Μονοτονία ρητής συνάρτησης

#1

Έστω συνάρτηση $f(x)=\frac {P(x)}{Q(x)}$ , όπου P(x),Q(x)

μονικά πολυώνυμα

βαθμού με ρίζες a_1,a_2,...,a_n

και

αντιστοίχως ώστε a_1<b_1<...<a_n<b_n

. Να αποδειχθεί ότι η

είναι γνησίως μονότονη στο διάστημα $(b_n,+\infty)$ και να βρεθεί το είδος της μονοτονίας της
Φιλικά

dement · #2

Γραφουμε $\displaystyle f(x) = \prod_{k=1}^n \frac{x - a_k}{x - b_k} = \prod_{k=1}^n \left( 1 + \frac{b_k - a_k}{x - b_k} \right)$

Η

λοιπον ειναι γινομενο θετικων και φθινουσων συναρτησεων στο $(b_n, + \infty)$ , οποτε ειναι φθινουσα.

Δημητρης Σκουτερης

Broly · #3

Εγώ είπα ότι η

είναι παραγωγίσιμη στο $(b_n,\infty)$ ως πηλίκο
παραγωγίσιμων συναρτήσεων και βγαίνει ότι $f'(x) \leq 0$ άρα η

είναι φθίνουσα.

#4

Δημήτρη ευχαριστώ. Στην καρδιά του προβλήματος. Την άσκηση αυτή δίνω στους μαθητές, για να τους θυμίσω ότι μερικά προβλήματα μονοτονίας λύνονται ευκολότερα με προσφυγή σε κλασσικές μεθόδους, παρά με παραγὠγους
Φιλικά

Μονοτονία ρητής συνάρτησης

Μονοτονία ρητής συνάρτησης

Re: Μονοτονία ρητής συνάρτησης

Re: Μονοτονία ρητής συνάρτησης

Re: Μονοτονία ρητής συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση