Πρώτος γύρος Ελβετίας, 2004

#1

Πρώτος γύρος Ελβετίας, 2004

1. Βρείτε όλους τους φυσικούς αριθμούς a, b

και

για τους οποίους ισχύει a! + b! = 2^n.

2. Στη συνήθη σκακιέρα ( $8\times 8$ ) βρίσκονται

πύργοι. Δείξτε ότι υπάρχουν τρεις από αυτούς που δεν απειλούνται μεταξύ τους.

3. Έστω ABCD

ένα παραλληλόγραμμο. Τα σημεία

και

βρίσκονται στη διαγώνιο

ώστε $\displaystyle{|AP| = |CQ| < \frac{1}{2}|AC|.}$ Η ευθεία

τέμνει την

στο

και η

τέμνει την

στο

Δείξτε ότι η

είναι παράλληλη στη διαγώνιο AC.

4. Να προσδιορίσετε όλους τους φυσικούς αριθμούς

με ακριβώς 100

θετικούς διαιρέτες, τουλάχιστον

από τους οποίους είναι διαδοχικοί ακέραιοι.

5. m×n

σημεία σχηματίζουν ένα ορθογώνιο πλέγμα (

γραμμών και

στηλών). Με πόσους τρόπους μπορούμε να βάψουμε τα σημεία αυτά άσπρα ή κόκκινα, έτσι ώστε σε οποιαδήποτε τέσσερα σημεία που είναι κορυφές μοναδιαίου τετραγώνου να υπάρχουν ακριβώς δύο άσπρα και δύο κόκκινα;

kostas_zervos · #2

socrates έγραψε: 1. Βρείτε όλους τους φυσικούς αριθμούς και για τους οποίους ισχύει

Είναι $a!+b!\geq 2\Rightarrow 2^n\geq 2\iff n\geq 1$

Αν a>2

και

, τότε

πολλαπλάσιο του

, άρα $3|2^n\Rightarrow 3|2$ ΑΤΟΠΟ.

Αν a>2

και

ή

, τότε

περιττός ΑΤΟΠΟ.

Αν b>2

και

ή

, τότε

περιττός ΑΤΟΠΟ.

Αν a>2

και

τότε $a!+2!\geq 8\Rightarrow n\geq 3$ και

$a!+2!=2(3\cdot 4\cdots a+1)=2^{n} \iff 3\cdot 4\cdots a+1=2^{n-1}$ , οπότε αν a>3

είναι αδύνατη και αν a=3

έχουμε

.

Άρα $\color{red}(a,b,n)=(3,2,3)$ .

Αν b>2

και

τότε $a!+2!\geq 8\Rightarrow n\geq 3$ και

$b!+2!=2(3\cdot 4\cdots b+1)=2^{n} \iff 3\cdot 4\cdots b+1=2^{n-1}$ , οπότε αν b>3

είναι αδύνατη και αν b=3

έχουμε

.

Άρα $\color{red}(a,b,n)=(2,3,3)$ .

Αν $a\leq 2$ και $b\leq 2$ τότε:

Για $a=0\;,\;b=0$ ή $a=0\;,\;b=1$ ή $a=1\;,\;b=0$ ή $a=1\;,\;b=1$ έχουμε $2=2^n\iff n=1$ .

Άρα $\color{red}(a,b,n)=(0,0,1)$ ή $\color{red}(a,b,n)=(1,0,1)$ ή $\color{red}(a,b,n)=(0,1,1)$ ή $\color{red}(a,b,n)=(1,1,1)$ .

Για $a=0\;,\;b=2$ ή $a=2\;,\;b=0$ έχουμε 3=2^n

αδύνατη .

Για $a=2\;,\;b=2$ τότε $4=2^n \iff n=2$ . Άρα $\color{red}(a,b,n)=(2,2,2)$ .

#3

socrates έγραψε:4. Να προσδιορίσετε όλους τους φυσικούς αριθμούς με ακριβώς θετικούς διαιρέτες, τουλάχιστον από τους οποίους είναι διαδοχικοί ακέραιοι.

search.php?keywords=1041&t=15584&sf=msgonly

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #4

socrates έγραψε:Πρώτος γύρος Ελβετίας, 2004
5. σημεία σχηματίζουν ένα ορθογώνιο πλέγμα ( γραμμών και στηλών). Με πόσους τρόπους μπορούμε να βάψουμε τα σημεία αυτά άσπρα ή κόκκινα, έτσι ώστε σε οποιαδήποτε τέσσερα σημεία που είναι κορυφές μοναδιαίου τετραγώνου να υπάρχουν ακριβώς δύο άσπρα και δύο κόκκινα;

Θα ξεκινήσουμε βάφοντας τα σημεία της 1ης γραμμής. Θα πάρουμε δύο περιπτώσεις:

α) Αν τα βάψουμε άσπρα και κόκκινα εναλλάξ: (

και

αντίστοιχα)

Έχουμε

τρόπους, ανάλογα με ποιο χρώμα ξεκινάμε:

$A-K-A-K-\ldots$
ή
$K-A-K-A-\ldots$

Θα δείξουμε ότι για κάθε μια από τις επόμενες γραμμές έχουμε επίσης

τρόπους βαψίματος:

Αν πάρουμε δύο οποιαδήποτε διαδοχικά σημεία της τρέχουσας γραμμής αυτά θα είναι βαμμένα A-K

ή

. Για την πρώτη περίπτωση τα δύο σημεία που θα βρίσκονται ακριβώς από κάτω, στην επόμενη γραμμή, μπορούν να βαφτούν A-K

ή

. Το ίδιο ισχύει και για τη δεύτερη περίπτωση. Μόνο έτσι θα ισχύει ότι για οποιαδήποτε τέσσερα σημεία που είναι κορυφές μοναδιαίου τετραγώνου θα υπάρχουν ακριβώς δύο άσπρα και δύο κόκκινα.

Άρα αν η τρέχουσα γραμμή είναι $A-K-A-K-\ldots$ τότε η επόμενη μπορεί να είναι:

$A-K-A-K-\ldots$
ή
$K-A-K-A-\ldots$

Το ίδιο ισχύει αν η τρέχουσα γραμμή είναι $K-A-K-A-\ldots$

Αφού για κάθε μια από τις

γραμμές έχουμε

τρόπους βαψίματος, προκύπτει ότι θα έχουμε συνολικά $\boxed{2^m}$ τρόπους.

β) Αν τα βάψουμε έτσι ώστε τουλάχιστον ένα ζευγάρι διαδοχικών σημείων βαφτεί με το ίδιο χρώμα:

Αν βάψουμε τα

σημεία της 1ης γραμμής άσπρα ή κόκκινα χωρίς κάποιο περιορισμό, τότε αυτό μπορεί να γίνει με 2^n

τρόπους. Αν αφαιρέσουμε τους

τρόπους που υπάρχουν για να βάψουμε τα σημεία άσπρα και κόκκινα εναλλάξ, τότε προκύπτει ότι ο αριθμός των τρόπων που υπάρχουν για να τα βάψουμε έτσι ώστε τουλάχιστον ένα ζευγάρι διαδοχικών σημείων βαφτεί με το ίδιο χρώμα είναι $\boxed{2^n-2}$ .

Θα δείξουμε ότι όλα τα σημεία των υπόλοιπων γραμμών μπορούν πλέον να βαφτούν με μοναδικό τρόπο:

Αν πάρουμε δύο διαδοχικά σημεία της τρέχουσας γραμμής με το ίδιο χρώμα αυτά θα είναι βαμμένα A-A

ή

. Τα δύο σημεία που θα βρίσκονται ακριβώς από κάτω μπορούν να βαφτούν αναγκαστικά K-K

ή

αντίστοιχα. Μόνο έτσι θα ισχύει ότι για οποιαδήποτε τέσσερα σημεία που είναι κορυφές μοναδιαίου τετραγώνου θα υπάρχουν ακριβώς δύο άσπρα και δύο κόκκινα.

