ΤΕΛΙΚΟΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ 1995 - ΛΥΚΕΙΟ

#1

Τελικός εσωτερικός διαγωνισμός για την 37η ΔΜΟ 1996 (18/5/96)

Θέμα 1ο
Έστω S_n

το άθροισμα των

πρώτων, πρώτων αριθμών. Να αποδείξετε ότι μεταξύ των S_n

και $S_{n+1}$ υπάρχει ένα τουλάχιστον τέλειο τετράγωνο.

Θέμα 2ο
Έστω οξυγώνιο τρίγωνο ABC

εγγεγραμμένο σε κύκλο

και τα ύψη του AA_1, BB_1,CC_1

που τέμνονται στο

. Έστω ακόμα

η εφαπτομένη του

στο

και οι κάθετες BB_2,CC_2

στην

(τα

είναι σημεία της

). Να αποδείξετε ότι οι ευθείες B_1B_2,C_1C_2,AA_1

συντρέχουν.

Θέμα 3ο
α) Να προσδιορίσετε 4 ομάδες φυσικών αριθμών, που κάθε ομάδα περιέχει 4 αριθμούς, ώστε κάθε φυσικός αριθμός

( $0\leq n\leq 255$ ) να είναι άθροισμα 4 αριθμών, ενός από κάθε ομάδα.
β) Κάθε άτομο από μία ομάδα

ατόμων, συμπαθεί

άτομα από την ομάδα. Ποιά είναι η μεγαλύτερη τιμή του

για δοσμένο

, ώστε να υπάρχουν τουλάχιστον δύο άτομα στην ομάδα που συμπαθιούνται αμοιβαία;

Θέμα 4ο
Έστω πολυώνυμο $P_n(x)=x^n-a_{n-1}x^{n-1}-\cdots -a_1x-a_0$ με $n\geq 2$ , όπου $a_0,a_1,\ldots,a_{n-1}>0$ και $a_0+a_1+\cdots + a_{n-1}=1$ . Να προσδιορίσετε όλες τις ρίζες

του

με

καθώς και το βαθμό πολλαπλότητας κάθε τέτοιας ρίζας.

Αλέξανδρος

Grigoris K. · #2

cretanman έγραψε:
Θέμα 2ο
Έστω οξυγώνιο τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο και τα ύψη του που τέμνονται στο . Έστω ακόμα η εφαπτομένη του στο και οι κάθετες στην (τα είναι σημεία της ). Να αποδείξετε ότι οι ευθείες συντρέχουν.

Το εγγράψιμο $\displaystyle{ BB_2AB_1}$ δίνει $\displaystyle{ \widehat{AB_1B_2} = \widehat{B_2BA} = 90^o - \widehat{B_2AB} \mathop = \limits^{\chi o \rho \delta \eta \varsigma - \epsilon \phi \alpha \pi \tau o \mu \epsilon \nu \eta \varsigma} 90^o - \hat C = \widehat{HAB_1} }$ .

Άρα στο ορθογώνιο $\displaystyle{ \triangle AB_1H }$ η $\displaystyle{ B_1B_2 }$ διέρχεται από το μέσο (έστω $\displaystyle{ M }$ ) του

.

Ομοίως αποδεικνύουμε ότι η $\displaystyle{ C_1C_2 }$ διέρχεται εκ του $\displaystyle{ M }$ και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

#3

cretanman έγραψε: Θέμα 3ο
α) Να προσδιορίσετε 4 ομάδες φυσικών αριθμών, που κάθε ομάδα περιέχει 4 αριθμούς, ώστε κάθε φυσικός αριθμός ( $0\leq n\leq 255$ ) να είναι άθροισμα 4 αριθμών, ενός από κάθε ομάδα.
β) Κάθε άτομο από μία ομάδα ατόμων, συμπαθεί άτομα από την ομάδα. Ποιά είναι η μεγαλύτερη τιμή του για δοσμένο , ώστε να υπάρχουν τουλάχιστον δύο άτομα στην ομάδα που συμπαθιούνται αμοιβαία;

(α) Πιο γενικά αν ορίσουμε τις ομάδες $A_0,A_1,\ldots,A_{n-1}$ ως $A_i = \{0,n^i,2n^i,\ldots,(n-1)n^i\}$ τότε κάθε φυσικός στο διάστημα [0,n^n-1]

είναι άθροισμα

αριθμών, ενός από κάθε ομάδα. Πράγματι κάθε αριθμός σε αυτό το διάστημα μπορεί να γραφτεί με μοναδικό τρόπο (βάση

) ως $a_0 + a_1n + a_2n^2 + \cdots + a_{n-1}n^{n-1}$ με $a_0,\ldots,a_{n-1} \in \{0,1,\ldots,n-1\}$ . Τότε παίρνοντας $a_in^i \in A_i$ γράφεται σαν άθροισμα

αριθμών, ενός από κάθε ομάδα. Για n=4

έχουμε το ζητούμενο.

