναι γνησίως φθίνουσα στο $[1,+\infty)$ , έτσι αν $x\;,\;y\in[0,+\infty)$ , τότε $2x+1\geq 1$ και x+y+2>1

.

Άρα $\dfrac{2x+1}{3^{2x+1}}=\dfrac{x+y+2}{3^{x+y+2}}\iff f(2x+1)=f(x+y+2)\overset{f\;1-1}{\iff}$

$\iff 2x+1=x+y+2\iff y=x-1\;\;(1)$ .

Έτσι η 2η εξίσωση γράφεται:

$\left( x^3 + x\right)^3 + 4\left(x-1 + 1\right)^3} = 10x + 2(x-1) + 2\iff$

$\iff (x^3+x)^3+4x^3=12x\iff$

$\iff x^3(x^2+1)^3+4x^3-12x=0\iff x\left[x^2(x^2+1)+4x^2-12\right]=0\iff$

$\iff x=0$ ή x^2(x^2+1)^3+4x^2-12=0

.

Στη 2η θέτουμε x^2=t

και γίνεται $t(t+1)^3+4t-12=0\iff t^4+3t^3+3t^2+5t-12=0$ , από όπου λύνοντας βρίσκουμε

t=1

ή $t=-3\iff x^2=1$ ή $x^2=-3\iff x=1$ .

Για x=0

, έχουμε

(απορρίπτεται).

Για x=1

, έχουμε

, άρα

(επαληθεύει).

Λάμπρος Μπαλός · #3

Ωραίο σύστημα.

Thanasis Tasoulas · #4

Λίγο πιο απλά χωρίς να χρειαστεί να το παρατηρήσουμε τον παραπάνω μετασχηματισμό.
Θεωρούμε την $f(y)={{3}^{x-y}}(x+y+2)-6x-3,x,y\ge 0$
${f}'(y)=-{{3}^{x-y}}(x+y+2-ln3)<0$ , άρα

γν. φθίνουσα
και αφού $f(x-1)=0,\forall x\ge 0$ άρα $f(y)=f(x-1)\overset{f:1-1}{\mathop{\Rightarrow }}\,y=x-1$ .
Η συνέχεια όμοια με την δική σας.

Edit:Έγιναν οι διορθώσεις και τώρα είναι σωστό. Ευχαριστώ τον κ. kostas_zervos και τον κ. parmenides51 για τις επισημάνσεις τους.

parmenides51 · #5

Thanasis Tasoulas έγραψε:Λίγο πιο απλά χωρίς να χρειαστεί να το παρατηρήσουμε τον παραπάνω μετασχηματισμό.
Θεωρούμε την $f(y)={{3}^{x-y}}(x+y+2)-6x-3,x,y\ge 0$
${f}'(y)=-{{3}^{x-y}}(x+y+1)<0$ , άρα γν. φθίνουσα
και αφού $f(x{\color{red}-}1)=0,\forall x\ge 0$ άρα $f(y)=f(x{\color{red}-}1)\overset{f:1-1}{\mathop{\Rightarrow }}\,y=x{\color{red}-}1$ .
Η συνέχεια όμοια με την δική σας.

Έχεις ένα τυπογραφικό, ωστόσο παραμένει ωραία ιδέα

ΣΥΣΤΗΜΑ 38

ΣΥΣΤΗΜΑ 38

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ 38

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ 38

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ 38

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ 38

Μέλη σε σύνδεση