Λογάριθμος και απόλυτο

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Δίνεται η $f:(0,\infty )\rightarrow \mathbb{R}$

με $f(x)=e^{\left | lnx \right |^{\frac{1}{2}}}$

1)Δικαιολογήστε γιατί είναι συνεχής και δείξτε ότι έχει ολικό ελάχιστο σε ένα $x_{0}\in (0,\infty )$

2)Βρείτε το f'(x)

για $x\in (0,\infty )-\left \{ 1 \right \}$ και δείξτε ότι δεν παραγωγίζεται στο

3)Δείξτε ότι $\lim_{x\rightarrow \infty }\left | lnx \right |^{\frac{1}{2}}-lnx=-\infty$

4)Βρείτε το $\lim_{x\rightarrow \infty }\dfrac{f(x)}{x}$ και δείξτε ότι δεν έχει ασύμπτωτη στο $\infty$

5)Δείξτε ότι η συνάρτηση είναι κοίλη στο $[1,\infty )$

6)Δείξτε ότι υπάρχει $c\in (0,\infty )$

με $f(c)=2\left | lnc \right |^{\frac{1}{2}}c$

Η συνάρτηση αυτή είναι τυπικό παράδειγμα συνάρτησης που πάει στο $\infty$
πιο 'γρήγορα' από οποιαδήποτε δύναμη του λογαρίθμου και πιο 'αργά' από οποιαδήποτε δύναμη του

Δηλαδή για a> 0

$\lim_{x\rightarrow \infty }\dfrac{f(x)}{x^{a}}=0$

ενώ $\lim_{x\rightarrow \infty }\dfrac{f(x)}{(lnx)^{a}}=\infty$
(Δεν είναι και τόσο δύσκολα να αποδειχθούν)

#2

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Δίνεται η $f:(0,\infty )\rightarrow \mathbb{R}$

με $f(x)=e^{\left | lnx \right |^{\frac{1}{2}}}$

1)Δικαιολογήστε γιατί είναι συνεχής και δείξτε ότι έχει ολικό ελάχιστο σε ένα $x_{0}\in (0,\infty )$

2)Βρείτε το για $x\in (0,\infty )-\left \{ 1 \right \}$ και δείξτε ότι δεν παραγωγίζεται στο

3)Δείξτε ότι $\lim_{x\rightarrow \infty }\left | lnx \right |^{\frac{1}{2}}-lnx=-\infty$

4)Βρείτε το $\lim_{x\rightarrow \infty }\dfrac{f(x)}{x}$ και δείξτε ότι δεν έχει ασύμπτωτη στο $\infty$

5)Δείξτε ότι η συνάρτηση είναι κοίλη στο $[1,\infty )$

6)Δείξτε ότι υπάρχει $c\in (0,\infty )$

με $f(c)=2\left | lnc \right |^{\frac{1}{2}}c$

Η συνάρτηση αυτή είναι τυπικό παράδειγμα συνάρτησης που πάει στο $\infty$
πιο 'γρήγορα' από οποιαδήποτε δύναμη του λογαρίθμου και πιο 'αργά' από οποιαδήποτε δύναμη του

Δηλαδή για

$\lim_{x\rightarrow \infty }\dfrac{f(x)}{x^{a}}=0$

ενώ $\lim_{x\rightarrow \infty }\dfrac{f(x)}{(lnx)^{a}}=\infty$
(Δεν είναι και τόσο δύσκολα να αποδειχθούν)

...μιά αντιμετώπιση....

1) Είναι $f(x)=e^{\left | lnx \right |^{\frac{1}{2}}}$ για $x\in (0,\infty )$ και επειδή η $|\ln x|$ συνεχής στο $(0,\infty )$ και η

$\sqrt{x}={{x}^{\frac{1}{2}}}$ συνεχής στο $[0,\infty )$ και η ${{e}^{x}}$ συνεχής στο

η

είναι συνεχής ως σύνθεση συνεχών και

επειδή $|\ln x{{|}^{\frac{1}{2}}}=\sqrt{|\ln x|}\ge 0\Rightarrow {{e}^{\sqrt{|\ln x|}}}\ge 1\Rightarrow f(x)\ge f(1),\,\,\,x\in (0,\,\,+\infty )$ η

έχει ολικό ελάχιστο το f(1)=1

2) Είναι για 0<x<1

η $f(x)={{e}^{{{(-\ln x)}^{\frac{1}{2}}}}}$ παραγωγίσιμη ως πράξεις παραγωγίσιμων με

$\ln (f(x))=\sqrt{-\ln x}$

οπότε παραγωγίζοντας έχουμε $\frac{{f}'(x)}{f(x)}=\frac{(-\ln x{)}'}{2\sqrt{-\ln x}}\Rightarrow {f}'(x)=\frac{f(x)}{2x\sqrt{-\ln x}}$

