'Ομορφη
Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου
'Ομορφη
Δίνεται συνάρτηση παραγωγίσιμη, με συνεχή πρώτη παράγωγο και .
1) Να αποδείξετε οτι είναι αντιστρέψιμη και να βρεθεί το πεδίο ορισμού της αντίστροφης
Αν η είναι συνεχής και ισχύει οτι:
2) Nα βρεθεί το
3) Yπάρχει τουλάχιστον ενα ώστε η εφαπτομένη της στο σημείο είναι παράλληλη στην ευθεία
4) H τέμνει την διχοτόμο της 1ης και της 3ης γωνίας των αξόνων σε ακριβώς ενα σημείο με τετμημένη
5)
6) Αν τοτε
1) Να αποδείξετε οτι είναι αντιστρέψιμη και να βρεθεί το πεδίο ορισμού της αντίστροφης
Αν η είναι συνεχής και ισχύει οτι:
2) Nα βρεθεί το
3) Yπάρχει τουλάχιστον ενα ώστε η εφαπτομένη της στο σημείο είναι παράλληλη στην ευθεία
4) H τέμνει την διχοτόμο της 1ης και της 3ης γωνίας των αξόνων σε ακριβώς ενα σημείο με τετμημένη
5)
6) Αν τοτε
Λέξεις Κλειδιά:
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5226
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: 'Ομορφη
Κάπως αντίστροφα για τα πρώτα δύο ερωτήματα.erxmer έγραψε:Δίνεται συνάρτηση παραγωγίσιμη, με συνεχή πρώτη παράγωγο και .
1) Να αποδείξετε οτι είναι αντιστρέψιμη και να βρεθεί το πεδίο ορισμού της αντίστροφης
Αν η είναι συνεχής και ισχύει οτι:
2) Nα βρεθεί το
3) Yπάρχει τουλάχιστον ενα ώστε η εφαπτομένη της στο σημείο είναι παράλληλη στην ευθεία
4) H τέμνει την διχοτόμο της 1ης και της 3ης γωνίας των αξόνων σε ακριβώς ενα σημείο με τετμημένη
5)
6) Αν τοτε
α) Προφανώς η είναι αντιστρέψιμη αφού είναι γνησίως φθίνουσα διότι .
β) Από τη σχέση που δίδεται έχουμε
άρα . Επειδή η είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα το σύνολο τιμών είναι το .
γ) Αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει τέτοιο ώστε . Από Θέωρημα Μέσης Τιμής για τη παραγωγίσιμη στο συνάρτηση έχουμε ότι υπάρχει ένα τέτοιο ώστε
όπως θέλαμε.
δ) Η διχοτόμος της πρώτης και τρίτης γωνίας των αξόνων δεν είναι άλλη από την ευθεία . Θεωρώντας τη συνάρτηση εύκολα διαπιστώνουμε ότι είναι γνήσια φθίνουσα καθώς και ότι , . Οπότε από θεώρημα Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον τέτοιο ώστε το οποίο λόγω μονοτονίας είναι μοναδικό.
ε) Η ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Μέσης Τιμής στα διαστήματα και . Οπότε από εφαρμογή του θεωρήματος στο διάστημα υπάρχει ένα τέτοιο ώστε και στο διάστημα υπάρχει ένα τέτοιο ώστε . Οπότε:
στ) Δυστυχώς δε μπορώ να βγάλω το ως το φράγμα που δίδει η άσκηση. Βγάζω . Αυτό που έκανα είναι το εξής: Από το σύνολο τιμών γνωρίζουμε ότι . Άρα . Με πρόσθεση κατά μέλη έχουμε διαδοχικά:
Τι δε βλέπω;
τελευταία επεξεργασία από Tolaso J Kos σε Δευ Νοέμ 07, 2016 5:06 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
Re: 'Ομορφη
Τόλη, σου ρίχνω γενίκευση:
Έστω συνάρτηση μονότονη και θετική στο με .
Τότε
Έστω συνάρτηση μονότονη και θετική στο με .
Τότε
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5226
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: 'Ομορφη
Δημήτρη,dement έγραψε:
Έστω συνάρτηση μονότονη και θετική στο με .
Τότε
αυτή η πρόταση είναι τόσο γνωστή αλλά πού να πάει το μυαλό ; Άρα, σύμφωνα με αυτό έχουμε:
Άρα:
Βέβαια, όσο γνωστή είναι η πρόταση άλλο τόσο απαγορευμένη είναι για το Λύκειο αν και βέβαια η απόδειξή της είναι εύκολη. Πράγματι, όμορφη άσκηση.
Υ.Σ: Στο πάνω μήνυμά μου διορθώθηκαν κάποιες (συντακτικές) μορφοποιήσεις. Δεν έχει αλλάξει το μαθηματικό περιεχόμενο.
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
Re: 'Ομορφη
Για την απόδειξη της γενικότερης ανισότητας σκέφτηκα την ανισότητα Chebychev άλλα δε βρίσκω τις σωστές συναρτήσεις για την εφαρμογή της. Ποια είναι η απόδειξη που έχεις κατά νου;Tolaso J Kos έγραψε:Δημήτρη,dement έγραψε:
Έστω συνάρτηση μονότονη και θετική στο με .
Τότε
αυτή η πρόταση είναι τόσο γνωστή αλλά πού να πάει το μυαλό ; Άρα, σύμφωνα με αυτό έχουμε:
Άρα:
Βέβαια, όσο γνωστή είναι η πρόταση άλλο τόσο απαγορευμένη είναι για το Λύκειο αν και βέβαια η απόδειξή της είναι εύκολη. Πράγματι, όμορφη άσκηση.
Υ.Σ: Στο πάνω μήνυμά μου διορθώθηκαν κάποιες (συντακτικές) μορφοποιήσεις. Δεν έχει αλλάξει το μαθηματικό περιεχόμενο.
Γιώργος
Re: 'Ομορφη
Περαιτέρω γενίκευση: Έστω μονότονη θετική συνάρτηση και με και . Τότε .
Έστω . Ισχύει .
Ομοίως .
Προσθέτοντας κατά μέλη και χρησιμοποιώντας την υπόθεση παίρνουμε το ζητούμενο.
Έστω . Ισχύει .
Ομοίως .
Προσθέτοντας κατά μέλη και χρησιμοποιώντας την υπόθεση παίρνουμε το ζητούμενο.
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Re: 'Ομορφη
Και έτσι αποφεύγεται και η συνθήκη της μονοτονίας.
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης