ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

#1

Πρόβλημα 1
Να παραγοντοποιήσετε το πολυώνυμο: P(x)=4(x+4)^2-28(x+4)+48

και να βρείτε την τιμή της παράστασης $A=6\sqrt{P(-5)}-4\sqrt{P(4)}$ .

Πρόβλημα 2
(α) Να αποδείξετε την ταυτότητα: x(2x-1)(2x+1)+x=4x^3

, για κάθε πραγματικό αριθμό

.
(β) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός $A=4031\cdot 4033\cdot 32256+32256$ ισούται με τον κύβο ενός ακεραίου αριθμού τον οποίο και να προσδιορίσετε.

Πρόβλημα 3
Δίνεται ορθογώνιο ABCD

με πλευρές AD=a

και

. Με κέντρα τα σημεία A, B

και ακτίνα

γράφουμε κύκλους. Το σημείο

είναι το μέσο της πλευράς

, η

είναι εφαπτόμενη του κύκλου κέντρου

και η

είναι εφαπτόμενη του κύκλου κέντρου

, όπως φαίνεται στο σχήμα.
(α) Να υπολογίσετε τη γωνία $\angle{DAE}$ .
(β) Να υπολογίσετε το εμβαδό του μικτόγραμμου γραμμοσκιασμένου χωρίου DEMZC

που περικλείεται από το τόξο

, τα τμήματα EM, MZ

, το τόξο

και το τμήμα

.

: Efkleidis C Gymn 2015.png (22.88 KiB) Προβλήθηκε 1374 φορές

Πρόβλημα 4
Δύο φίλοι, ο Γιάννης και ο Βαγγέλης έχουν μία σακούλα με καραμέλες. Ο Γιάννης βάζει το χέρι μέσα, παίρνει κάποιες καραμέλες, και από αυτές που πήρε κρατάει τα $\dfrac{3}{4}$ και τις υπόλοιπες (από αυτές που πήρε) τις δίνει στο Βαγγέλη. Στη συνέχεια ο Βαγγέλης παίρνει τις υπόλοιπες που έμειναν στη σακούλα, κρατάει το $\dfrac{1}{12}$ και δίνει στο Γιάννη τις υπόλοιπες. Αν σε κάθε μοιρασιά καθένας παίρνει ακέραιο αριθμό από καραμέλες και τελικά οι καραμέλες του Γιάννη είναι εξαπλάσιες από τις καραμέλες του Βαγγέλη, να βρείτε τον ελάχιστο αριθμό από καραμέλες που μπορεί να περιέχει η σακούλα.

#2

cretanman έγραψε:Πρόβλημα 1
Να παραγοντοποιήσετε το πολυώνυμο: και να βρείτε την τιμή της παράστασης $A=6\sqrt{P(-5)}-4\sqrt{P(4)}$ .

$\displaystyle{P(x) = 4\left[ {{{(x + 4)}^2} - 7(x + 4) + 12} \right]\mathop = \limits^{x + 4 = y} 4({y^2} - 7y + 12) = 4(y - 4)(y - 3) = }$

$\displaystyle{4(x + 4 - 4)(x + 4 - 3) = 4x(x + 1)}$

$\displaystyle{A = 6\sqrt {4( - 5)( - 4)} - 4\sqrt {4 \cdot 4 \cdot 5} = 8\sqrt 5 }$

#3

cretanman έγραψε:Πρόβλημα 1
Να παραγοντοποιήσετε το πολυώνυμο: και να βρείτε την τιμή της παράστασης $A=6\sqrt{P(-5)}-4\sqrt{P(4)}$ .

Η λύση βρίσκεται εδώ

cretanman έγραψε:Πρόβλημα 2
(α) Να αποδείξετε την ταυτότητα: , για κάθε πραγματικό αριθμό .
(β) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός $A=4031\cdot 4033\cdot 32256+32256$ ισούται με τον κύβο ενός ακεραίου αριθμού τον οποίο και να προσδιορίσετε.

Η λύση βρίσκεται εδώ

cretanman έγραψε:Πρόβλημα 3
Δίνεται ορθογώνιο με πλευρές και . Με κέντρα τα σημεία και ακτίνα γράφουμε κύκλους. Το σημείο είναι το μέσο της πλευράς , η είναι εφαπτόμενη του κύκλου κέντρου και η είναι εφαπτόμενη του κύκλου κέντρου , όπως φαίνεται στο σχήμα.
(α) Να υπολογίσετε τη γωνία $\angle{DAE}$ .
(β) Να υπολογίσετε το εμβαδό του μικτόγραμμου γραμμοσκιασμένου χωρίου που περικλείεται από το τόξο , τα τμήματα , το τόξο και το τμήμα .

Η λύση βρίσκεται εδώ

cretanman έγραψε:Πρόβλημα 4
Δύο φίλοι, ο Γιάννης και ο Βαγγέλης έχουν μία σακούλα με καραμέλες. Ο Γιάννης βάζει το χέρι μέσα, παίρνει κάποιες καραμέλες, και από αυτές που πήρε κρατάει τα $\dfrac{3}{4}$ και τις υπόλοιπες (από αυτές που πήρε) τις δίνει στο Βαγγέλη. Στη συνέχεια ο Βαγγέλης παίρνει τις υπόλοιπες που έμειναν στη σακούλα, κρατάει το $\dfrac{1}{12}$ και δίνει στο Γιάννη τις υπόλοιπες. Αν σε κάθε μοιρασιά καθένας παίρνει ακέραιο αριθμό από καραμέλες και τελικά οι καραμέλες του Γιάννη είναι εξαπλάσιες από τις καραμέλες του Βαγγέλη, να βρείτε τον ελάχιστο αριθμό από καραμέλες που μπορεί να περιέχει η σακούλα.

Η λύση βρίσκεται εδώ

ealexiou · #4

cretanman έγραψε: Πρόβλημα 2
(α) Να αποδείξετε την ταυτότητα: , για κάθε πραγματικό αριθμό .
(β) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός $A=4031\cdot 4033\cdot 32256+32256$ ισούται με τον κύβο ενός ακεραίου αριθμού τον οποίο και να προσδιορίσετε.

α)

β) $A=4031\cdot 4033\cdot 32256+32256=$ $32256\cdot[(4032-1)(4032+1)+1] \Leftrightarrow$

$A=32256\cdot(4032^2-1+1)=32256\cdot4032^2=$ $8\cdot4032\cdot4032^2=2^3\cdot4032^3 \Leftrightarrow$

$\boxed{A=(2\cdot4032)^3=8064^3}$

nikkru · #5

Μια άλλη λύση για το 2β ερώτημα.

Έστω α=4032, τότε 4031=α-1 , 4033=α+1 και 32256=8α.
Αντικαθιστώντας έχουμε: 4031·4033·32256+32256=(α-1)·(α+1)·8α+8α=
=(α²-1)8α+8α=8α³-8α+8α=8α³=(2α)³=8064³.
Συνεπώς, α=8064.

#6

Για το 3ο ΘΕΜΑ, δείτε και το παρόμοιο Problem 24 από τον AMC 2007 10A, το οποίο μόλις παρατήρησα τυχαία!

Φιλικά,

Αχιλλέας

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση