Σάκη εξαιρετικα !! ΠΟλύ όμορφη λύση. Έχω βρει και γω μια διαφορετική με συμμετροδιάμεσο και όμοια τρίγωνα αλλά αυτή είναι πιο σύντομη. Αν βρω χρόνο θα τη βάλω.Σακης έγραψε:Εναλλακτική λύση για την 31.
Διαγωνισμός Αρχιμήδης - Των φρονίμων τα παιδιά...!
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
Re: Διαγωνισμός Αρχιμήδης 2011 - Των φρονίμων τα παιδιά...!
Σιλουανός Μπραζιτίκος
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5948
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: Διαγωνισμός Αρχιμήδης 2011 - Των φρονίμων τα παιδιά...!
35.
'' Να βρεθεί το πλήθος των ΑΚΕΡΑΙΩΝ* ΣΚΑΛΗΝΩΝ τριγώνων με μεγαλύτερη πλευρά m,όπου m θετικός ακέραιος αριθμός ''.
(*) Ακέραιο τρίγωνο είναι το τρίγωνο που τα μήκη τών πλευρών του είναι θετικοί ακέραιοι.
S.E.Louridas
'' Να βρεθεί το πλήθος των ΑΚΕΡΑΙΩΝ* ΣΚΑΛΗΝΩΝ τριγώνων με μεγαλύτερη πλευρά m,όπου m θετικός ακέραιος αριθμός ''.
(*) Ακέραιο τρίγωνο είναι το τρίγωνο που τα μήκη τών πλευρών του είναι θετικοί ακέραιοι.
S.E.Louridas
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Re: Διαγωνισμός Αρχιμήδης 2011 - Των φρονίμων τα παιδιά...!
Ωραία αυτή αλλά μάλλον εύκολη ! Από AM-GM έχουμε καιsocrates έγραψε: 34.
Αν μη-αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί, να δείξετε ότι
Πότε ισχύει η ισότητα;
. Προσθέτοντας αυτές και 3a έχουμε τη ζητούμενη.
Σιλουανός Μπραζιτίκος
Re: Διαγωνισμός Αρχιμήδης 2011 - Των φρονίμων τα παιδιά...!
Με την επιφύλαξη για λάθος στους υπολογισμούς. Έστω οι πλευρές του τριγώνου. Τότε ικανή και αναγκαία συνθήκη για να σχηματίζουν τρίγωνο (και αφού m μεγαλύτερος) είναι η σχέσηS.E.Louridas έγραψε:35.
'' Να βρεθεί το πλήθος των ΑΚΕΡΑΙΩΝ* ΣΚΑΛΗΝΩΝ τριγώνων με μεγαλύτερη πλευρά m,όπου m θετικός ακέραιος αριθμός ''.
(*) Ακέραιο τρίγωνο είναι το τρίγωνο που τα μήκη τών πλευρών του είναι θετικοί ακέραιοι.
S.E.Louridas
και αφού μιλάμε για ακέραιους . Ας σταθεροποίησουμε το s.
Τότε πρέπει . Άρα έχουμε s-1 τιμές για το k. Επομένως αν αφήσουμε το s να τρέξει από 1 μέχρι m-1, θα έχουμε συνολικά τρίγωνα. Αυτά είναι όλα τα τρίγωνα.
Πρέπει να αφαιρέσουμε τώρα και τα ισοσκελή. Αν είναι ισοσκελές τότε πρέπει
Δηλαδή ο συνολικός αριθμός των τριγώνων είναι (επειδή κάθε τρίγωνο το μετράμε δύο φορές μία για το k και μια για το s)
Ο τύπος μπορεί να απλοποιηθεί αν πάρουμε τις περιπτώσεις για άρτιο και περιττό m.
τελευταία επεξεργασία από silouan σε Παρ Φεβ 04, 2011 6:40 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Σιλουανός Μπραζιτίκος
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5948
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: Διαγωνισμός Αρχιμήδης 2011 - Των φρονίμων τα παιδιά...!
36.
Να χαρακτηριστεί ο συλλογισμός που ακολουθεί, χρησιμοποιώντας έναν από τους χαρακτηρισμούς ΑΛΗΘΗΣ ή ΨΕΥΔΗΣ, αιτιολογώντας πλήρως την απάντηση σας:
« Θεωρούμε ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς 3. Τότε υπάρχει εσωτερικό σημείο του ισόπλευρου τριγώνου που δεν ανήκει σε ευθύγραμμο τμήμα μήκους 2 και που τα άκρα του ευθυγράμμου αυτού τμήματος είναι σημεία του σχήματος του ισόπλευρου τριγώνου πού θεωρήσαμε ».
* Ενα ερώτημα: Τι θα ίσχυε αν αντί γιά ευθύγραμμο τμήμα μήκους 2, μιλούσαμε γιά ευθύγραμμο τμήμα μήκους 2-ε, όταν ε ανήκει στο διάστημα και όταν n είναι τυχόν θετικός ακέραιος αριθμός;
S.E.Louridas
Να χαρακτηριστεί ο συλλογισμός που ακολουθεί, χρησιμοποιώντας έναν από τους χαρακτηρισμούς ΑΛΗΘΗΣ ή ΨΕΥΔΗΣ, αιτιολογώντας πλήρως την απάντηση σας:
« Θεωρούμε ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς 3. Τότε υπάρχει εσωτερικό σημείο του ισόπλευρου τριγώνου που δεν ανήκει σε ευθύγραμμο τμήμα μήκους 2 και που τα άκρα του ευθυγράμμου αυτού τμήματος είναι σημεία του σχήματος του ισόπλευρου τριγώνου πού θεωρήσαμε ».
* Ενα ερώτημα: Τι θα ίσχυε αν αντί γιά ευθύγραμμο τμήμα μήκους 2, μιλούσαμε γιά ευθύγραμμο τμήμα μήκους 2-ε, όταν ε ανήκει στο διάστημα και όταν n είναι τυχόν θετικός ακέραιος αριθμός;
S.E.Louridas
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Διαγωνισμός Αρχιμήδης 2011 - Των φρονίμων τα παιδιά...!
Σιλουανέ νομίζω βρήκες τα διπλάσια. (Μέτρησες κάθε ένα δυο φορές.)smar έγραψε:Με την επιφύλαξη για λάθος στους υπολογισμούς. Έστω οι πλευρές του τριγώνου. Τότε ικανή και αναγκαία συνθήκη για να σχηματίζουν τρίγωνο (και αφού m μεγαλύτερος) είναι η σχέσηS.E.Louridas έγραψε:35.
'' Να βρεθεί το πλήθος των ΑΚΕΡΑΙΩΝ* ΣΚΑΛΗΝΩΝ τριγώνων με μεγαλύτερη πλευρά m,όπου m θετικός ακέραιος αριθμός ''.
(*) Ακέραιο τρίγωνο είναι το τρίγωνο που τα μήκη τών πλευρών του είναι θετικοί ακέραιοι.
S.E.Louridas
και αφού μιλάμε για ακέραιους . Ας σταθεροποίησουμε το s.
Τότε πρέπει . Άρα έχουμε s-1 τιμές για το k. Επομένως αν αφήσουμε το s να τρέξει από 1 μέχρι m-1, θα έχουμε συνολικά τρίγωνα. Αυτά είναι όλα τα τρίγωνα.
Πρέπει να αφαιρέσουμε τώρα και τα ισοσκελή. Αν είναι ισοσκελές τότε πρέπει
Δηλαδή ο συνολικός αριθμός των τριγώνων είναι
Ο τύπος μπορεί να απλοποιηθεί αν πάρουμε τις περιπτώσεις για άρτιο και περιττό m.
Λίγο διαφορετικά:
Θέλουμε να βρούμε τον αριθμό όλων των ζευγών με
(α) ακέραιοι με
(β)
(γ)
Ο αριθμός αυτός είναι το 1/4 του αριθμού όλων των ζευγών που ικανοποιούν τα (α)
(β') .
(γ')
Αυτό επειδή κάθε ζεύγος που ικανοποιεί τα (α),(β),(γ) αντιστοιχεί σε 4 ζεύγη που ικανοποιούν τα (α),(β') και (γ') τα και .
Για να υπολογίσουμε το Β παρατηρούμε ότι υπάρχουν ζεύγη που ικανοποιούν το (α), ζεύγη που δεν ικανοποιούν το (β') και ζεύγη που δεν ικανοποιούν την (γ'). Τέλος, στην περίπτωση που ο είναι άρτιος υπάρχει ένα ζεύγος που δεν ικανοποιεί ούτε την (β') ούτε την (γ')
Άρα αν είναι περιττός και αν ο είναι άρτιος. Επομένως o ζητούμενος αριθμός ισούται με
Είχα βάλει μια παρόμοια άσκηση εδώ, αλλά έμεινε αναπάντητη.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Διαγωνισμός Αρχιμήδης 2011 - Των φρονίμων τα παιδιά...!
