ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 1992

#1

(Τα αποτελέσματα των παρακάτω προβλημάτων είναι αριθμοί από 0 έως 999)

Θέμα 1ο
Πόσοι άρτιοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 4000 και του 7000 έχουν τέσσερα διαφορετικά ψηφία;

Θέμα 2ο
Σε μία εκλογική αναμέτρηση, ένας υποψήφιος έκανε μία περιοδεία της χώρας, η οποία θεωρείται ότι κείται σ' ένα επίπεδο. Την πρώτη ημέρα πήγε ανατολικά, τη δεύτερη βόρεια, την τρίτη δυτικά, την τέταρτη νότια, την πέμπτη ανατολικά κλπ. Αν ο υποψήφιος διήνυσε $\dfrac{n^2}{2}$ χιλιόμετρα την

οστή μέρα της περιοδείας του, πόσα χιλιόμετρα βρισκόταν μακρυά από την αρχική του θέση την 40ή μέρα.

Θέμα 3ο
Ο παρακάτω πίνακας δείχνει τα αποτελέσματα του διαγωνισμού ψαρέματος στο ποταμό Βοϊδομάτη που έγινε τον περασμένο μήνα και δείχνει πόσοι ερασιτέχνες ψαράδες πιάσανε

ψάρια (πέστροφες) για διάφορες τιμές του

.

$\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|l|l|l|} \hline n & 0 & 1 & 2 & 3 & \cdots & 13 & 14 & 15 \\ \hline \textnormal{\gr αριθμός ψαράδων} & 9 & 5 & 7 & 23 & \cdots & 5 & 2 & 1 \\ \textnormal{\gr που έπιασαν} n \textnormal{\gr ψάρια} & & & & & & & & \\ \hline \end{tabular}$

Στην εφημερίδα τα "ΝΕΑ ΤΗΣ ΚΟΝΙΤΣΑΣ" διαβάσαμε ότι:
α) Ο νικητής έπιασε 15 ψάρια.
β) Οι ψαράδες που πιάσανε 3 ή περισσότερα ψάρια, έπιασαν κατά μέσο όρο 6 ψάρια ο καθένας.
γ) Εκείνοι που πιάσανε 12 ή λιγότερα ψάρια είχαν πιάσει κατά μέσο όρο 5 ψάρια ο καθένας.
Πόσα ψάρια πιάστηκαν στον διαγωνισμό αυτό;

Θέμα 4ο
Πόσες διατεταγμένες τετράδες ακεραίων αριθμών (a,b,c,d)

με

ικανοποιούν τις σχέσεις a+d=b+c

και

;

Θέμα 5ο
Έστω P_0(x)=x^3+313x^2-77x-8

. Αν $n\geq 1$ είναι ακέραιος, ορίζουμε $P_n(x)=P_{n-1}(x-n)$ . Ποιος είναι ο συντελεστής του

στο πολυώνυμο $P_{20}(x)$ ;

Θέμα 6ο
Ποιος είναι ο μικρότερος θετικός ακέραιος που μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα εννέα διαδοχικών ακεραίων, ως άθροισμα δέκα διαδοχικών ακεραίων και ως άθροισμα έντεκα διαδοχικών ακεραίων;

Θέμα 7ο
Τρεις αριθμοί a_1,a_2,a_3

επιλεγονται τυχαία και χωρίς αντικατάσταση από το σύνολο $\{1,2,3,\ldots, 1000\}$ . Τρεις άλλοι αριθμοί b_1,b_2,b_3

επιλέγονται μετά τυχαία και χωρίς αντικατάσταση από τους υπόλοιπους 997 αριθμούς. Έστω

η πιθανότητα να μπορεί ένα τούβλο με διαστάσεις $a_1\times a_2 \times a_3$ μετά από κατάλληλη περιστροφή, να τοποθετηθεί μέσα σ' ένα κιβώτιο με διαστάσεις $b_1\times b_2\times b_3$ με τις έδρες το τούβλου παράλληλες με τις έδρες του κιβωτίου. Αν ο αριθμός

γραφτεί ως ανάγωγο κλάσμα, ποιο είναι το άθροισμα του αριθμητή και του παρονομαστή;

Θέμα 8ο
Έστω

ένα σύνολο με έξι στοιχεία. Κατά πόσους τρόπους μπορούμε να διαλέξουμε δύο όχι αναγκαστικά διαφορετικά υποσύνολα του

έτσι ώστε η ένωσή τους να είναι

; Η διάταξη της επιλογής δεν έχει σημασία, π.χ. το ζεύγος υποσυνόλων $\{a,c\}$ , $\{b,c,d,e,f\}$ παριστάνει την ίδια επιλογή που παριστάνει το ζεύγος $\{b,c,d,e,f\}$ , $\{a,c\}$ .

Θέμα 9ο
Δύο χιλιάδες σημεία δίνονται επί της περιφέρειας ενός κύκλου. Σημειώνουμε ένα από τα σημεία αυτά με τον αριθμό 1. Από το σημείο αυτό κινούμαστε κατά την φορά των δεικτών του ρολογιού, μετράμε δύο σημεία και σημειώνουμε το σημείο στο οποίο φτάνουμε με τον αριθμό 2, έπειτα μετράμε τρία σημεία κατά την ίδια φορά και στο σημείο στο οποίο φτάνουμε το σημειώνουμε με 3 κ.ο.κ. μέχρις ότου χρησιμοποιήσουμε όλους τους αριθμούς 1, 2, 3, ... , 1993. Μερικά σημεία θα έχουν σημειωθεί πάνω από μια φορά και μερικά δεν θα έχουν σημειωθεί καθόλου. Ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός που σημειώνει το σημείο που έχει σημειωθεί με τον αριθμό 1993;

Θέμα 10ο
Ο τύπος του Euler μας λέει ότι αν ένα κυρτό πολύεδρο έχει

κορυφές,

ακμές και

έδρες τότε K+E=A+2

. Ένα κυρτό πολύεδρο έχει 32 έδρες κάθε μία από τις οποίες είναι ή τρίγωνο ή πεντάγωνο. Σε κάθε μία από τις

κορυφές του,

τριγωνικές έδρες και $\Pi$ πενταγωνικές έδρες συναντώνται. Ποια είναι η τιμή του $100\Pi+10T+K$ ;

Θέμα 11ο
Ο Αλέκος και η Βάσω παίζουν ένα παιγνίδι στο οποίο "στρίβουν" ένα νόμισμα. Ο Αλέκος στρίβει πρώτος το νόμισμα και μετά η Βάσω και συνεχίζουν έτσι μέχρι να εμφανιστεί η πρώτη "κορώνα", οπότε εκείνος που την έφερε κερδίζει. Ο χαμένος αρχίζει καινούρια παρτίδα του παιγνιδιού. Αν η πιθανότητα να κερδίσει ο Αλέκος την έκτη παρτίδα είναι $\dfrac{m}{n}$ όπου m,n

σχετικά πρώτοι, ποια είναι τα τελευταία τρία ψηφία στο άθροισμα m+n

;

Θέμα 12ο
Οι κορυφές του τριγώνου ABC

είναι

,

και

δύο από τις έξι έδρες ενός ζαριού (κύβου) φέρνουν το γράμμα

, άλλες δύο το γράμμα

και άλλες δύο το γράμμα

. Ένα σημείο P_1=(k,m)

επιλέγεται εντός του τριγώνου ABC

και τα σημεία $P_2,P_3,P_4,\ldots$ ορίζονται επαγωγικά ως εξής: Ξέροντας το σημείο P_n

, ρίχνουμε το ζάρι και αν το ζάρι δείξει

(

ή

), τότε το $P_{n+1}$ είναι το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος P_nL

. Αν

τότε με τί ισούται το άθροισμα k+m

;

Θέμα 13ο
Η Βάσω και ο Αλέκος κινούνται προς την ίδια κατεύθυνση σε δρόμους παράλληλους μεταξύ τους που απέχουν μεταξύ τους 200 μέτρα. Ο Αλέκος έχει ταχύτητα 3 μέτρα το δευτερόλεπτο και η Βάσω 1 μέτρο το δευτερόλεπτο. Ένα ψηλό κυκλικό κτίριο διαμέτρου 100 μέτρων βρίσκεται στο κέντρο της απόστασης των δύο δρόμων. Τη στιγμή που το κτίριο εμποδίζει την ευθεία οράσεως μεταξύ τους, η Βάσω και ο Αλέκος έχουν απόσταση μεταξύ τους 200 μέτρα. Έστω

ο χρόνος (σε δευτερόλεπτα) που απαιτείται για να μπορέσει ο Αλέκος και δει τη Βάσω πάλι. Αν ο αριθμός

γραφτεί ως ανάγωγο κλάσμα, ποιο είναι το άθροισμα αριθμητή και παρονομαστή;

Θέμα 14ο
Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο που είναι εγγεγραμμένο σ' ένα μεγαλύτερο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο (μία κορυφή σε κάθε πλευρά) λέγεται ασταθές αν μπορεί να περιστραφεί περί το κέντρο του και να παραμένει εντός του μεγαλυτέρου ορθογωνιου. Από όλα τα ορθογώνια παραλληλόγραμμα που μπορούν να εγγραφούν ασταθώς σ' ένα $6\times 8$ ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, η μικρότερη περίμετρος έχει τη μορφή $\sqrt{N}$ για κάποιον θετικό ακέραιο αριθμό

. Να βρεθεί ο

.

Θέμα 15ο
Έστω

ένα ύψος του τριγώνου ABC

και έστω

και

τα σημεία επαφής των εγγεγραμμένων κύκλων στα τρίγωνα ACH

και

με το

. Αν

,

, τότε $RS=\dfrac{m}{n}$ όπου

και

είναι πρώτοι μεταξύ τους θετικοί ακέραιοι. Να βρεθεί το m+n

.

Αλέξανδρος

#2

cretanman έγραψε:(Τα αποτελέσματα των παρακάτω προβλημάτων είναι αριθμοί από 0 έως 999)

Ας κάνω την αρχή.

cretanman έγραψε: Θέμα 1ο
Πόσοι άρτιοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 4000 και του 7000 έχουν τέσσερα διαφορετικά ψηφία;

Υπάρχουν ακριβώς $4 \times 8 \times 7$ τέτοιο αριθμοί οι οποίοι ξεκινούν από

. Πράγματι έχουμε

τρόπους να διαλέξουμε το ψηφίο των μονάδων (πρέπει να είναι άρτιος αλλά απαγορεύεται το

) μετά

τρόπους για το ψηφίο των δεκάδων (απαγορεύεται το

αλλά και ο αριθμός που ήδη επιλέξαμε για τις μονάδες) και μετά

τρόποι για το ψηφίο των εκατοντάδων. Ομοίως υπάρχουν άλλοι τόσοι αριθμοί που ξεκινούν με

ενώ υπάρχουν $5 \times 8 \times 7$ αριθμοί που ξεκινούν με

. (Και κανένας που ξεκινάει με

.) Συνολικά έχουμε $13 \times 8 \times 7 = 728$ τέτοιοι αριθμοί.

#3

cretanman έγραψε:(Τα αποτελέσματα των παρακάτω προβλημάτων είναι αριθμοί από 0 έως 999)
Θέμα 2ο
Σε μία εκλογική αναμέτρηση, ένας υποψήφιος έκανε μία περιοδεία της χώρας, η οποία θεωρείται ότι κείται σ' ένα επίπεδο. Την πρώτη ημέρα πήγε ανατολικά, τη δεύτερη βόρεια, την τρίτη δυτικά, την τέταρτη νότια, την πέμπτη ανατολικά κλπ. Αν ο υποψήφιος διήνυσε $\dfrac{n^2}{2}$ χιλιόμετρα την οστή μέρα της περιοδείας του, πόσα χιλιόμετρα βρισκόταν μακρυά από την αρχική του θέση την 40ή μέρα.

