Πολυωνυμική συνάρτηση

#1

Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x^5+ax^4+bx^3+cx^2 +dx+e

. Αν η εξίσωση f(x)=0

έχει ρίζες τις

x_1,x_2,x_3,x_4,x_5

, να αποδειχθεί ότι :

$f '(x_1) +f '(x_2) + f '(x_3) +f '(x_4) +f '(x_5) \geq 0$

Σημείωση :

Οι συντελεστές είναι πραγματικοί αριθμοί και η μεταβλητή είναι πραγματική.

Μπάμπης

#2

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση . Αν η εξίσωση έχει ρίζες τις

, να αποδειχθεί ότι :

$f '(x_1) +f '(x_2) + f '(x_3) +f '(x_4) +f '(x_5) \geq 0$

Οι συντελεστές είναι πραγματικοί αριθμοί και η μεταβλητή είναι πραγματική.

Είναι $f(x) = (x-x_1)(x-x_2)...(x-x_5) \,\,$ και, χωρίς βλάβη, $x_1 \ge x_2 \ge ... \ge x_5$ .
Εύκολα βλέπουμε ότι $f^{\prime}(x_1) = (x_1-x_2)(x_2-x_3)(x_1-x_4)(x_1-x_5) \,\,$ και ανάλογα για τα υπόλοιπα.

Έχουμε $f^{\prime}(x_3) = (x_3-x_1)(x_3-x_2)(x_3-x_4)(x_3-x_5) = (-)(-)(+)(+) \ge 0 \,\, (1)$ .

Επίσης με πολλαπλασιασμό κατά μέλη των ανισοτήτων (θετικών όρων) λαμβάνουμε

$x_1-x_2 \ge x_1-x_2$
$x_1-x_3 \ge x_2-x_3$
$x_1-x_4 \ge x_2-x_4$
$x_1-x_5 \ge x_2-x_5$
____________________________
$f^{\prime}(x_1) \ge -f^{\prime}(x_2) \,\,$

ή $f^{\prime}(x_1) + f^{\prime}(x_2) \ge 0 \,\, (2)$ .

Όμοια $f^{\prime}(x_4) + f^{\prime}(x_5) \ge 0 \,\, (3)$ .

Το ζητούμενο προκύπτει με πρόσθεση κατά μέλη των (1), (2), (3).

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου.

Υ.Γ.
Δεν έγινε χρήση της υπόθεσης ότι οι συντελεστές είναι πραγματικοί.
Μας αρκεί ότι οι ρίζες είναι πραγματικές.

Πολυωνυμική συνάρτηση

Πολυωνυμική συνάρτηση

Re: Πολυωνυμική συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση