Eφαπτομενες

antegeia · #1

Εστω $f:[0,+\infty)\rightarrow R$ παρ/μη συναρτηση. Αν a,b,c>0 ωστε a<b<c και
$\frac{f(a)}{a}=\frac{f(b)}{b}=\frac{f(c)}{c}$ , να δειχθει οτι υπαρχουν 2 εφαπτομενες
της γραφικης παραστασης της f, που διερχονται απο την αρχη των αξονων.

pito · #2

Καλημέρα από Θεώρημα Rolle για την G(x)=f(x)/x στα (α,b) και (b,c) θα υπάρχουν χ1 και χ2 αντίστοιχα με G'(x1)=G'(x2)=0 δηλαδή f'(X1)X1-f(x1)=0 (όμοια για το χ2) που σημαίνει ότι οι εφαπτομένες στα Α(χ1,f(x1)) και Β(χ2,f(χ2)) περνούν από το Ο(0,0)

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #3

Κλασικό θέμα,παρόμοιο ερώτημα υπήρχε και φέτος στις επαναληπτικές εξετάσεις.
θεωρώ $g(x)=\frac{f(x)}{x}$ .
Εφαρμόζω Rolle στα [α,β] και [β,γ] ,θα υπάρχει τουλάχιστον ένα $\displaystyle{\xi _1 \in (\alpha ,\beta )}$ τέτοιο ώστε
$\displaystyle{g'(\xi _1 ) = 0 \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow \xi _1 f'(\xi _1 ) - f(\xi _1 ) = 0 \Leftrightarrow f'(\xi _1 ) = \frac{{f(\xi _1 )}}{{\xi _1 }} }$ . Η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο $\displaystyle{\xi _1 }$ είναι η $\displaystyle{ \psi - f(\xi _1 ) = f'(\xi _1 )(x - \xi _1 ) \Leftrightarrow \psi - f(\xi _1 ) = \frac{{f(\xi _1 )}}{{\xi _1 }}(x - \xi _1 ) }$ η οποίο διέρχεται απο το Ο(0,0).
Ομοια στο [β,γ].

Θεωρώ οτι στην εκφώνηση θα επρεπε να λέει οτι υπάρχουν τουλάχιστον 2 εφαπτομένες που διέρχονται απο την αρχή των αξόνων.

Ηρθα δεύτερος...

Eφαπτομενες

Eφαπτομενες

Re: Eφαπτομενες

Re: Eφαπτομενες

Μέλη σε σύνδεση