Εγγεγραμμένα τρίγωνα με γνωστό άθροισμα τετραγώνων γωνιών

Al.Koutsouridis · #1

Μεταξύ όλων των τριγώνων εγγεγραμμένων σε κύκλο σταθερής ακτίνας, με γνωστό άθροισμα τετραγώνων γωνιών ( $\alpha^2 +\beta^2 +\gamma ^2= \pi^2/2$ ), να βρείτε όλα τα τρίγωνα με το μέγιστο δυνατό εμβαδόν. Για κάθε τέτοιο τρίγωνο να βρείτε την ελάχιστη τιμή όλων των γινόμενων ζεύγους γωνιών του.

vgreco · #2

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 24, 2021 9:08 pm
Μεταξύ όλων των τριγώνων εγγεγραμμένων σε κύκλο σταθερής ακτίνας, με γνωστό άθροισμα τετραγώνων γωνιών ( $\alpha^2 +\beta^2 +\gamma ^2= \pi^2/2$ ), να βρείτε όλα τα τρίγωνα με το μέγιστο δυνατό εμβαδόν. Για κάθε τέτοιο τρίγωνο να βρείτε την ελάχιστη τιμή όλων των γινόμενων ζεύγους γωνιών του.

Μία προσπάθεια, με χρήση όμως λογισμικού.

Επειδή $\gamma = \pi - \alpha - \beta$ , προκύπτει:

$\displaystyle{ \begin{aligned} \alpha^2 + \beta^2 + (\pi - \alpha - \beta)^2= \dfrac{\pi ^2}{2} &\Leftrightarrow 2\alpha^2 + 2\beta^2 + \pi^2 - 2\alpha\pi - 2\beta\pi + 2\alpha\beta = \dfrac{\pi^2}{2} \\ &\Leftrightarrow 2\beta^2 - 2(\pi - \alpha)\beta + 2\alpha^2 - 2\alpha\pi + \dfrac{\pi^2}{2} = 0 \end{aligned} }$

Το τριώνυμο αυτό ως προς $\beta$ πρέπει να έχει μη αρνητική διακρίνουσα:

$\displaystyle{ \Delta = 4(\pi - \alpha)^2 - 16\alpha^2 + 16\alpha\pi - 4\pi^2 = 4\alpha(2\pi - 3\alpha) \ge 0 \Leftrightarrow a \le \dfrac{2\pi}{3} }$

Με τον περιορισμό αυτό (ο οποίος λόγω συμμετρίας πρέπει να ικανοποιείται και για τα $\beta$ , $\gamma$ ), βρίσκω τις (εν τέλει δεκτές) ρίζες του αρχικού τριωνύμου:

$\displaystyle{ \beta = \dfrac{2(\pi - \alpha) \pm \sqrt{4\alpha(2\pi - 3\alpha)}}{4} \Leftrightarrow \boxed{\beta = \dfrac{\pi - \alpha \pm \sqrt{\alpha(2\pi - 3\alpha)}}{2}} }$

Το εμβαδόν του τριγώνου, τώρα, δίνεται από τον τύπο:

$\displaystyle{ \begin{aligned} E = 2R^2 \cdot \sin\alpha \sin\beta \sin \gamma &= 2R^2 \cdot \dfrac{\sin2\alpha + \sin2\beta + \sin2\gamma}{4} \\ &= \dfrac{R^2}{2} \cdot \bigl[\sin2\alpha + \sin2\beta - \sin(2\alpha + 2\beta) \bigr] \\ &= \dfrac{R^2}{2} \cdot \bigl[\sin2\alpha - 2\sin\alpha\cos(\alpha + 2\beta) \bigr] \\ &= \dfrac{R^2}{2} \cdot \biggl[\sin2\alpha - 2\sin\alpha\cos\Bigl(\alpha + \pi - \alpha \pm \sqrt{\alpha(2\pi - 3\alpha)}\Bigr) \biggl] \\ &= \dfrac{R^2}{2} \cdot \biggl[\sin2\alpha + 2\sin\alpha\cos\Bigl(\sqrt{\alpha(2\pi - 3\alpha)}\Bigr) \biggl] \end{aligned} }$

Η συνάρτηση:

$\displaystyle{ f(x) = \sin2x + 2\sin x\cos\Bigl(\sqrt{x(2\pi - 3x)}\Bigr), \quad x \in \biggl[ 0, \dfrac{2\pi}{3} \biggl] }$

παρουσιάζει σύμφωνα με το λογισμικό μέγιστο στις θέσεις $x_1 = \dfrac{\pi}{6}$ και $x_2 = \dfrac{2\pi}{3}$ , το $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ .

Σε κάθε περίπτωση, $\boxed{E_{\max} = \dfrac{R^2 \sqrt3}{4}}$ , όταν το τρίγωνο είναι ισοσκελές αμβλυγώνιο, με την αμβλεία γωνία να είναι $120^\circ$ .

Al.Koutsouridis · #3

Βέβαια, διαισθητικά μπορεί κανείς να μαντέψει σχετικά εύκολα την τελική απάντηση. Αν σταθεροποιήσουμε μια από της γωνίες, έστω την $\alpha$ , τότε θα είναι σταθερή και η πλευρά που αντιστοιχεί σε αυτή. Όμως, από όλα τα τρίγωνα με σταθερή πλευρά, το μέγιστο εμβαδό θα το έχει αυτό με το μεγαλύτερο ύψος. Δηλάδη το τρίγωνο μέγιστου εμβαδού πρέπει να είναι ισοσκελές. Από όπου βρίσκουμε και τις τιμές $\pi/6, \pi/6, 2\pi/3$ για τις γωνίες.

Για την ιστορία η άσκηση είναι από τον διαγωνισμό "Κατακτώντας τους λόφους του σπουργιτιών" για το έτος 2020-21, στα πλαίσια των δημιουργικών ασκήσεων(ασκήσεις για λύση εξ αποστάσεως σε διάστημα κάποιων ημερών, αν δεν κάνω λάθος).

Στις επίσημες λύσεις, δίνεται λύση παρόμοια με την παραπάνω δημοσιεύση του vgreco. Η συνθήκη για τις γωνίες (υποθέτουμε ότι είναι διατεταγμένες $\alpha \leq \beta \leq \gamma$ ) γράφεται

$3(\alpha+\beta)^2-4\pi(\alpha+\beta)+ (\alpha-\beta)^2 + \pi^2=0$

θέτοντας $x= \alpha +\beta, y=\alpha - \beta$ , τότε $x \in \left [ 0, \dfrac{\pi}{2} \right], y \leq 0$ και ισχύει

$3 \left ( x-\dfrac{2 \pi}{3}\right)^2 +y^2=\dfrac{\pi}{3} \quad ,$ $\quad$ $x \in \left[ \dfrac{\pi}{3}, \dfrac{\pi}{2} \right], y \in \left[ -\dfrac{\pi}{\sqrt{3}}, 0 \right]$

Από την παραπάνω σχέση βρίσκουμε

$x(y)= \dfrac{2\pi}{3} -\sqrt{\dfrac{\pi^}{9}- \dfrac{y^2}{3}}$ με παράγωγο

$x{'}(y)= \dfrac{y}{2\pi-3x}, \quad y \in \left[ -\dfrac{\pi}{\sqrt{3}}, 0 \right]$ .

Παρατηρούμε ότι $x{'}(y) \leq 0$ για τα υπό εξέταση

.

Για το εμβαδόν του τριγώνου έχουμε

$S= 2R^2 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma = R^2( \cos (\alpha -\beta) -\cos (\alpha +\beta)) \sin (\pi -\alpha -\beta)=$

$= R^2( \cos y-\cos x)\sin x$ .

Στο σημείο αυτό εξετάζουμε την συνάρτηση $f(y) = R^2( \cos y-\cos x(y))\sin x(y)$ . Αποδεικνύεται, χωρίς λογισμικό στις επίσημες λύσεις (το παραλείπω προς το παρών εδώ), ότι η παραπάνω συνάρτηση έχει μέγιστο στο διάστημα $y \in \left[ -\dfrac{\pi}{\sqrt{3}}, 0 \right]$ , στο σημείο

, $f{'}(y) \geq 0$ στο εν λόγω διάστημα. Δηλαδή για ισοσκελές τρίγωνο.

Εγγεγραμμένα τρίγωνα με γνωστό άθροισμα τετραγώνων γωνιών

Εγγεγραμμένα τρίγωνα με γνωστό άθροισμα τετραγώνων γωνιών

Re: Εγγεγραμμένα τρίγωνα με γνωστό άθροισμα τετραγώνων γωνιών

Re: Εγγεγραμμένα τρίγωνα με γνωστό άθροισμα τετραγώνων γωνιών

Μέλη σε σύνδεση