και για x>1

η $f(x)={{e}^{{{(\ln x)}^{\frac{1}{2}}}}}$ παραγωγίσιμη ως πράξεις παραγωγίσιμων με $\ln (f(x))=\sqrt{\ln x}$

οπότε παραγωγίζοντας έχουμε

$\frac{{f}'(x)}{f(x)}=\frac{(\ln x{)}'}{2\sqrt{\ln x}}\Rightarrow {f}'(x)=\frac{f(x)}{2x\sqrt{\ln x}}$ δηλαδή ${f}'(x)=\frac{f(x)}{2x\sqrt{|\ln x|}}$ για $0<x\ne 1$

Τώρα στο ${{x}_{0}}=1$ έχουμε ότι $\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\underset{DLH}{\overset{\frac{0}{0}}{\mathop{=}}}\,\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'(x)}{1}=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{2x\sqrt{\ln x}}=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{1}{\sqrt{\ln x}}\frac{f(x)}{2x} \right)=+\infty$

άρα δεν είναι παραγωγίσιμη στο ${{x}_{0}}=1$ .

3) Είναι $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,({{\left| lnx \right|}^{\frac{1}{2}}}-lnx)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt{\ln x}-\ln x \right)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt{\ln x}(1-\sqrt{\ln x})=-\infty$

επειδή $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt{\ln x}=+\infty$

4) Η $f(x)={{e}^{\sqrt{\ln x}}}$ στο $+\infty$ έχει όριο $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{e}^{\sqrt{\ln x}}}=+\infty$ και

$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{\sqrt{\ln x}}}}{x}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{\sqrt{\ln x}}}}{{{e}^{\ln x}}}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( {{e}^{\sqrt{\ln x}-\ln x}} \right)=0$

λόγω του (3) και έτσι επειδή $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty$ η

δεν έχει ασύμπτωτη στο $+\infty$

5) Είναι ${f}'(x)=\frac{f(x)}{2x\sqrt{\ln x}},\,\,\,x>1$ επομένως

${f}''(x)=\frac{1}{2}\frac{{f}'(x)x\sqrt{\ln x}-f(x)(\sqrt{\ln x}+\frac{1}{2\sqrt{\ln x}})}{{{x}^{2}}\ln x}=\frac{1}{2}\frac{\frac{f(x)}{2}-f(x)(\sqrt{\ln x}+\frac{1}{2\sqrt{\ln x}})}{{{x}^{2}}\ln x}$

$=\frac{1}{2}f(x)\frac{\frac{1}{2}-\sqrt{\ln x}+\frac{1}{2\sqrt{\ln x}}}{{{x}^{2}}{{\ln }^{2}}x}=f(x)\frac{(-2{{\sqrt{\ln x}}^{2}}+\sqrt{\ln x}-1)}{4{{x}^{2}}\sqrt{\ln x}\ln x}<0$ ( αφού είναι $-2{{x}^{2}}+x-1<0,\,\,x\in R$ )

άρα η συνάρτηση είναι κοίλη στο $[1,\infty )$

6) Θέλουμε η εξίσωση $f(x)=2x\sqrt{\left| \ln x \right|}\overset{x\ne 1}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,\frac{f(x)}{2x\sqrt{\left| \ln x \right|}}=1\Leftrightarrow {f}'(x)=1$

να έχει λύση στο $(0,\,1)\cup (1,\,+\infty )$ Επειδή η {f}'

είναι γνήσια φθίνουσα στο $(1,\infty )$ είναι

${f}'((1,\,+\infty ))=(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{f}'(x),\,\,\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,{f}'(x))=(0,\,\,+\infty )$

(για το $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{f}'(x)=0$ από (4) έχουμε

$\displaystyle{\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x}=0}$ ) και επειδή $1\in {f}'((1,\,+\infty ))=(0,\,\,+\infty )$

υπάρχει μοναδικός $c\in (1,\infty )$ ώστε {f}'(c)=1

...πολλές πράξεις...

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Καλημέρα Βασίλη.
Απλά το 6) θα μπορούσαμε με Θ.Μ.Τ.
Είναι f(1)=1,f(e)=e

Πάντως εγώ προτιμάω τον δικό σου τρόπο.
Ο λόγος είναι ότι όλα αυτά βγαίνουν με την μελέτη συνάρτησης.
Ενω με ΘΜΤ πρέπει να σπάς το κεφάλι σου να βρείς άκρα κλπ.

Λογάριθμος και απόλυτο

Λογάριθμος και απόλυτο

Re: Λογάριθμος και απόλυτο

Re: Λογάριθμος και απόλυτο

Μέλη σε σύνδεση