(β) Η μεγαλύτερη τιμή είναι n=2k

. Πράγματι αν n = 2k

τότε αφού κάθε ένας συμπαθεί άλλους

θα υπάρχει τουλάχιστον ένας, έστω ο

που συμπαθιέται από τουλάχιστον άλλους

. Έστω

το σύνολο των ατόμων που συμπαθεί ο

και

το σύνολο των ατόμων που συμπαθούν τον

. Έχουμε $|A| = k,|B| \geqslant k$ οπότε αν τα A,B

ήταν ξένα μεταξύ τους θα είχαμε τουλάχιστον $1+|A| + |B| \geqslant 2k+1 > n$ άτομα, άτοπο. Άρα $A \cap B \neq \emptyset$ . Αν λοιπόν $y \in A \cap B$ τότε έχουμε αμοιβαία συμπάθεια μεταξύ των

και

.

Από την άλλη αν n=2k+1

, έστω οι $x_1,\ldots,x_{2k+1}$ και ο x_i

συμπαθεί τους $x_{i+1},\ldots,x_{i+k}$ (η πρόσθεση γίνεται $\bmod 2k+1$ ) τότε οι συνθήκες ικανοποιούνται χωρίς να υπάρχουν δυο άτομα που να συμπαθιούνται αμοιβαία.

#4

cretanman έγραψε:Τελικός εσωτερικός διαγωνισμός για την 37η ΔΜΟ 1996 (18/5/96)

Θέμα 1ο
Έστω το άθροισμα των πρώτων, πρώτων αριθμών. Να αποδείξετε ότι μεταξύ των και $S_{n+1}$ υπάρχει ένα τουλάχιστον τέλειο τετράγωνο.

Αρκεί να δείξουμε ότι αν $S_n \geqslant k^2$ τότε $S_{n+1} > k^2 + 2k + 1$ . [Τότε παίρνοντας k_n

μέγιστο ώστε $S_n \geqslant k_n^2$ έχουμε $S_n < (k_n+1)^2 < S_{n+1}$ .] Aρκεί να δείξουμε ότι αν $S_n \geqslant k^2$ τότε $p_{n+1} > 2k+1$ . Για το τελευταίο αρκεί να δείξουμε ότι $(p_{n+1} - 1)^2 > 4S_n$ αφού τότε πράγματι θα έχουμε $p_{n+1} > \sqrt{4S_n} + 1 \geqslant 2k+1$ .

Το τελευταίο δυστυχώς δεν ισχύει για n = 1,2,3

. Οπότε ας το πάρουμε πάλι από την αρχή. Τα προηγούμενα μπορούμε να τα αγνοήσουμε αλλά τα αφήνω διότι βοηθούν καλύτερα στην κατανόηση.

Για n=1,2,3

είναι προφανές αφού S_1 = 2 < 2^2 < 5 = S_3 < 3^2 < 10 = S_4

. Για $n \geqslant 4$ αρκεί να δείξουμε ότι αν $S_n \geqslant k^2$ τότε $S_{n+1} > k^2 + 2k + 1$ . [Τότε παίρνοντας k_n

μέγιστο ώστε $S_n \geqslant k_n^2$ έχουμε $S_n < (k_n+1)^2 < S_{n+1}$ .] Aρκεί να δείξουμε ότι αν $S_n \geqslant k^2$ τότε $p_{n+1} > 2k+1$ . Για το τελευταίο αρκεί να δείξουμε ότι $(p_{n+1} - 1)^2 > 4S_n$ αφού τότε πράγματι θα έχουμε $p_{n+1} > \sqrt{4S_n} + 1 \geqslant 2k+1$ .

