Να βρούμε τα α και β, όταν η εξίσωση έχει λύση

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #1

Πριν από καιρό ο Νίκος ο Μαυρογιάννης είχε βάλει ένα θέμα με τίτλο "Για να έχει μία εξίσωση λύση".
Ψάχνοντας σε κάποιο βιβλίο για κάποιο άλλο θέμα βρήκα την άσκηση που ποστάρω με το συνημμένο.
Έχει τεθεί σε μαθηματικό διαγωνισμό.
Ας την δούμε, μου φάνηκε ενδιαφέρουσα μετά την άσκηση του Νίκου.

Να είμαστε όλοι καλά.
Θωμάς

#2

Καλη μέρα και καλό μήνα στο Θωμά και σε όλη την παρέα μας.
Θέλουμε $\alpha ^{x}=x^{\beta }\Leftrightarrow x\ln \alpha =\beta \ln x\Leftrightarrow \frac{\ln x}{x}=\frac{\ln \alpha }{\beta }$ με $\frac{\ln \alpha }{\beta }>0$ . Με $f\left( x\right) =\frac{\ln x}{x}$ και $\gamma =\frac{\ln \alpha }{\beta }$ θέλουμε η εξίσωση $f(x)=\gamma$ να έχει μοναδική θετική ρίζα. Από την μελέτη της μονοτονίας της

βλέπουμε ότι αυτό συμβαίνει μόνο αν το $\gamma$ γίνει ίσο με την μέγιστη τιμή της

που είναι $\frac{1}{e}$ και επιτυγχάνεται για x=e

.
Επομένως υπάρχουν άπειρα ζεύγη των $\alpha ,\beta$ για τα οποία η εξίσωση έχει μοναδική ρίζα, συνδέονται με την σχέση $\frac{\ln \alpha }{\beta }=\frac{1}{e}$ και η μοναδική ρίζα είναι η

.
Και μιας και πιστεύω στα ίσα διακαιώματα διεκδικώ και γω το δικαίωμα στο λάθος όπως ο φίλος Θωμάς.
Μαυρογιάννης

Να βρούμε τα α και β, όταν η εξίσωση έχει λύση

Να βρούμε τα α και β, όταν η εξίσωση έχει λύση

Re: Να βρούμε τα α και β, όταν η εξίσωση έχει λύση

Μέλη σε σύνδεση