ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

#1

Πρόβλημα 1
Δίνονται οι δεκαδικοί περιοδικοί αριθμοί $a=0,\overline{2}$ και $b=0,\overline{3}$ .
(α) Να γράψετε τους αριθμούς

και

σε κλασματική μορφή.
(β) Να βρείτε την τιμή της παράστασης $A=(3a-5b)^{2015}+(18a^2+b^2)^{2016}$ .

Πρόβλημα 2
Να βρείτε το μικρότερο θετικό ακέραιο με τον οποίο είτε πολλαπλασιάσουμε είτε
διαιρέσουμε το 2016

, προκύπτει ως αποτέλεσμα τέλειο τετράγωνο.

Πρόβλημα 3
Στο διπλανό σχήμα, το τρίγωνο ABC

είναι ισοσκελές (AB=AC)

και $\angle{A} = 30^{\circ}$ . Το τρίγωνο BCD

είναι ισόπλευρο και το σημείο

βρίσκεται στη προέκταση της πλευράς

και είναι τέτοιο ώστε BC=CE

. Αν η πλευρά

τέμνεται από τη

στο σημείο

, τότε:
(α) Να υπολογιστούν οι γωνίες $\angle{ABD}$ και $\angle{ACD}$ .
(β) Να αποδειχθεί ότι τα τρίγωνα ADB

και

είναι ισοσκελή.
(γ) Να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο BDE

είναι ορθογώνιο.

: Efkleidis B Gymn 2015.png (10.53 KiB) Προβλήθηκε 1253 φορές

Πρόβλημα 4
Για την εκτέλεση ενός μεγάλου ερευνητικού έργου στο προαπαιτούμενο χρονικό όριο, ξεκίνησαν να εργάζονται συνολικά 500

ερευνητές. Όταν τελείωσε στην ώρα του το $\dfrac{1}{4}$ του έργου, αποχώρησαν 100

ερευνητές, οπότε το δεύτερο τέταρτο του έργου ολοκληρώθηκε με καθυστέρηση. Αποχώρησαν όμως τότε και άλλοι 100

ερευνητές, οπότε το τρίτο τέταρτο του έργου ολοκληρώθηκε με επιπλέον καθυστέρηση. Πόσοι ερευνητές πρέπει να προσληφθούν, ώστε το έργο να τελειώσει στον προγραμματισμένο χρόνο; (Υποθέτουμε ότι όλοι οι ερευνητές που εργάστηκαν, αλλά και αυτοί που θα προσληφθούν, δουλεύουν με την ίδια απόδοση).

ealexiou · #2

cretanman έγραψε:
Πρόβλημα 2
Να βρείτε το μικρότερο θετικό ακέραιο με τον οποίο είτε πολλαπλασιάσουμε είτε
διαιρέσουμε το , προκύπτει ως αποτέλεσμα τέλειο τετράγωνο.

$2016=2^5\cdot 3^2 \cdot 7$ , οπότε ο μικρότερος ζητούμενος αριθμός είναι ο $2\cdot7=14$
(μήπως δεν πρέπει μεγάλα .. παιδιά να συμμετέχουν στην επίλυση;)

#3

cretanman έγραψε: Πρόβλημα 3
Στο διπλανό σχήμα, το τρίγωνο είναι ισοσκελές και $\angle{A} = 30^{\circ}$ . Το τρίγωνο είναι ισόπλευρο και το σημείο βρίσκεται στη προέκταση της πλευράς και είναι τέτοιο ώστε . Αν η πλευρά τέμνεται από τη στο σημείο , τότε:
(α) Να υπολογιστούν οι γωνίες $\angle{ABD}$ και $\angle{ACD}$ .
(β) Να αποδειχθεί ότι τα τρίγωνα και είναι ισοσκελή.
(γ) Να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.

α) Αφού το ABC

είναι ισοσκελές και $\displaystyle{\widehat A = {30^0}}$ , θα είναι $\displaystyle{A\widehat BC = A\widehat CB = {75^0}}$ ,

οπότε $\displaystyle{A\widehat BD = A\widehat CD = {75^0} - {60^0} = {15^0}}$

: Ευκλείδης 2016 BG.3.png (12.85 KiB) Προβλήθηκε 1187 φορές

β) Το

είναι ισοσκελές και το DBC

ισόπλευρο, άρα τα σημεία A, D

ανήκουν στη μεσοκάθετο του

, οπότε η

θα διχοτομεί τη γωνία $\hat{A}$ . Δηλαδή: $\displaystyle{B\widehat AD = D\widehat AC = {15^0} = A\widehat BD = A\widehat CD}$ , άρα τα τρίγωνα ADB

και

είναι ισοσκελή.

γ) Το CDE

είναι ισοσκελές και $\displaystyle{D\widehat CE = {120^0} \Rightarrow C\widehat DE = D\widehat EC = {30^0}}$ .