Ας εξετάσουμε ταυτόχρονα και κάποιο γειτονικό των αρχικών δύο σημείων, π.χ. το δεξιότερο. Θα συμβολίσουμε με

κάποιο από τα χρώματα άσπρο και κόκκινο και με

το "αντίθετο" χρώμα. Δηλαδή αν το

είναι το άσπρο τότε το

θα είναι το κόκκινο. Ομοίως για την αντίθετη περίπτωση.Θα έχουμε λοιπόν για τα τρία σημεία τα χρώματα X-X-X

ή

. Τότε τα τρία σημεία που θα βρίσκονται ακριβώς από κάτω μπορούν να βαφτούν αναγκαστικά X'-X'-X'

ή

αντίστοιχα. Ομοίως για το επόμενο γειτονικό σημείο, κ.ο.κ. Ομοίως και για τα αριστερότερα γειτονικά σημεία.

Δηλαδή εκτός από τα σημεία της 1ης γραμμής, όλα τα σημεία κάθε επόμενης γραμμής θα μπορούν να βαφτούν αναγκαστικά με το "αντίθετο" χρώμα των σημείων που βρίσκονται ακριβώς από πάνω. Άρα όλα τα σημεία των υπόλοιπων γραμμών μπορούν να βαφτούν με μοναδικό τρόπο.

Τελικά:

Προσθέτοντας τον αριθμό των τρόπων της α) και β) περίπτωσης έχουμε συνολικά: $\boxed{2^m+2^n-2}$ τρόπους.

Παρατήρηση:
Το αποτέλεσμα είναι συμμετρικό ως το

και

αφού ουσιαστικά δεν παίζει ρόλο αν ξεκινούσαμε το βάψιμο των σημείων από την 1η γραμμή ή από την 1η στήλη.

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #5

socrates έγραψε:Πρώτος γύρος Ελβετίας, 2004

3. Έστω ένα παραλληλόγραμμο. Τα σημεία και βρίσκονται στη διαγώνιο ώστε $\displaystyle{|AP| = |CQ| < \frac{1}{2}|AC|.}$ Η ευθεία τέμνει την στο και η τέμνει την στο Δείξτε ότι η είναι παράλληλη στη διαγώνιο

Φέρνουμε καταρχάς τη διαγώνιο

και έστω

το σημείο τομής της με την

. Ισχύει προφανώς πως PO=QO

(1).

Έστω πως η

δεν είναι παράλληλη στην

. Τότε θα υπάρχει σημείο

στην

όπου

.

Έστω

το σημείο τομής της

με την

και

της

με την

. Προφανώς το

είναι διαφορετικό του

(2).

Στο τρίγωνο ADC

η

είναι παράλληλη στην

και η

διχοτομεί το τμήμα

. Άρα θα διχοτομεί και το τμήμα

, δηλαδή θα είναι TE=TS

(3).

Στο τρίγωνο BES

έχουμε ότι η

είναι παράλληλη στην

και σύμφωνα με την σχέση (3) ότι η

διχοτομεί το τμήμα

. Άρα θα διχοτομεί και το τμήμα

, δηλαδή θα είναι PO=KO

(4).

Όμως είναι αδύνατον να ισχύουν ταυτόχρονα οι σχέσεις (1), (2) και (4), άρα έχουμε άτοπο. Συνεπώς EF//AC

.

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #6

socrates έγραψε: 2. Στη συνήθη σκακιέρα ( $8\times 8$ ) βρίσκονται πύργοι. Δείξτε ότι υπάρχουν τρεις από αυτούς που δεν απειλούνται μεταξύ τους.

Θεωρούμε ότι δύο πύργοι δεν απειλούνται μεταξύ τους όταν δεν βρίσκονται στην ίδια γραμμή ούτε στην ίδια στήλη.

Έστω ότι δεν υπάρχουν τρεις πύργοι που δεν απειλούνται μεταξύ τους, δηλαδή που να βρίσκονται σε

διαφορετικές γραμμές και σε

διαφορετικές στήλες. Αυτό σημαίνει ότι όλοι οι πύργοι θα βρίσκονται σε λιγότερες από

γραμμές ή θα βρίσκονται σε λιγότερες από

στήλες. Όμως ούτε το ένα είναι δυνατό ούτε το άλλο, αφού

πύργοι δεν χωράνε σε λιγότερες από

γραμμές ούτε σε λιγότερες από

στήλες (κάθε γραμμή ή στήλη χωράει μέχρι

πύργους). Επομένως, σίγουρα υπάρχουν τρεις πύργοι που δεν απειλούνται μεταξύ τους.

Υ.Γ Η λύση δεν ισχύει όπως φαίνεται από τη συνέχεια της συζήτησης...

#7

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε: Έστω ότι δεν υπάρχουν τρεις πύργοι που δεν απειλούνται μεταξύ τους, δηλαδή που να βρίσκονται σε διαφορετικές γραμμές και σε διαφορετικές στήλες. Αυτό σημαίνει ότι όλοι οι πύργοι θα βρίσκονται σε λιγότερες από γραμμές ή θα βρίσκονται σε λιγότερες από στήλες.

Αυτό δεν είναι σωστό. Π.χ. αν τοποθετήσουμε πύργους στις θέσεις $A1,A2,A3,B1,\Gamma 1$ τότε δεν υπάρχουν τρεις που δεν απειλούνται μεταξύ τους. Επιπλέον όμως δεν υπάρχουν ούτε λιγότερες από τρεις γραμμές ούτε λιγότερες από τρεις στήλες οι οποίες να περιέχουν όλους τους πύργους.

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #8

Demetres έγραψε:
Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε: Έστω ότι δεν υπάρχουν τρεις πύργοι που δεν απειλούνται μεταξύ τους, δηλαδή που να βρίσκονται σε διαφορετικές γραμμές και σε διαφορετικές στήλες. Αυτό σημαίνει ότι όλοι οι πύργοι θα βρίσκονται σε λιγότερες από γραμμές ή θα βρίσκονται σε λιγότερες από στήλες.
Αυτό δεν είναι σωστό. Π.χ. αν τοποθετήσουμε πύργους στις θέσεις $A1,A2,A3,B1,\Gamma 1$ τότε δεν υπάρχουν τρεις που δεν απειλούνται μεταξύ τους. Επιπλέον όμως δεν υπάρχουν ούτε λιγότερες από τρεις γραμμές ούτε λιγότερες από τρεις στήλες οι οποίες να περιέχουν όλους τους πύργους.

Έχετε δίκιο! Πρέπει να το ξαναδώ...

nikkru · #9

socrates έγραψε:Πρώτος γύρος Ελβετίας, 2004

2. Στη συνήθη σκακιέρα ( $8\times 8$ ) βρίσκονται πύργοι. Δείξτε ότι υπάρχουν τρεις από αυτούς που δεν απειλούνται μεταξύ τους.

Διαγράφουμε τις πέντε γραμμές με τους λιγότερους πύργους.

α) Αν στις τρεις γραμμές που έμειναν όλες έχουν τουλάχιστον δύο πύργους, τότε έχουμε διαγράψει το πολύ δέκα πύργους και αφήσαμε τουλάχιστον εφτά πύργους.
Στις τρεις γραμμές που έμειναν υπάρχουν τουλάχιστον εφτά πύργοι,οι οποίοι αναγκαστικά καταλαμβάνουν τρεις τουλάχιστον στήλες.
Οπότε μπορούμε να επιλέξουμε τρεις πύργους που καθένας τους να βρίσκεται σε διαφορετική γραμμή και στήλη σε σχέση με τους άλλους δύο.

β) Αν στις τρεις γραμμές που έμειναν υπάρχει γραμμή με έναν πύργο, τότε έχουμε διαγράψει το πολύ πέντε πύργους και έχουμε αφήσει τουλάχιστον δώδεκα πύργους. Τότε υπάρχουν έντεκα τουλάχιστον πύργοι σε δύο γραμμές, που σημαίνει οτι κάθε γραμμή έχει τουλάχιστον τρεις πύργους.
Οπότε πάλι μπορούμε να επιλέξουμε τρεις πύργους που καθένας τους να βρίσκεται σε διαφορετική γραμμή και στήλη σε σχέση με τους άλλους δύο.

Τελικά σε κάθε περίπτωση υπάρχουν τρεις πύργοι που δεν απειλούνται μεταξύ τους.