Δίνω μια λύση (με επιφύλαξη για πιθανή απροσεξία): (To σχήμα, θα ακολουθήσει από τον Parmenides)

Ονομάζω (ε) την ευθεία της τελευταίας διαδρομής (η οποία προφανώς είναι από βορά προς νότο, αφού το $\displaystyle{40}$ είναι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{4}$ ). Έστω επίσης $\displaystyle{A}$ η αφετηρία και $\displaystyle{B}$ το τέρμα. Ζητάμε να βρούμε την απόσταση $\displaystyle{AB}$ .

Φέρνω την $\displaystyle{AK}$ κάθετη στην (ε). Τότε δημιουργούμε το ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{AKB}$ , του οποίου υποτείνουσα είναι η

$\displaystyle{AB}$ . Eύκολα βλέπουμε ότι:

$\displaystyle{AK=(\frac{3^2}{2}-\frac{1^2}{2})+(\frac{7^2}{2}-\frac{5^2}{2})+ . . . +(\frac{39^2}{2}-\frac{37^2}{2})=}$

$\displaystyle{=\frac{1}{2}(3^2 +7^2 + . . . +39^2 -1^2 -5^2 - . . . -37^2 )=}$

$\displaystyle{=\frac{1}{2}[(1+2)^2 +(5+2)^2 + . . . +(37+2)^2 -1^2 -5^2 - . . . -37^2 ]=}$

$\displaystyle{=\frac{1}{2}(2^2 +2^2 + . . . +2^2 +2,2,1 +2.2.5 + . . . +2.2.37)=\frac{1}{2}[10.2^2 +2.2.(1+5+ . . . +37)]=400}$

Eπίσης:

$\displaystyle{KB=(\frac{4^2}{2}-\frac{2^2}{2})+(\frac{8^2}{2}-\frac{6^2}{2})+ . . . +(\frac{40^2}{2}-\frac{38^2}{2})=}$

$\displaystyle{=\frac{1}{2}(4^2 +8^2 + . . . +40^2 -2^2 -6^2 - . . . -38^2 )=\frac{1}{2}[(2+2)^2 +(2+6)^2 + . . . +(2+10)^2 -2^2 -6^2 - ...-38^2 ]=}$

$\displaystyle{=...=420}$ , (εργαζόμενοι όπως και πριν)

Συνεπώς $\displaystyle{AB^2 =AK^2 +KB^2 =400^2 +420^2\Rightarrow AB=580}$

EDIT Διόρθωσα ένα λάθος σε μια πράξη: Το $\displaystyle{KB}$ είναι ίσο με $\displaystyle{420}$ , αντί $\displaystyle{820}$ , που είχα γράψει, όπως μου επισήμαναν ο Αλέξανδρος και ο Parmenides.

#4

cretanman έγραψε:(Τα αποτελέσματα των παρακάτω προβλημάτων είναι αριθμοί από 0 έως 999)
Θέμα 2ο
Σε μία εκλογική αναμέτρηση, ένας υποψήφιος έκανε μία περιοδεία της χώρας, η οποία θεωρείται ότι κείται σ' ένα επίπεδο. Την πρώτη ημέρα πήγε ανατολικά, τη δεύτερη βόρεια, την τρίτη δυτικά, την τέταρτη νότια, την πέμπτη ανατολικά κλπ. Αν ο υποψήφιος διήνυσε $\dfrac{n^2}{2}$ χιλιόμετρα την οστή μέρα της περιοδείας του, πόσα χιλιόμετρα βρισκόταν μακρυά από την αρχική του θέση την 40ή μέρα.

Ας συνεχίσω κι εγώ με το επόμενο:

Ας υποθέσουμε ότι ξεκίνησε από την αρχή

. Η πορεία του τις πρώτες 8 ημέρες φαίνεται στο σχήμα. Ορίζουμε την ακολουθία (a_n)

με

και την ακολουθία (b_n)

με

. Ζητάμε το μήκος $AA_{10}$ .