Άρα $\displaystyle{B\widehat DE = B\widehat DC + C\widehat DE = {60^0} + {30^0} = {90^0}}$

Σημείωση: Δεν καταλαβαίνω τι ρόλο παίζει το σημείο

ealexiou · #4

cretanman έγραψε:Πρόβλημα 1
Δίνονται οι δεκαδικοί περιοδικοί αριθμοί $a=0,\overline{2}$ και $b=0,\overline{3}$ .
(α) Να γράψετε τους αριθμούς και σε κλασματική μορφή.
(β) Να βρείτε την τιμή της παράστασης $A=(3a-5b)^{2015}+(18a^2+b^2)^{2016}$ .

Είναι $a=\dfrac{2}{9},b=\dfrac{3}{9}$ οπότε $A=\left(3\cdot \dfrac{ 2}{9}-5\cdot \dfrac{3}{9}\right)^{2015} +\left(18\cdot \dfrac{4}{81}+\dfrac{9}{81}\right)^{2016}=$ $\left(-\dfrac{9}{9}\right)^{2015}+\left(\dfrac{81}{81}\right)^{2016}=$ $(-1)^{2015}+(+1)^{2016}=-1+1=0$

#5

cretanman έγραψε:Πρόβλημα 2
Να βρείτε το μικρότερο θετικό ακέραιο με τον οποίο είτε πολλαπλασιάσουμε είτε
διαιρέσουμε το , προκύπτει ως αποτέλεσμα τέλειο τετράγωνο.

Η λύση βρίσκεται εδώ

cretanman έγραψε:Πρόβλημα 4
Για την εκτέλεση ενός μεγάλου ερευνητικού έργου στο προαπαιτούμενο χρονικό όριο, ξεκίνησαν να εργάζονται συνολικά ερευνητές. Όταν τελείωσε στην ώρα του το $\dfrac{1}{4}$ του έργου, αποχώρησαν ερευνητές, οπότε το δεύτερο τέταρτο του έργου ολοκληρώθηκε με καθυστέρηση. Αποχώρησαν όμως τότε και άλλοι ερευνητές, οπότε το τρίτο τέταρτο του έργου ολοκληρώθηκε με επιπλέον καθυστέρηση. Πόσοι ερευνητές πρέπει να προσληφθούν, ώστε το έργο να τελειώσει στον προγραμματισμένο χρόνο; (Υποθέτουμε ότι όλοι οι ερευνητές που εργάστηκαν, αλλά και αυτοί που θα προσληφθούν, δουλεύουν με την ίδια απόδοση).

Η λύση βρίσκεται εδώ

#6

Πρόβλημα 4
Για την εκτέλεση ενός μεγάλου ερευνητικού έργου στο προαπαιτούμενο χρονικό όριο, ξεκίνησαν να εργάζονται συνολικά 500

ερευνητές. Όταν τελείωσε στην ώρα του το $\dfrac{1}{4}$ του έργου, αποχώρησαν 100

ερευνητές, οπότε το δεύτερο τέταρτο του έργου ολοκληρώθηκε με καθυστέρηση. Αποχώρησαν όμως τότε και άλλοι 100

ερευνητές, οπότε το τρίτο τέταρτο του έργου ολοκληρώθηκε με επιπλέον καθυστέρηση. Πόσοι ερευνητές πρέπει να προσληφθούν, ώστε το έργο να τελειώσει στον προγραμματισμένο χρόνο; (Υποθέτουμε ότι όλοι οι ερευνητές που εργάστηκαν, αλλά και αυτοί που θα προσληφθούν, δουλεύουν με την ίδια απόδοση).

Λύση
Συμβολίζουμε με

τον αριθμό των επιστημόνων και με

το χρόνο που χρειάζονται για να τελειώσουν το ένα τέταρτο του έργου. Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα.

Ας ορίσουμε μια νέα μονάδα μέτρησης χρόνου: το χρόνο που θα χρειαστούν 500 επιστήμονες για να τελειώσουν το ένα τέταρτο του έργου. Αυτή τη χρονική διάρκεια θα τη συμβολίζουμε με $1 \; T.$ Τότε οι 400 επιστήμονες τελειώνουν το δεύτερο τέταρτο του έργου σε $\dfrac{5}{4} \; T$ ενώ οι 300

επιστήμονες τελειώνουν το τρίτο τέταρτο του έργου σε $\dfrac{5}{3}\; T.$ Το έργο πρέπει να τελειώσει σε χρόνο $4\; T.$
Άρα το τελευταίο τέταρτο του έργου πρέπει να τελειώσει σε χρόνο $4-(1+\dfrac{5}{4}+\dfrac{5}{3})=\dfrac{1}{12}\; T.$
Ας συμβολίσουμε με

τον αριθμό των επιστημόνων που πρέπει να προσληφθούν για να ολοκληρωθεί εγκαίρως το έργο. Συμπληρώνουμε τον παρακάτω πίνακα αντιστρόφως ανάλογων ποσών:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} x & 500 & 400 & 300 & 300+a\\ \hline y & 1 & \dfrac{5}{4} & \dfrac{5}{3} & \dfrac{1}{12}\\ \end{array}$

Προκύπτει η εξίσωση $\dfrac{1}{12}(300+a)=500$ που δίνει a=5700

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση