ΘΑΛΗΣ 1996 - B ΓΥΜΝΑΣΙΟY

#1

ΘΕΜΑ 1. Έστω οι αριθμοί $\displaystyle{a , b}$ με $\displaystyle{\frac{1}{2}a+2,5b+1,5a-\frac{1}{2}b=-6}$ . Να βρεθεί η τιμή της παράστασης:

$\displaystyle{A=\frac{114-3(a-b)-2(a-2b)-5+3[5a-(-b+1)]}{-2(2a-b)-4(3b-1)-2(-2a-5b)}}$

ΘΕΜΑ 2. Κάποιος μαθητής έβαλε στο νου του πέντε αριθμούς διαφορετικούς μεταξύ τους ακεραίους, θετικούς και αρνητικούς , που το γινόμενό τους ήταν $\displaystyle{20}$ . Να βρεθούν οι διαφορετικοί αυτοί ακέραιοι.

ΘΕΜΑ 3. Στην ημιευθεία $\displaystyle{Oe}$ θεωρούμε σημεία $\displaystyle{A, B, C}$ ώστε $\displaystyle{(OA)=2m , (OB)=6m , (OC)=12m .}$ . Έστω
$\displaystyle{D , E , Z}$ τα μέσα των $\displaystyle{AB , BC , CA}$ αντιστοίχως.
Να υπολογίσεττε τα $\displaystyle{(DZ) , (EC)}$ . Τι παρατηρείτε;

ΘΕΜΑ 4. Ένα τετράγωνο λέγεται "μαγικό" όταν το άθροισμα των αριθμών σε κάθε οριζόντια γραμμή είναι ίσο με το άθροισμα των αριθμών σε κάθε στήλη και επίσης ίση με το άθροισμα των αριθμών σε κάθε μία από τις δύο διαγώνιες.
Σε κάποιο μαγικό τετράγωνο που έχει τρεις γραμμές και τρεις στήλες, οι αριθμοί έσβησαν και έμειναν μόνο το $\displaystyle{7}$ στην πρώτη γραμμή και τρίτη στήλη και το $\displaystyle{13}$ στην δεύτερη γραμμή και πρώτη στήλη. Να δειχθεί ότι απαραιτήτως σε κάποια θέση του μαγικού αυτού τετραγώνου, υπάχει ο αριθμός $\displaystyle{1}$ , ανεξάρτητα από τα ποια είναι τα υπόλοιπα νούμερά του.

K.alexander7 · #2

ΘΕΜΑ 2: Κάποιος μαθητής έβαλε στο νου του πέντε αριθμούς διαφορετικούς μεταξύ τους ακεραίους, θετικούς και αρνητικούς , που το γινόμενό τους ήταν 20. Να βρεθούν οι διαφορετικοί αυτοί ακέραιοι.
Αναλύωντας το 20 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων βρίσκουμε οτι 20=1*2*2*5. Άρα πρέπει να επιλέξουμε 5 μεταξύ των αριθμών 1,-1,2,-2,5,-5. Ο αριθμός που δεν θα επιλέξουμε είναι ένας εκ των 5,-5 γιατί η απόλυτη τιμή του γινομένου τους είναι μεγαλύτερη του 25. Παίρνωντας λοιπόν τους υπόλοιπους 4 βλέπουμε ότι έχουν γινόμενο ίσο με 4. Άρα ο αριθμός που μας λοίπει είναι ο 5. Άρα οι διαφορετικοί ζητούμενοι ακέραιοι είναι οι 1,-1,2,-2,5.

K.alexander7 · #3

ΘΕΜΑ 3: Έχουμε: AB=OB-OA=6-2=4m
BC=OC-OB=12-6=6m
AC=OC-OA=10m
Ακόμα: AZ=AC/2=5m
AD=AB/2=3/2=1,5m
AZ=AD+DZ

Άρα: DZ=AZ-AD=5-1,5=3,5m
EC=BC/2=6/2=3m

K.alexander7 · #4

ΘΕΜΑ 1: Από την πρώτη σχέση έχουμε: (1/2)a+(3/2)a+(5/2)b-(1/2)b=-6
2a+2b=-6
a+b=-3
Στη δεύτερη παράσταση μετά απο επιμεριστικές και αναγωγές ομοίων όρων καταλήγουμε στην παράσταση Α=(106+10a+10b)/4=[106+10(a+b)]/4=(106-30)/4=76/4=19

freyia · #5

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΘΕΜΑ 4. Ένα τετράγωνο λέγεται "μαγικό" όταν το άθροισμα των αριθμών σε κάθε οριζόντια γραμμή είναι ίσο με το άθροισμα των αριθμών σε κάθε στήλη και επίσης ίση με το άθροισμα των αριθμών σε κάθε μία από τις δύο διαγώνιες.
Σε κάποιο μαγικό τετράγωνο που έχει τρεις γραμμές και τρεις στήλες, οι αριθμοί έσβησαν και έμειναν μόνο το $\displaystyle{7}$ στην πρώτη γραμμή και τρίτη στήλη και το $\displaystyle{13}$ στην δεύτερη γραμμή και πρώτη στήλη. Να δειχθεί ότι απαραιτήτως σε κάποια θέση του μαγικού αυτού τετραγώνου, υπάχει ο αριθμός $\displaystyle{1}$ , ανεξάρτητα από τα ποια είναι τα υπόλοιπα νούμερά του.

Ονομάζω κατά σειρά τα κουτάκια στο μαγικό τετράγωνο με τα γράμματα:

$\displaystyle{x,y,7}$
$\displaystyle{13,\omega,\varphi}$
$\displaystyle{a,b,\gamma}$
΄
Επομένως έχουμε σύμφωνα με την εκφώνιση ότι:

$\displaystyle{x+\omega+7=k , x+a+13=k}$ Αφαιρώ κατά μέλη και παίρνω $\displaystyle{x-\omega=-6}$ , (1)

Πάλι από την εκφώνιση 'εχουμε ότι: $\displaystyle{x+\omega+\gamma=k}$ και εξαιτίας της (1) με πρόσθεση και αφαίρεση κατά μέλη βρίσκω

$\displaystyle{\omega =\frac{k-\gamma +6}{2}}$ , (2)

$\displaystyle{x=\frac{k-\gamma -6}{2}}$ , (3)

Πάλι από την εκφώνιση έχουμε ότι $\displaystyle{x+y+7=-k}$ και από την (3) βρίσκουμε ότι $\displaystyle{y=\frac{k+\gamma -8}{2}}$ , (4)

Τέλος από την εκφώνιση έχουμε ότι $\displaystyle{y+\omega+b=k}$ και από τις (2) και (4) βρίσκουμε ότι

$\displaystyle{b=k-y-\omega=...=1}$

parmenides51 · #6

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΘΕΜΑ 3. Στην ημιευθεία $\displaystyle{Ox}$ θεωρούμε σημεία $\displaystyle{A, B,C}$ ώστε $\displaystyle{(OA)=2m , (OB)=6m , (OC)=12m .}$ . Έστω
$\displaystyle{D, E , Z}$ τα μέσα των $\displaystyle{AB , BC,C A}$ αντιστοίχως.
Να υπολογίσεττε τα $\displaystyle{(DZ) , (EC)}$ . Τι παρατηρείτε;

: ΘΑΛΗΣ 1996 -3o.png (32.52 KiB) Προβλήθηκε 2183 φορές

K.alexander7 έγραψε:Έχουμε: $\displaystyle{AB=OB-OA=6-2=4m}$
$\displaystyle{BC}=OC-OB=12-6=6m}$
$\displaystyle{AC}=OC-OA=12-2=10m}$
Ακόμα: $\displaystyle{AZ=\frac{AC}{2}=\frac{10}{2}=5m}$
$\displaystyle{AD=\frac{AB}{2}=\frac{4}{2}=2m }$
$\displaystyle{AZ=AD+DZ}$

Άρα: $\displaystyle{DZ=AZ-AD=5-2=3m}$
$\displaystyle{EC=\frac{AC}{2}=\frac{6}{2}=3m}$

Παρατηρούμε ότι $\displaystyle{(D Z) = (EC)}$

Προσθήκη σχήματος , χρήση $\displaystyle{\LaTeX}$ και διόρθωση αριθμητικών λαθών στην δοθείσα λύση

parmenides51 · #7

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΘΕΜΑ 2. Κάποιος μαθητής έβαλε στο νου του πέντε αριθμούς διαφορετικούς μεταξύ τους ακεραίους, θετικούς και αρνητικούς , που το γινόμενό τους ήταν $\displaystyle{20}$ . Να βρεθούν οι διαφορετικοί αυτοί ακέραιοι.

K.alexander7 έγραψε: Αναλύωντας το $\displaystyle{20}$ σε γινόμενο πρώτων παραγόντων βρίσκουμε οτι $\displaystyle{20=1\cdot2\cdot2\cdot5}$ . Άρα πρέπει να επιλέξουμε $\displaystyle{5}$ μεταξύ των αριθμών $\displaystyle{1,-1,2,-2,5,-5}$ . Ο αριθμός που δεν θα επιλέξουμε είναι ένας εκ των $\displaystyle{5,-5}$ γιατί η απόλυτη τιμή του γινομένου τους είναι μεγαλύτερη του $\displaystyle{25}$ . Παίρνωντας λοιπόν τους υπόλοιπους $\displaystyle{4}$ βλέπουμε ότι έχουν γινόμενο ίσο με $\displaystyle{4}$ . Άρα ο αριθμός που μας λείπει είναι ο $\displaystyle{5}$ . Άρα οι διαφορετικοί ζητούμενοι ακέραιοι είναι οι $\displaystyle{1,-1,2,-2,5}$ .