Είναι $a_1=A_1B_1=\dfrac{4^2}{2}-\dfrac{2^2}{2}=6$ . Από εκεί και έπειτα είναι

a_2=A_2B_2

δηλαδή $a_2=\dfrac{8^2}{2}-\left(\dfrac{6^2}{2}-a_1\right)$ ή $a_2-a_1=\dfrac{8^2}{2}-\dfrac{6^2}{2} ή a_2-a_1=6+8$

Όμοια a_3-a_2=10+12

$\vdots$
$a_{10}-a_9=38+40$

Προσθέτοντας τις παραπάνω σχέσεις παίρνουμε: $a_{10}-a_1=6+8+10+\cdots + 38+40$ δηλαδή $a_{10}-6=414$ οπότε $a_{10}=420$ συνεπώς $\boxed{A_{10}B_{10}=420}$ .

: Αρχιμήδης 92 Πρόβλημα 2 .JPG (36.81 KiB) Προβλήθηκε 2998 φορές

Επίσης είναι $b_1=AB_1=\dfrac{3^2}{2}-\dfrac{1^2}{2}=4$ . Από εκεί και έπειτα είναι

b_2=AB_2

δηλαδή $\dfrac{7^2}{2}-\left(\dfrac{5^2}{2}-b_1\right)$ ή $b_2-b_1=\dfrac{7^2}{2}-\dfrac{5^2}{2}$ ή b_2-b_1=5+7

Όμοια

$\vdots$
$b_{10}-b_9=37+39$

Προσθέτοντας τις παραπάνω έχουμε: $b_{10}-b_1=5+7+11+\cdots + 37+39$ δηλαδή $b_{10}-4=396$ οπότε $b_{10}=400$ συνεπώς $\boxed{A_{10}B_{10}=400}$

Έτσι από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο $AA_{10}B_{10}$ έχουμε τελικά $AA_{10}=\sqrt{420^2+400^2}=580$ .

#5

cretanman έγραψε:(Τα αποτελέσματα των παρακάτω προβλημάτων είναι αριθμοί από 0 έως 999)
Θέμα 5ο
Έστω . Αν $n\geq 1$ είναι ακέραιος, ορίζουμε $P_n(x)=P_{n-1}(x-n)$ . Ποιος είναι ο συντελεστής του στο πολυώνυμο $P_{20}(x)$ ;

Είναι

$\vdots$
$\begin{aligned}P_{20}(x) &= (x-1-2-3-\cdots - 20)^3+313(x-1-2-3-\cdots - 20)^2-77(x-1-2-3-\cdots - 20)-8 \\ &=\left(x-\dfrac{20\cdot 21}{2}\right)^3+313\left(x-\dfrac{20\cdot 21}{2}\right)^2-77\left(x-\dfrac{20\cdot 21}{2}\right)-8 \\ &=(x-210)^3+313(x-210)^2-77(x-210)-8\end{aligned}$

Οπότε ο συντελεστής του

στο παραπάνω πολυώνυμο είναι ο $3\cdot 210^2-2\cdot 210\cdot 313 -77=763$

Αλέξανδρος

#6

cretanman έγραψε:(Τα αποτελέσματα των παρακάτω προβλημάτων είναι αριθμοί από 0 έως 999)
Θέμα 6ο
Ποιος είναι ο μικρότερος θετικός ακέραιος που μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα εννέα διαδοχικών ακεραίων, ως άθροισμα δέκα διαδοχικών ακεραίων και ως άθροισμα έντεκα διαδοχικών ακεραίων;

Έστω

ο ζητούμενος αριθμός. Τότε θέλουμε να ισχύουν οι εξής σχέσεις:

$n=(a-4)+(a-3)+(a-2)+\cdots + (a+4)=9a \ \ (1)$
$n=(b-4)+(b-3)+(b-2)+\cdots + (b+5)=10b+5 \ \ (2)$
$n=(c-5)+(c-4)+(c-3)+\cdots + (c+5)=11c \ \ (3)$

Οι σχέσεις (1),(3)

μας λένε ότι ο αριθμός

πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του 9 και του 11 δηλαδή του 99 και η σχέση (2)

μας λέει ότι το τελευταίο ψηφίο του αριθμού

πρέπει να είναι το 5.

Το πρώτο πολλαπλάσιο του 99 που τελειώνει σε 5 είναι φυσικά το $5\cdot 99=495$

Αλέξανδρος

#7

cretanman έγραψε:(Τα αποτελέσματα των παρακάτω προβλημάτων είναι αριθμοί από 0 έως 999)
Θέμα 4ο
Πόσες διατεταγμένες τετράδες ακεραίων αριθμών με ικανοποιούν τις σχέσεις και ;

Για

η σχέση

γίνεται τελικά: (c-a)(b-a)=93

κι έτσι έχουμε τις εξής περιπτώσεις:

$\boxed{(\bigstar)}$ $\begin{cases} c-a=1 \\ b-a=93 \end{cases}$ που απορρίπτεται αφού b=93+a>1+a>c

.

$\boxed{(\bigstar)}$ $\begin{cases} c-a=3 \\ b-a=31 \end{cases}$ που απορρίπτεται αφού b=31+a>3+a>c

.

$\boxed{(\bigstar)}$ $\begin{cases} c-a=93 \\ b-a=1 \end{cases}$

που δίνει τις λύσεις (a,b,c,d)=(a,a+1,a+93,a+94)

οπότε επειδή $a\geq 1$ και $d\leq 499$ έχουμε τελικά $1\leq a \leq 405$ συνεπώς έχουμε 405 διατεταγμένες τετράδες από τη συγκεκριμένη λύση.

$\boxed{(\bigstar)}$ $\begin{cases} c-a=31 \\ b-a=3 \end{cases}$

που δίνει τις λύσεις (a,b,c,d)=(a,a+3,a+31,a+34)

οπότε επειδή $a\geq 1$ και $d\leq 499$ έχουμε τελικά $1\leq a \leq 465$ συνεπώς έχουμε 465 διατεταγμένες τετράδες από τη συγκεκριμένη λύση.

Ας σημειωθεί ότι καμία από αυτές τις 465 τετράδες δε συμπίπτει με κάποια από τις παραπάνω 405 τετράδες.

Συνολικά λοιπόν έχουμε 405+465=870 διατεταγμένες τετράδες που ικανοποιούν τις υποθέσεις του προβλήματος.

Αλέξανδρος

#8

cretanman έγραψε:(Τα αποτελέσματα των παρακάτω προβλημάτων είναι αριθμοί από 0 έως 999)
Θέμα 3ο
Ο παρακάτω πίνακας δείχνει τα αποτελέσματα του διαγωνισμού ψαρέματος στο ποταμό Βοϊδομάτη που έγινε τον περασμένο μήνα και δείχνει πόσοι ερασιτέχνες ψαράδες πιάσανε ψάρια (πέστροφες) για διάφορες τιμές του .

$\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|l|l|l|} \hline n & 0 & 1 & 2 & 3 & \cdots & 13 & 14 & 15 \\ \hline \textnormal{\gr αριθμός ψαράδων} & 9 & 5 & 7 & 23 & \cdots & 5 & 2 & 1 \\ \textnormal{\gr που έπιασαν} n \textnormal{\gr ψάρια} & & & & & & & & \\ \hline \end{tabular}$

Στην εφημερίδα τα "ΝΕΑ ΤΗΣ ΚΟΝΙΤΣΑΣ" διαβάσαμε ότι:
α) Ο νικητής έπιασε 15 ψάρια.
β) Οι ψαράδες που πιάσανε 3 ή περισσότερα ψάρια, έπιασαν κατά μέσο όρο 6 ψάρια ο καθένας.
γ) Εκείνοι που πιάσανε 12 ή λιγότερα ψάρια είχαν πιάσει κατά μέσο όρο 5 ψάρια ο καθένας.
Πόσα ψάρια πιάστηκαν στον διαγωνισμό αυτό;

Ωραίο πρόβλημα για τα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας της Γ Λυκείου.