Έστω . Τότε το ικανοποιεί την αναδρομική ακολουθία με και . Αυτό μπορούμε να το αποδείξουμε είτε επαγωγικά είτε λύνοντας την αναδρομική ακολουθία.socrates έγραψε:33.
Να δείξετε ότι ο αριθμός διαιρείται με το .
Διαιρείται με το ;
Επειδή , τότε .
Μπορούμε τώρα εύκολα να δείξουμε επαγωγικά ότι αλλά για κάθε .
---------------------------
Πως οδηγηθήκαμε στην αναδρομική ακολουθία που είναι το κλειδί για την λύση της άσκησης;
Χρησιμοποιήσαμε γνωστό θεώρημα που λέει ότι για με , οι λύσεις της αναδρομικής ακολουθία είναι της μορφής για κάποιες σταθερές .
Να προσθέσουμε ότι οι λύσεις της αναδρομικής ακολουθίας είναι της μορφής για κάποιες σταθερές .
Re: Διαγωνισμός Αρχιμήδης 2011 - Των φρονίμων τα παιδιά...!
37
Αν a,b,c θετικοί πραγματικοί αριθμοί, να αποδειχτεί ότι
(Λόγω... σκουριάς δεν μπορώ να εκτιμήσω την δυσκολία της και δεν γνωρίζω πόσο γνωστή είναι. Αν είναι κοινότυπη, ας την διαγράψουμε)
Αν a,b,c θετικοί πραγματικοί αριθμοί, να αποδειχτεί ότι
(Λόγω... σκουριάς δεν μπορώ να εκτιμήσω την δυσκολία της και δεν γνωρίζω πόσο γνωστή είναι. Αν είναι κοινότυπη, ας την διαγράψουμε)
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: Διαγωνισμός Αρχιμήδης 2011 - Των φρονίμων τα παιδιά...!
Όμορφη...rek2 έγραψε:37
Αν a,b,c θετικοί πραγματικοί αριθμοί, να αποδειχτεί ότι
Από την αρχή της περιστεροφωλιάς, δύο τουλάχιστον θα είναι μεγαλύτεροι ή ίσοι ή μικρότεροι ή ίσοι του 1.
Έστω οι .
Τότε ή .
Αρκεί, λοιπόν, να δείξουμε
ή
.
Θέτουμε και έχουμε
.
Μένει , που ισχύει αφού έχει .
Ισότητα ανν .
Θανάσης Κοντογεώργης
Re: Διαγωνισμός Αρχιμήδης 2011 - Των φρονίμων τα παιδιά...!
Μία που άρεσε...
38.
Για τους θετικούς x, y, z να αποδειχτεί ότι
με την ισότητα για x=y=z=2 και για x=y=z=1
Πήρα θάρρος από την λύση του socrates στο θέμα 37! Πάλι δεν μπορώ να εκτιμήσω την δυσκολία και δεν γνωρίζω πόσο γνωστή είναι. Ζητάω προκαταβολικά συγνώμη, αν δεν προσφέρει κάτι καλό η άσκηση αυτή.
38.
Για τους θετικούς x, y, z να αποδειχτεί ότι
με την ισότητα για x=y=z=2 και για x=y=z=1
Πήρα θάρρος από την λύση του socrates στο θέμα 37! Πάλι δεν μπορώ να εκτιμήσω την δυσκολία και δεν γνωρίζω πόσο γνωστή είναι. Ζητάω προκαταβολικά συγνώμη, αν δεν προσφέρει κάτι καλό η άσκηση αυτή.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: Διαγωνισμός Αρχιμήδης 2011 - Των φρονίμων τα παιδιά...!
Ας βάλω και τη λύση μου αφού είναι διαφορετική από την πολύ ωραία του s.kapsocrates έγραψε:23.
Έστω ένας πραγματικός αριθμός τέτοιος ώστε , για κάθε μη αρνητικό ακέραιο .
Να δείξετε ότι ο είναι ακέραιος.
Κάθε τέτοιο διάστημα περιέχει έναν ακριβώς ακέραιο, έστω .
Τότε
,
οπότε .
Έτσι,
ή με συνέπεια .
Ένα Hint...socrates έγραψε:13.
Να βρείτε όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων τέτοια ώστε ο αριθμός να είναι ακέραιος.
Θανάσης Κοντογεώργης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: Διαγωνισμός Αρχιμήδης 2011 - Των φρονίμων τα παιδιά...!
39.
Έστω ένας (θετικός) πρώτος αριθμός.
Να δείξετε ότι κάθε θετικός ακέραιος έχει πολλαπλάσιο της μορφής , όπου .
40.
Έστω ένα πεπερασμένο σύνολο με στοιχεία θετικούς αριθμούς.
Αν ανάμεσα σε τρία οποιαδήποτε στοιχεία του υπάρχουν δύο, τέτοια ώστε το γινόμενό τους να ανήκει στο ,
να προσδιορίσετε το μέγιστο πλήθος στοιχείων του .
41.
Να βρείτε το μέγιστο κοινό διαιρέτη των αριθμών ,
όπου.
42.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις τέτοιες ώστε και , για κάθε .
43.
Ποιοι θετικοί ακέραιοι γράφονται ως άθροισμα (δύο τουλάχιστον) διαδοχικών θετικών ακεραίων;
Έστω ένας (θετικός) πρώτος αριθμός.
Να δείξετε ότι κάθε θετικός ακέραιος έχει πολλαπλάσιο της μορφής , όπου .
40.
Έστω ένα πεπερασμένο σύνολο με στοιχεία θετικούς αριθμούς.
Αν ανάμεσα σε τρία οποιαδήποτε στοιχεία του υπάρχουν δύο, τέτοια ώστε το γινόμενό τους να ανήκει στο ,
να προσδιορίσετε το μέγιστο πλήθος στοιχείων του .
41.
Να βρείτε το μέγιστο κοινό διαιρέτη των αριθμών ,
όπου.
42.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις τέτοιες ώστε και , για κάθε .
43.
Ποιοι θετικοί ακέραιοι γράφονται ως άθροισμα (δύο τουλάχιστον) διαδοχικών θετικών ακεραίων;
Θανάσης Κοντογεώργης
Re: Διαγωνισμός Αρχιμήδης 2011 - Των φρονίμων τα παιδιά...!
Για x=1 παίρνουμε (1), άρα .socrates έγραψε:42.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις τέτοιες ώστε και , για κάθε .
Για y=0 παίρνουμε .
Για y=1/x με x διάφορο του μηδέν, τώρα, έχουμε , άρα f(x)=x.
Συνολικά έχουμε δηλαδή f(x)=x για κάθε x, η οποία εύκολα βλέπουμε ότι επαληθεύει την αρχική.
Ευχαριστούμε socrates για τις ωραίες ασκήσεις
Re: Διαγωνισμός Αρχιμήδης 2011 - Των φρονίμων τα παιδιά...!
Έστωsocrates έγραψε:39.
Έστω ένας (θετικός) πρώτος αριθμός.
Να δείξετε ότι κάθε θετικός ακέραιος έχει πολλαπλάσιο της μορφής , όπου .
Τότε θέλουμε ώστε:
και
Αν επιλέξουμε για πολύ μεγάλο,
τότε το 2ο εξασφαλίζεται λόγο του ότι το είναι συγκεκριμένο,
ενώ το 1ο εξασφαλίζεται διότι απο θ. euler:
Κολλιοπουλος Νικος.
Μεταδιδακτορικός ερευνητής.
Ερευνητικά ενδιαφέροντα: Στοχαστικές ΜΔΕ, ασυμπτωτική ανάλυση στοχαστικών συστημάτων, εφαρμογές αυτών στα χρηματοοικονομικά και στη διαχείριση ρίσκων.
Μεταδιδακτορικός ερευνητής.
Ερευνητικά ενδιαφέροντα: Στοχαστικές ΜΔΕ, ασυμπτωτική ανάλυση στοχαστικών συστημάτων, εφαρμογές αυτών στα χρηματοοικονομικά και στη διαχείριση ρίσκων.
Re: Διαγωνισμός Αρχιμήδης 2011 - Των φρονίμων τα παιδιά...!
Έστω ότι υπάρχουν τουλάχιστον 4 στοιχεία μεγαλύτερα του 1. Παίρνουμε τα 4 μεγαλύτερα από αυτά, έστω . Επειδή και , πρέπει το να βρίσκεται μέσα στο , όμως , άρα . Παίρνοντας τώρα την τριάδα και επειδή και , έχουμε πως , δηλαδή , το οποίο είναι άτοπο. Άρα υπάρχουν το πολύ 3 στοιχεία μεγαλύτερα του 1 στο .socrates έγραψε:40.
