Όμορφο ολοκλήρωμα (ρίζα πολυωνυμικής)

#1

Ας υπολογισθεί το $\displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{(x-a)(b-x)}\,dx$ ,
όπου $a\ne b$ .

mathxl · #2

Μία λύση
$\begin{array}{l} I = \int\limits_\alpha ^\beta {\sqrt {\left( {x - \alpha } \right)\left( {x - \beta } \right)} } dx = \frac{{\left| {\alpha - \beta } \right|}}{2}\int\limits_\alpha ^\beta {\sqrt {1 - {{\left( {\frac{{x - \frac{{\alpha + \beta }}{2}}}{{\frac{{\alpha - \beta }}{2}}}} \right)}^2}} } dx\mathop = \limits_{dx = \frac{{\alpha - \beta }}{2}\sigma \upsilon \nu tdt}^{\frac{{x - \frac{{\alpha + \beta }}{2}}}{{\frac{{\alpha - \beta }}{2}}} = \eta \mu t} \\ = - \frac{{\left| {\alpha - \beta } \right|}}{2}\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\alpha - \beta }}{2}\sigma \upsilon {\nu ^2}tdt} = - \frac{{\left| {\alpha - \beta } \right|\left( {\alpha - \beta } \right)}}{4}\left[ {\frac{t}{2} + \frac{{\eta \mu 2t}}{4}} \right]_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} = \\ = - \frac{{\left| {\alpha - \beta } \right|\left( {\alpha - \beta } \right)\pi }}{8} \\ \end{array}$

#3

mathxl έγραψε:Μία λύση
$\begin{array}{l} I = \int\limits_\alpha ^\beta {\sqrt {\left( {x - \alpha } \right)\left( {x - \beta } \right)} } dx = \frac{{\left| {\alpha - \beta } \right|}}{2}\int\limits_\alpha ^\beta {\sqrt {1 - {{\left( {\frac{{x - \frac{{\alpha + \beta }}{2}}}{{\frac{{\alpha - \beta }}{2}}}} \right)}^2}} } dx\mathop = \limits_{dx = \frac{{\alpha - \beta }}{2}\sigma \upsilon \nu tdt}^{\frac{{x - \frac{{\alpha + \beta }}{2}}}{{\frac{{\alpha - \beta }}{2}}} = \eta \mu t} \\ = - \frac{{\left| {\alpha - \beta } \right|}}{2}\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\alpha - \beta }}{2}\sigma \upsilon {\nu ^2}tdt} = - \frac{{\left| {\alpha - \beta } \right|\left( {\alpha - \beta } \right)}}{4}\left[ {\frac{t}{2} + \frac{{\eta \mu 2t}}{4}} \right]_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} = \\ = - \frac{{\left| {\alpha - \beta } \right|\left( {\alpha - \beta } \right)\pi }}{8} \\ \end{array}$

Ωραίος. Υπάρχει και κάποια άλλη αντικατάσταση που δουλεύει αλλά δεν τη βάζω πρίν να λυθεί και αυτή.

#4

Δουλεύει και η $x=a\cos^{2}\theta+b\sin^{2}\theta$ με $\displaystyle\theta\in[0,\frac{\pi}{2}]$ .

manos1992 · #5

καλησπέρα. αν και με πολλη καθυστερυση στελνω κι εγω μια σκέψη.

Θέτω $u=\frac{a+b}{2}+x$ τοτε το ολοκληρωμα ισουται με $\int_{\frac{3a+b}{2}}^{\frac{3b+a}{2}}{\sqrt{c^2-u^2}du}$ οπου c είναι η διαφορά της αριθμητικής προόδου α, (α+b)/2, b κατόπιν αν θέσουμε ξανά u=csint

νομίζω τσυλάει από εκεί και πέρα..

Όμορφο ολοκλήρωμα (ρίζα πολυωνυμικής)

Όμορφο ολοκλήρωμα (ρίζα πολυωνυμικής)

Re: Όμορφο ολοκλήρωμα (ρίζα πολυωνυμικής)

Re: Όμορφο ολοκλήρωμα (ρίζα πολυωνυμικής)

Re: Όμορφο ολοκλήρωμα (ρίζα πολυωνυμικής)

Re: Όμορφο ολοκλήρωμα (ρίζα πολυωνυμικής)

Μέλη σε σύνδεση