Συμπλήρωσα την λύση μετά την υπόδειξη του Demetres

#10

nikkru έγραψε:
socrates έγραψε:Πρώτος γύρος Ελβετίας, 2004

2. Στη συνήθη σκακιέρα ( $8\times 8$ ) βρίσκονται πύργοι. Δείξτε ότι υπάρχουν τρεις από αυτούς που δεν απειλούνται μεταξύ τους.
Διαγράφουμε τις πέντε γραμμές με τους λιγότερους πύργους.

Από τις τρεις γραμμές που έμειναν η μία έχει τουλάχιστον τρεις πύργους και οι άλλες δύο έχουν από δύο τουλάχιστον πύργους.

Δεν ισχύει αυτό. Η «τρίτη γραμμή» μπορεί να έχει μόνο έναν πύργο.

mikemoke · #11

nikkru έγραψε:
socrates έγραψε:Πρώτος γύρος Ελβετίας, 2004

2. Στη συνήθη σκακιέρα ( $8\times 8$ ) βρίσκονται πύργοι. Δείξτε ότι υπάρχουν τρεις από αυτούς που δεν απειλούνται μεταξύ τους.

Διαγράφουμε τις πέντε γραμμές με τους λιγότερους πύργους.

α) Αν στις τρεις γραμμές που έμειναν όλες έχουν τουλάχιστον δύο πύργους, τότε έχουμε διαγράψει το πολύ δέκα πύργους και αφήσαμε τουλάχιστον εφτά πύργους.
Στις τρεις γραμμές που έμειναν υπάρχουν τουλάχιστον εφτά πύργοι,οι οποίοι αναγκαστικά καταλαμβάνουν τρεις τουλάχιστον στήλες.
Οπότε μπορούμε να επιλέξουμε τρεις πύργους που καθένας τους να βρίσκεται σε διαφορετική γραμμή και στήλη σε σχέση με τους άλλους δύο.

β) Αν στις τρεις γραμμές που έμειναν υπάρχει γραμμή με έναν πύργο, τότε έχουμε διαγράψει το πολύ πέντε πύργους και έχουμε αφήσει τουλάχιστον δώδεκα πύργους. Τότε υπάρχουν έντεκα τουλάχιστον πύργοι σε δύο γραμμές, που σημαίνει οτι κάθε γραμμή έχει τουλάχιστον τρεις πύργους.
Οπότε πάλι μπορούμε να επιλέξουμε τρεις πύργους που καθένας τους να βρίσκεται σε διαφορετική γραμμή και στήλη σε σχέση με τους άλλους δύο.

Τελικά σε κάθε περίπτωση υπάρχουν τρεις πύργοι που δεν απειλούνται μεταξύ τους.

Συμπλήρωσα την λύση μετά την υπόδειξη του Demetres

Η βελτιστη στρατηγικη ωστε να απειλουνται οσο το δυνατον περισσοτεροι πυργοι μεταξυ τους ειναι να τους βάλουμε στην ίδια στήλη . Αν εχουμε απο 2 ωσ 8 πυργους χρησιμοποιωντασ αυτη την στρατηγικη ολοι απειλούνται μεταξύ . Απο 9 ως 16 ακολουθωντας την ιδια στρατηγικη παντα 2 πυργοι δεν θα απειλούνται μεταξύ τους. Για 17 ως 24 θα είναι 3 πύργοι που δεν θα απείλουνται μεταξυ τους .Έτσι μπορεί να γίνει γενίκευση για οποιαδηποτε σκακιέρα και για οποιονδήποτε αριθμό πύργων

Πρώτος γύρος Ελβετίας, 2004

Πρώτος γύρος Ελβετίας, 2004

Re: Πρώτος γύρος Ελβετίας, 2004

Re: Πρώτος γύρος Ελβετίας, 2004

Re: Πρώτος γύρος Ελβετίας, 2004

Re: Πρώτος γύρος Ελβετίας, 2004

Re: Πρώτος γύρος Ελβετίας, 2004

Re: Πρώτος γύρος Ελβετίας, 2004

Re: Πρώτος γύρος Ελβετίας, 2004

Re: Πρώτος γύρος Ελβετίας, 2004

Re: Πρώτος γύρος Ελβετίας, 2004

Re: Πρώτος γύρος Ελβετίας, 2004

Μέλη σε σύνδεση