Έστω ένα πεπερασμένο σύνολο με στοιχεία θετικούς αριθμούς.
Αν ανάμεσα σε τρία οποιαδήποτε στοιχεία του υπάρχουν δύο, τέτοια ώστε το γινόμενό τους να ανήκει στο ,
να προσδιορίσετε το μέγιστο πλήθος στοιχείων του .
Με τον ίδιο τρόπο, υπάρχουν το πολύ 3 στοιχεία μικρότερα του 1 στο . Επίσης βλέπουμε ότι το 1 μπορεί να βρίσκεται στο χωρίς να επηρεάζει κάτι.
Συμπεραίνουμε έτσι, ότι το δεν μπορεί να έχει πάνω από στοιχεία. Tο προφανώς ικανοποιεί τις συνθήκες, άρα το μέγιστο πλήθος στοιχείων του είναι .
Re: Διαγωνισμός Αρχιμήδης 2011 - Των φρονίμων τα παιδιά...!
Βλέπουμε ότι , άρα οι πρώτοι διαιρέτες του ΜΚΔ θα είναι κάποιοι από τους 2,3,5,7,11.socrates έγραψε:41.
Να βρείτε το μέγιστο κοινό διαιρέτη των αριθμών ,
όπου.
Αν p ένας από αυτούς, θα αποδείξουμε ότι κάθε ένας από τους διαιρείται με αυτόν. Έστω ότι δεν ισχύει για καποιο . Τότε προφανώς ο p δεν διαιρεί τον n, και άρα, αν , δύο διαφορετικοί παράγοντες του , . Δηλαδή οι αριθμοί έχουν διαφορετικά υπόλοιπα mod p. Επίσης θεωρούμε πως όλοι αυτοί οι αριθμοί έχουν διαφορετικά υπόλοιπα modp με τον n, γιατι σε διαφορετική περίπτωση , δηλαδή ισχύει το ζητούμενο. Άρα οι έχουν διαφορετικά υπόλοιπα modp, όμως αυτοί είναι p αριθμοί, άρα τουλάχιστον ένας θα διαιρείται με το p.
Επίσης, βλέπουμε ότι ο διαιρείται ακριβώς μία φορά με τον p.
Άρα καταλήγουμε στο ότι .
Ελπίζω να μη μου έχει ξεφύγει κάτι.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: Διαγωνισμός Αρχιμήδης 2011 - Των φρονίμων τα παιδιά...!
44.
Αν θετικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε , να δείξετε ότι
45.
Να λυθούν στους φυσικούς αριθμούς οι εξισώσεις:
46.
Αν οι τρεις ρίζες του πολυωνύμου ,
να βρεθεί η τιμή της παράστασης
Αν θετικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε , να δείξετε ότι
45.
Να λυθούν στους φυσικούς αριθμούς οι εξισώσεις:
46.
Αν οι τρεις ρίζες του πολυωνύμου ,
να βρεθεί η τιμή της παράστασης
Θανάσης Κοντογεώργης
-
- Δημοσιεύσεις: 1055
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 11, 2010 2:12 pm
Re: Διαγωνισμός Αρχιμήδης 2011 - Των φρονίμων τα παιδιά...!
46. Θετουμε
Aπό τους τύπους Vieta θα έχουμε . Άρα και
Επίσης και .
Επίσης και .
Άρα .
Άρα έχουμε το σύστημα: και έτσι . Επειδή όμως .
Έτσι λοιπόν
Aπό τους τύπους Vieta θα έχουμε . Άρα και
Επίσης και .
Επίσης και .
Άρα .
Άρα έχουμε το σύστημα: και έτσι . Επειδή όμως .
Έτσι λοιπόν
Re: Διαγωνισμός Αρχιμήδης 2011 - Των φρονίμων τα παιδιά...!
Για την 44:
Επειδή ,θα είναι:
και .
Oπότε η ανισότητα γράφεται:
.
Θέτω ,και θα είναι
,με
Η ανισότητα γράφεται:
,που λόγω της (1) θα γίνει:
,που ισχύει.
Iσότητα για
Επειδή ,θα είναι:
και .
Oπότε η ανισότητα γράφεται:
.
Θέτω ,και θα είναι
,με
Η ανισότητα γράφεται:
,που λόγω της (1) θα γίνει:
,που ισχύει.
Iσότητα για
Κώστας
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 10 επισκέπτες