Ας συμβολίσουμε με x_i

τις τιμές της μεταβλητής μας η οποία για κάθε

δείχνει το πλήθος των ψαριών $i=0,1,2,\cdots, 15$ και με $\nu_i$ την αντίστοιχη συχνότητα της μεταβλητής x_i

(το πλήθος των ψαράδων που έπιασε x_i

ψάρια)

Τότε έχουμε τον εξής πίνακα:

$\begin{tabular}{|l|l|l|l|} \hline i & x_i & \nu_i & x_i\nu_i \\ \hline\hline 1 & 0 & 9 & 0 \\ \hline 2 & 1 & 5 & 5 \\ \hline 3 & 2 & 7 & 14 \\ \hline \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \hline 14 & 13 & 5 & 65 \\ \hline 15 & 14 & 2 & 28\\ \hline 16 & 15 & 1 & 15 \\ \hline \end{tabular}$

Από τα στοιχεία του προβλήματος έχουμε

1) $\displaystyle{\dfrac{\displaystyle\sum_{i=4}^{16} x_i\nu_i}{\nu-9-5-7}=6 \Rightarrow \displaystyle\sum_{i=4}^{16} x_i\nu_i = 6(\nu-21) \Rightarrow \displaystyle\sum_{i=4}^{13} x_i\nu_i + \displaystyle\sum_{i=14}^{16} x_i\nu_i =6(\nu-21) \Rightarrow \displaystyle\sum_{i=4}^{13} x_i\nu_i + 108 =6(\nu-21) \ \ (1)}$

2) $\displaystyle{\dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^{13} x_i\nu_i}{\nu-5-2-1}=5 \Rightarrow \displaystyle\sum_{i=1}^{13} x_i\nu_i = 5(\nu-8) \Rightarrow \displaystyle\sum_{i=1}^{3} x_i\nu_i + \displaystyle\sum_{i=4}^{13} x_i\nu_i =5(\nu-8) \Rightarrow 19+ \displaystyle\sum_{i=4}^{13} x_i\nu_i =5(\nu-8) \ \ (2)}$

Αφαιρώντας κατά μέλη τις (1), (2)

παίρνουμε $\nu=175$ .

Προσθήκη: Αντικαθιστώντας στις παραπάνω έχουμε $\displaystyle\sum_{i=4}^{13} x_i\nu_i}=816$ οπότε ο συνολικός αριθμός ψαριών είναι:

$\displaystyle\sum_{i=1}^{16} x_i\nu_i}=816+108+19=943$ .

Αλέξανδρος

#9

cretanman έγραψε:(Τα αποτελέσματα των παρακάτω προβλημάτων είναι αριθμοί από 0 έως 999)

Θέμα 15ο
Έστω ένα ύψος του τριγώνου και έστω και τα σημεία επαφής των εγγεγραμμένων κύκλων στα τρίγωνα και με το . Αν , , , τότε $RS=\dfrac{m}{n}$ όπου και είναι πρώτοι μεταξύ τους θετικοί ακέραιοι. Να βρεθεί το .

Προφανώς, είναι $\displaystyle{\rm RS=r_2-r_1,}$ όπου $\displaystyle{r_1,r_2}$ οι ακτίνες των εγγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων $\displaystyle{\rm B\Gamma H, A \Gamma H,}$ αντίστοιχα.

Επειδή το $\displaystyle{\rm RHEI_2}$ είναι τετράγωνο, είναι

$\displaystyle{\rm r_2=HE=\frac{HA+H\Gamma -A\Gamma}{2}}$

και ομοίως

$\displaystyle{\rm r_1=\frac{HB+H\Gamma -B\Gamma}{2}}$ .

Τότε,

$\displaystyle{\rm RS=r_2-r_1=\frac{HA-HB+B\Gamma-A\Gamma}{2}}$ .

Από το θεώρημα οξείας γωνίας βρίσκουμε εύκολα

$\displaystyle{\rm HA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2c},~HB=\frac{a^2+c^2-b^2}{2c}.}$

Από τις προηγούμενες σχέσεις καταλήγουμε στη σχέση

$\displaystyle{\boxed{\rm RS=(b-a)\frac{a+b-c}{2c}}}$

Κάνοντας αντικατάσταση των δεδομένων, βρίσκουμε

$\displaystyle{\rm RS=\frac{332}{665}}$

και επειδή $\displaystyle{(332,665)=1}$

είναι $\displaystyle{m+n=332+665=997.}$

parmenides51 · #10

cretanman έγραψε:Θέμα 4ο
Πόσες διατεταγμένες τετράδες ακεραίων αριθμών με ικανοποιούν τις σχέσεις και ;

μια άλλη ιδέα εδώ

#11

Ναι τότε εκείνα τα παλιά τα χρόνια χωρίς ίντερνετ υπήρχε αυτή η συνήθεια. Ανοίξτε το σύνδεσμο και θα καταλάβετε τι εννοώ.
Το ίδιο συνέβη και τα 2-3 προηγούμενα από αυτό χρόνια, το έχω ελέγξει
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 74f4faa7a8

parmenides51 · #12

smar έγραψε: http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 74f4faa7a8

τα θέματα της παραπομπής είναι ίδια (copy paste) με του Αρχιμήδη 1992-3

μάλλον δεν ήταν πρωτότυπα τα θέματα μας

#13

Ναι ακριβώς και όπως γράφω και παραπάνω δεν είναι η μοναδική χρονιά στην οποία συνέβη αυτό. Από το 1990 μέχρι το 1993 συνέβαινε συνέχεια σύμφωνα με τα θέματα που έχω μπροστά μου. Άλλος ένας τρόπος να βρούμε τα θέματα του αρχιμήδη

#14

smar έγραψε:Ναι τότε εκείνα τα παλιά τα χρόνια χωρίς ίντερνετ υπήρχε αυτή η συνήθεια. Ανοίξτε το σύνδεσμο και θα καταλάβετε τι εννοώ.
Το ίδιο συνέβη και τα 2-3 προηγούμενα από αυτό χρόνια, το έχω ελέγξει
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 74f4faa7a8

Ας το δούμε από τη θετική του πλευρά: Βρήκα το λάθος στο αριθμητικό αποτέλεσμα στη λύση μου παραπάνω, αφού αυτό που ζητείται είναι το $\displaystyle\sum_{i=1}^{16} x_i\nu_i}$ και όχι το $\nu$ που εγώ βρήκα από βιασύνη! Το διορθώνω αμέσως.

Ευχαριστώ Σιλουανέ!

Αλέξανδρος

#15

14
Την στιγμή που χάνεται η οπτική επαφή τα σημεία Α(αλέκος) και Β(βάσω) απέχουν όσο η κοινή κάθετος των δύο παραλλήλων χ,χ΄(200μ) αρα $\displaystyle{AB\perp x}$ και $\displaystyle{AB}$ εφάπτεται του κύκλου στο $\displaystyle{C}$
Θεωρούμε την βάσω ακίνητη και τον αλέκο να έχει ταχύτητα $\displaystyle{3-1=2m/s}$
Στο διάστημα $\displaystyle{AA_1}$ δεν υπάρχει οπτική επαφή
Αν $\displaystyle{a=KBC\Rightarrow a=KBE\Rightarrow ABA_1=2a}$ οπότε
$\displaystyle{AA_1/AB=tan2a=2tana/1-tan^2a=4/3}$ αφού $\displaystyle{tana=KC/CB=50/100=1/2}$ συνεπώς
$\displaystyle{2t=AA_1=(4/3)AB=800/3}$
ζητούμενο=403

: 122.jpg (7.26 KiB) Προβλήθηκε 2340 φορές

ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 1992

ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 1992

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 1992

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 1992

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 1992

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 1992

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 1992

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 1992

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 1992

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 1992

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 1992

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 1992

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 1992

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 1992

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 1992

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 1992

Μέλη σε σύνδεση