Για n=4

ο ισχυρισμός είναι σωστός αφού (p_5-1)^2 = 100 > 68 = 4S_4

. Προχωράμε επαγωγικά και υποθέτουμε πως ο ισχυρισμός είναι σωστός για n=r

. Τότε $(p_{r+2} - 1)^2 \geqslant (p_{r+1} + 1)^2 = (p_{r+1}-1)^2 + 4p_{r+1} > 4S_r + 4p_{r+1} = 4S_{r+1}$ οπότε ο ισχυρισμός είναι σωστός για n=r+1

άρα επαγωγικά είναι σωστός για κάθε

και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

[Στην απόδειξη δεν χρησιμοποιήσαμε σχεδόν καμία ιδιότητα των πρώτων.]

#5

cretanman έγραψε: Θέμα 4ο
Έστω πολυώνυμο $P_n(x)=x^n-a_{n-1}x^{n-1}-\cdots -a_1x-a_0$ με $n\geq 2$ , όπου $a_0,a_1,\ldots,a_{n-1}>0$ και $a_0+a_1+\cdots + a_{n-1}=1$ . Να προσδιορίσετε όλες τις ρίζες του με καθώς και το βαθμό πολλαπλότητας κάθε τέτοιας ρίζας.

Η

είναι μια τέτοια ρίζα. Θα δείξουμε πως δεν υπάρχει άλλη. Έστω λοιπόν $r \neq 1$ τέτοιο ώστε |r| = 1

. Τότε $\displaystyle{ |P_n(r)| = \left|1 - \left(\frac{a_{n-1}}{r} + \cdots + \frac{a_0}{r^n}\right) \right| \geqslant 1 - \left(\left|\frac{a_{n-1}}{r} \right| + \cdots + \left|\frac{a_0}{r^n}\right| \right) = 0}$ με την ισότητα να ισχύει αν και μόνο αν κάθε ένα από τα $a_{n-1}/r,\ldots,a_0/r^n$ είναι πραγματικός μη αρνητικός αριθμός. Αυτό όμως συμβαίνει μόνο αν r=1

κάτι που αποκλείσαμε. Άρα $P_n(r) \neq 0$ όπως ισχυριστήκαμε.

parmenides51 · #6

οι παρακάτω λύσεις ίσως είναι ίδιες ίσως όχι, τις δίνω μιας και τις πέτυχα

cretanman έγραψε:Θέμα 1ο
Έστω το άθροισμα των πρώτων, πρώτων αριθμών. Να αποδείξετε ότι μεταξύ των και $S_{n+1}$ υπάρχει ένα τουλάχιστον τέλειο τετράγωνο.

εδώ

cretanman έγραψε:Θέμα 2ο
Έστω οξυγώνιο τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο και τα ύψη του που τέμνονται στο . Έστω ακόμα η εφαπτομένη του στο και οι κάθετες στην (τα είναι σημεία της ). Να αποδείξετε ότι οι ευθείες συντρέχουν.

εδώ

cretanman έγραψε:Θέμα 4ο
Έστω πολυώνυμο $P_n(x)=x^n-a_{n-1}x^{n-1}-\cdots -a_1x-a_0$ με $n\geq 2$ , όπου $a_0,a_1,\ldots,a_{n-1}>0$ και $a_0+a_1+\cdots + a_{n-1}=1$ . Να προσδιορίσετε όλες τις ρίζες του με καθώς και το βαθμό πολλαπλότητας κάθε τέτοιας ρίζας.

εδώ με διευκρινήσεις στα σχόλια που ακολουθούν

Nick1990 · #7

parmenides51 έγραψε:οι παρακάτω λύσεις ίσως είναι ίδιες ίσως όχι, τις δίνω μιας και τις πέτυχα

cretanman έγραψε:Θέμα 1ο
Έστω το άθροισμα των πρώτων, πρώτων αριθμών. Να αποδείξετε ότι μεταξύ των και $S_{n+1}$ υπάρχει ένα τουλάχιστον τέλειο τετράγωνο.
εδώ

Επίσης:
http://vjimc.osu.cz/j23/j23problems2.pdf

ΤΕΛΙΚΟΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ 1995 - ΛΥΚΕΙΟ

ΤΕΛΙΚΟΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ 1995 - ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΤΕΛΙΚΟΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ 1995 - ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΤΕΛΙΚΟΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ 1995 - ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΤΕΛΙΚΟΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ 1995 - ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΤΕΛΙΚΟΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ 1995 - ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΤΕΛΙΚΟΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ 1995 - ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΤΕΛΙΚΟΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ 1995 - ΛΥΚΕΙΟ

Μέλη σε σύνδεση