IMO 2013-Πρόβλημα 1

#1

Να δειχθεί ότι για οποιουσδήποτε θετικούς ακεραίους k,n

υπάρχουν θετικοί ακέραιοι $m_1, m_2,\ldots, m_k$ τέτοιοι ώστε

$\displaystyle{ 1+\frac{2^k-1}{n}=\left(1+\frac{1}{m_1}\right)\left(1+\frac{1}{m_2}\right)\dots\left(1+\frac{1}{m_k}\right). }$

(Ιαπωνία)

#2

Με επαγωγή στο

:

Η περίπτωση k=1

είναι άμεση.

Αν n = 2r+1

θέτω

. Αναζητώ $m_1,\ldots,m_{k-1}$ ώστε

$\displaystyle{ \left(1 + \frac{1}{m_1}\right) \cdots \left(1 + \frac{1}{m_{k-1}}\right) = \frac{n+2^k-1}{n+1} = 1 + \frac{2^{k-1}-1}{r+1}}$

τα οποία μπορώ να βρω από την επαγωγική υπόθεση.

Αν n = 2r

θέτω

. Αναζητώ $m_1,\ldots,m_{k-1}$ ώστε

$\displaystyle{ \left(1 + \frac{1}{m_1}\right) \cdots \left(1 + \frac{1}{m_{k-1}}\right) = \frac{2r + 2^k-1}{2r}\frac{2^k-2+2r}{2^k-1+2r} = 1 + \frac{2^{k-1}-1}{r}}$

τα οποία επίσης μπορώ να βρω από την επαγωγική υπόθεση.

#3

Aς ονομάσουμε P(n,k)

την πρόταση που θέλουμε να αποδείξουμε.
Θα δείξουμε ότι αν η πρόταση P(n,k)

για

θετικούς είναι αληθής, τότε είναι αληθείς και οι προτάσεις P(2n-1,k+1),P(2n,k+1).

Προκύπτει άμεσα από τις ακόλουθες ισότητες:

$1+\dfrac{2^{k+1}-1}{2n-1}=\dfrac{2n+2^{k+1}-2}{2n-1}=\dfrac{n+2^k-1}{n}\cdot\left(1+ \dfrac{1}{2n-1}\right)$

$1+\dfrac{2^{k+1}-1}{2n}=\left(1+ \dfrac{1}{2n+2^{k+1}-2}\right)\cdot\dfrac{n+2^k-1}{n}$

Επίσης οι προτάσεις P(1,k),P(n,1)

είναι αληθείς για οποιουσδήποτε n,k

θετικούς.

Τώρα με επαγωγή επί του αριθμού N=n+k

μπορούμε να αποδείξουμε την αλήθεια της πρότασης P(n,k)

για οποιουσδήποτε n,k

θετικούς.

IMO 2013-Πρόβλημα 1

IMO 2013-Πρόβλημα 1

Re: IMO 2013-Πρόβλημα 1

Re: IMO 2013-Πρόβλημα 1

Μέλη σε σύνδεση