Η παραπάνω λύση είναι ελλιπής γιατί δεν εξηγεί πως απορρίπτονται οι αριθμοί $\displaystyle{\pm 4,\pm 10,\pm 20}$
Ας συμπληρώσω την λύση για να είναι πλήρης:

Οι διαιρέτες του $\displaystyle{20}$ είναι οι αριθμοί $\displaystyle{\pm 1,\pm 2,\pm 4, \pm 5, \pm 10,\pm 20}$

Έστω πως ο ένας αριθμός είναι το $\displaystyle{20}$ . Αφού $\displaystyle{20=1\cdot20}$ ο μόνος άλλος δυνατός ακέραιος είναι το $\displaystyle{1}$ , απορρίπτεται γιατί αναζητούμε $\displaystyle{5}$ συνολικά.

Ομοίως απορρίπτεται η περίπτωση ο ένας αριθμός να είναι το $\displaystyle{-20}$ .

Έστω πως ο ένας αριθμός είναι το $\displaystyle{10}$ . Αφού $\displaystyle{20=2\cdot 10=1\cdot2 \cdot10=-1\cdot(-2 )\cdot10}$ ,
οι μόνοι άλλοι δυνατοί αριθμοί είναι οι $\displaystyle{-1,-2}$ και $\displaystyle{1,2}$ οι οποίοι απορρίπτονται γιατί ψάχνουμε πεντάδες κι όχι τριάδες.

Ομοίως απορρίπτεται η περίπτωση ο ένας αριθμός να είναι το $\displaystyle{-10}$ .

Έστω πως ο ένας αριθμός είναι το $\displaystyle{4}$ . Αφού $\displaystyle{20=5\cdot 4=1\cdot5 \cdot4=-1\cdot(-5 )\cdot 4}$ ,
οι μόνοι άλλοι δυνατοί αριθμοί είναι οι $\displaystyle{-1,-5}$ και $\displaystyle{1,5}$ οι οποίοι απορρίπτονται γιατί ψάχνουμε πεντάδες κι όχι τριάδες.

Ομοίως απορρίπτεται η περίπτωση ο ένας αριθμός να είναι το $\displaystyle{-4}$ .

parmenides51 · #8

Ας γράψω μια πιο αναλυτική λύση για τους μικρούς μας φίλους

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΘΕΜΑ 1. Έστω οι αριθμοί $\displaystyle{a , b}$ με $\displaystyle{\frac{1}{2}a+2,5b+1,5a-\frac{1}{2}b=-6}$ . Να βρεθεί η τιμή της παράστασης:

$\displaystyle{A=\frac{114-3(a-b)-2(a-2b)-5+3[5a-(-b+1)]}{-2(2a-b)-4(3b-1)-2(-2a-5b)}}$

$\displaystyle{\frac{1}{2}a+2,5b+1,5a-\frac{1}{2}b=-6}$
$\displaystyle{0,5a+2,5b+1,5a-0,5b=-6}$
$\displaystyle{0,5a+1,5a+2,5b-0,5b=-6}$
$\displaystyle{2a+2b=-6}$
$\displaystyle{2(a+b)=-6}$
$\displaystyle{a+b=-6:2}$
$\displaystyle{a+b=-3}$

Διαφορετικά $\displaystyle{2a+2b=-6\Leftrightarrow \frac{2a}{2}+\frac{2b}{2}=\frac{-6}{2}}$ $\displaystyle{\Leftrightarrow a+b=-3}$

$\displaystyle{A=\frac{114-3(a-b)-2(a-2b)-5+3[5a-(-b+1)]}{-2(2a-b)-4(3b-1)-2(-2a-5b)}}$

$\displaystyle{A=\frac{114-3(a-b)-2(a-2b)-5+3(5a+b-1)}{-4a+2b-12b+4+4a+10b}}$

$\displaystyle{A=\frac{114-3a+3b-2a+4b-5+15a+3b-3}{-4a+4a +2b-12b+10b+4}}$

$\displaystyle{A=\frac{-3a-2a+15a+3b+4b+3b+114-5-3}{2b+10b-12b+4}}$

$\displaystyle{A=\frac{-5a+15a+10b+114-8}{12b-12b+4}}$

$\displaystyle{A=\frac{10a+10b+106}{4}}$

$\displaystyle{A=\frac{10(a+b)+106}{4}}$

$\displaystyle{A=\frac{10(-3)+106}{4}}$

$\displaystyle{A=\frac{-30+106}{4}}$

$\displaystyle{A=\frac{76}{4}}$

$\displaystyle{A=19}$

ΘΑΛΗΣ 1996 - B ΓΥΜΝΑΣΙΟY

ΘΑΛΗΣ 1996 - B ΓΥΜΝΑΣΙΟY

Re: ΘΑΛΗΣ 1996 - B ΓΥΜΝΑΣΙΟY

Re: ΘΑΛΗΣ 1996 - B ΓΥΜΝΑΣΙΟY

Re: ΘΑΛΗΣ 1996 - B ΓΥΜΝΑΣΙΟY

Re: ΘΑΛΗΣ 1996 - B ΓΥΜΝΑΣΙΟY

Re: ΘΑΛΗΣ 1996 - B ΓΥΜΝΑΣΙΟY

Re: ΘΑΛΗΣ 1996 - B ΓΥΜΝΑΣΙΟY

Re: ΘΑΛΗΣ 1996 - B ΓΥΜΝΑΣΙΟY

Μέλη σε σύνδεση