Επειδή κάτι που έγραψα για την απόδειξη του 5) έγινε αντικείμενο κριτικής, αμφισβητήσεων και ενστάσεων (είναι αλήθεια ότι ήταν πολύ συμπυκνωμένο) χαίρομαι που μου ζητήθηκε να το ξαναγράψω αναλυτικά, διότι φαίνεται ότι δεν πέρασε απαρατήρητο.
Η εξίσωση
έχει λύση εκεί που τα διαγράμματα των
και
έχουν κοινά σημεία.
Τα κοινά αυτά σημεία μπορεί να είναι επί της πρώτης διχοτόμου
ή εκτός αυτής. Στην περίπτωσή μας όπως θα δούμε υπάρχουν μόνο τα πρώτα.
Τα επί της
δίνονται από τις λύσεις της εξισώσεως
λόγω συμμετρικότητας των διαγραμμάτων των
και
.
Έχουμε
. Θα δείξουμε ότι αυτή έχει μοναδική λύση. Θεωρούμε προς τούτο τη συνάρτηση
η οποία στο διάστημα
πληροί τις προϋποθέσεις του Θ Bolzano άρα κάπου μεταξύ 1 και e, ας πούμε στο
, μηδενίζεται. Άρα έχουμε μια λύση
για την
ήτοι
(1)
Αν η συνάρτηση
μηδενιζόταν και σε άλλο σημείο έστω
τότε στο διάστημα των σημείων
και
θα πληρούσε τις προϋποθέσεις του Θ Rolle οπότε η παράγωγός της θα μηδενιζόταν κάπου μεταξύ των
και
. Όμως είναι
άτοπο διότι είμαστε εκτός ΠΟ.
Άρα επί της
έχουμε ακριβώς ένα κοινό σημείο.
Μια προτασούλα απαραίτητη πριν προχωρήσουμε:
Τα εκτός
κοινά σημεία των
και
εμφανίζονται κατά ζεύγη υπό την έννοια ότι όταν ένα σημείο είναι κοινό τότε είναι κοινό και το συμμετρικό του ως προς
.
Πράγματι επειδή τα διαγράμματα των
και
είναι συμμετρικά, αν
ένα σημείο και
το συμμετρικό του (πάντα ως προς
) έχουμε:
ανήκει στο διάγραμμα της
τότε
ανήκει στο διάγραμμα της
ανήκει στο διάγραμμα της
τότε
ανήκει στο διάγραμμα της
. Άρα
κοινό.
Αν τώρα τo
είναι ένα κοινό σημείο των
και
που δεν ανήκει στην
θα είναι:
α)
β) Το συμμετρικό του που είναι το
θα ανήκει επίσης στην
δηλαδή θα είναι
.
Αν η εξίσωση αυτή του β) υπό τη προϋπόθεση α) έχει λύσεις τη βάψαμε όλοι κατασκευαστής και λύτες. Όμως δεν έχει όπως αμέσως θα δούμε:
Όπως συνήθως θεωρούμε τη συνάρτηση
η οποία μηδενίζεται, όπως αμέσως θα δούμε, στο
που βρήκαμε πιο πάνω στο (1) (το οποίο βέβαια δεν πληροί την α) .
Πράγματι:
.
Αν η
μηδενιζόταν και σε κάποιο άλλο σημείο
τότε στο διάστημα των
και
θα πληρούσε τις προϋποθέσεις του ΘRolle οπότε η παράγωγός της θα μηδενιζόταν κάπου μεταξύ των
και
. Όμως
που δεν έχει λύση.
Άρα έχουμε μοναδική λύση για την
.
ΠΚ