Σύνολο με πολλούς άσσους

#1

Να βρεθεί το πλήθος των αριθμών του συνόλου $A=\left\{1,11,111,1111,...,11...1 \right\}$ (ο τελευταίος αριθμός αποτελείται από 1995 ψηφία)

οι οποίοι είναι πολλαπλάσια του

(Θαλής Γ΄ Γυμνασίου 1995)

#2

Βγαίνει και με πράξεις mod 7 αλλά ας δούμε μια λίγο διαφορετική λύση. Ας γράψουμε x_k

για τον αριθμό $11\ldots1$ ο οποίος περιέχει ακριβώς

άσσους. Παρατηρούμε ότι οι $x_1,x_2,\ldots,x_5$ δεν διαιρούνται με τον 7 ενώ ο x_6

διαιρείται. Επίσης έχουμε $x_{k+6} = x_6 \cdot 10^{k} + x_{k}$ επομένως ο x_k

διαιρείται με το 7 αν και μόνο αν ο $x_{k+6}$ διαιρείται με το 7.

Άρα οι μόνοι αριθμοί που διαιρούνται με το 7 είναι οι $x_6,x_{12},x_{18},\ldots$ και έχουμε ακριβώς [1995/6] = 332

τέτοιους αριθμούς.

spiros filippas · #3

Αλλιώς...

Θέλουμε: 111...1

(k φορές) $=10^k-1/9\equiv0 mod7\Leftrightarrow10^k\equiv1mod7$

Το οποίο ισχύει μόνον για $k=6m~,m\in Z$ , αφού αν υποθέσουμε ότι $k\equiv u\neq0mod6$ θα πάρουμε

$10^k=10^{6m}\times 10^u\equiv 1(mod7)\Rightarrow 10^u\equiv 1(mod7)$ , άτοπο αφού $u\in \left\{1,2,3,4,5 \right\}$

#4

Δημήτρη και Σπύρο σας ευχαριστώ πολύ! Ας γράψω μια λύση που ουσιαστικά είναι η λύση του Δημήτρη, σε μια γλώσσα οικεία σε μικρούς μαθητές.

Ας εκτελέσουμε μερικές ευκλείδειες διαιρέσεις των πιο μικρών αριθμών του συνόλου με το

Θα προκύψουν οι ισότητες

$1=0\cdot 7+1$
$11=1\cdot 7+4$
$111=15\cdot 7+6$
$1111=158\cdot 7+5$
$11111=1587\cdot 7+2$

Aν εκτελέσουμε την ευκλείδεια διαίρεση 111111:7

θα προκύψει

$\begin{tabular}{r|l}111111 & 7 \\ \cline{2-2}41\;\;\;\;\;\; & 15873 \\61\;\;\;\; & \\51\;\;&\\21&\\0&\\\end{tabular}$

Στην αμέσως επόμενη διαίρεση θα κατεβάσουμε άλλον ένα άσσο, οπότε θα πάρουμε ως υπόλοιπο το

, δηλαδή το υπόλοιπο που πήραμε και στην πρώτη διαίρεση. Στη μεθεπόμενη διαίρεση θα πάρουμε το υπόλοιπο της δεύτερης διαίρεσης και τα λοιπά.

Άρα τα υπόλοιπα που προκύπτουν είναι 1,4,6,5,2,0

και μετά αυτό το μοτίβο επαναλαμβάνεται απαράλλαχτα.

Σε κάθε έξι διαδοχικές διαιρέσεις μόνο μία είναι τέλεια. Σχηματίζονται 332

εξάδες ως το 1995.

Θα προκύψουν ακριβώς 332

τέλειες διαιρέσεις.

#5

H άσκηση λύνεται εύκολα με το κριτήριο διαιρετότητας του

που συζητήθηκε εδώ.

Το αφήνω ως άσκηση για τους μαθητές μας, αλλά στην παραπάνω παραπομπή έχω βάλει μικρή υπόδειξη.

Μ.

Σύνολο με πολλούς άσσους

Σύνολο με πολλούς άσσους

Re: Σύνολο με πολλούς άσσους

Re: Σύνολο με πολλούς άσσους

Re: Σύνολο με πολλούς άσσους

Re: Σύνολο με πολλούς άσσους

Μέλη σε σύνδεση