ΘΑΛΗΣ 2003 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

parmenides51 · #1

1. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: $\displaystyle{A = 2415 − 4 \cdot 10^2 + 2003^0 − 2 \cdot3^2 + 2}$ .

2.Αν παρατάξουμε τους μαθητές ενός Γυμνασίου σε τριάδες περισσεύουν $\displaystyle{2}$ . Αν τους παρατάξουμε σε τετράδες ή σε πεντάδες επίσης περισσεύουν $\displaystyle{2}$ .
Να προσδιορίσετε τον αριθμό των μαθητών, αν γνωρίζουμε ότι είναι τριψήφιος με άθροισμα ψηφίων $\displaystyle{5}$ .

3. Στο τραπέζιο $\displaystyle{AB\Gamma\Delta }$ ( $\displaystyle{AB//\Gamma\Delta }$ ) του σχήματος δίνονται $\displaystyle{{\widehat{BA\Delta}= {\widehat{AB\Gamma}}$ και ότι τα τρίγωνα $\displaystyle{AB\Gamma}$ και $\displaystyle{A\Gamma\Delta }$ είναι ισοσκελή με $\displaystyle{AB=A\Gamma}$ και $\displaystyle{A\Delta=\Gamma\Delta}$ .
α) Να αποδείξετε ότι η $\displaystyle{A\Gamma}$ διχοτομεί τη γωνία $\displaystyle{{\widehat{BA\Delta}}$ .
β) Να υπολογιστεί η γωνία $\displaystyle{\omega {\color{red}={\widehat{B}}}}$ .

: 8alis 2003 3o.png (5.28 KiB) Προβλήθηκε 2420 φορές

4. Η τιμή ενός προϊόντος αυξήθηκε το $\displaystyle{2001}$ (από $\displaystyle{1–1-2001}$ μέχρι $\displaystyle{31–12-2001}$ ) κατά $\displaystyle{20\%}$ .
Στη συνέχεια το $\displaystyle{2002}$ μειώθηκε κατά $\displaystyle{10\%}$ , ενώ το $\displaystyle{2003}$ αναμένεται αύξηση κατά $\displaystyle{25\%}$ .
α) Να προσδιορίσετε το ποσοστό επί τοις εκατό, της μεταβολής της τιμής του προϊόντος κατά την τριετία από $\displaystyle{1-1-2001}$ μέχρι $\displaystyle{31-12-2003}$ .
β) Αν η τιμή του προϊόντος ήταν $\displaystyle{1,60}$ € την 1 -1-2001

, ποια θα είναι η τιμή του την 31-12- 2003

;

edit
Προσθήκη ανανεωμένου σχήματος και κόκκινων γράμματων

parmenides51 · #2

parmenides51 έγραψε: 4. Η τιμή ενός προϊόντος αυξήθηκε το $\displaystyle{2001}$ (από $\displaystyle{1–1-2001}$ μέχρι $\displaystyle{31–12-2001}$ ) κατά $\displaystyle{20\%}$ .
Στη συνέχεια το $\displaystyle{2002}$ μειώθηκε κατά $\displaystyle{10\%}$ , ενώ το $\displaystyle{2003}$ αναμένεται αύξηση κατά $\displaystyle{25\%}$ .
α) Να προσδιορίσετε το ποσοστό επί τοις εκατό, της μεταβολής της τιμής του προϊόντος κατά την τριετία από $\displaystyle{1-1-2001}$ μέχρι $\displaystyle{31-12-2003}$ .
β) Αν η τιμή του προϊόντος ήταν $\displaystyle{1,60}$ € την , ποια θα είναι η τιμή του την ;

(α)
έτος 2001

αύξηση $\displaystyle{20\%}$ σημαίνει αν είχα $\displaystyle{100}$ μονάδες τότε θα αυξηθεί κατά $\displaystyle{20}$ μονάδες οπότε θα γίνει $\displaystyle{120}$ μονάδες στο τέλος του $\displaystyle{2001}$

έτος 2002

μείωση $\displaystyle{10\%}$ σημαίνει αν είχα $\displaystyle{100}$ μονάδες τότε θα μειωθεί κατά $\displaystyle{10}$ μονάδες
οπότε τώρα που έχω από πριν $\displaystyle{120}$ μονάδες, η μείωση θα είναι $\displaystyle{x}$ μονάδες για το $\displaystyle{2002}$

$\displaystyle{\frac{100}{120}=\frac{10}{x}\Leftrightarrow 10x=12\cdot 10 \Leftrightarrow 10x=120 \Leftrightarrow\frac{10x}{10}=\frac{120}{10}\Leftrightarrow x=12}$ μονάδες η μείωση ,

άρα θα κοστίζει $\displaystyle{120-12=108}$ μονάδες στο τέλος του $\displaystyle{2002}$

έτος 2003

αύξηση $\displaystyle{25\%}$ σημαίνει αν είχα $\displaystyle{100}$ μονάδες τότε θα αυξηθεί κατά $\displaystyle{25}$ μονάδες
οπότε τώρα που έχω από πριν $\displaystyle{108}$ μονάδες , η άυξηση θα είναι $\displaystyle{x}$ μονάδες για το $\displaystyle{2003}$

$\displaystyle{\frac{100}{108}=\frac{25}{x}\Leftrightarrow 100x=108\cdot 25\Leftrightarrow 100x=2700 \Leftrightarrow\frac{100x}{100}=\frac{2700}{100}\Leftrightarrow x=27}$ μονάδες η αύξηση,

άρα θα κοστίζει $\displaystyle{108+27=135}$ μονάδες στο τέλος του $\displaystyle{2003}$

τέλος αφού ξεκίνησα με $\displaystyle{100}$ μονάδες στην αρχή του $\displaystyle{2001}$ και έχω $\displaystyle{135}$ μονάδες στο τέλος του $\displaystyle{2003}$ ,

η μεταβολή είναι αύξηση κατά $\displaystyle{135-100=35}$ μονάδες σε σύνολο $\displaystyle{100}$ μονάδων άρα αύξηση κατά $\displaystyle{35 \%}$

(β) αύξηση $\displaystyle{35\%}$ σημαίνει αν είχα $\displaystyle{100}$ μονάδες τότε θα αυξηθεί κατά $\displaystyle{35}$
οπότε αφου στην αρχή έχω $\displaystyle{1,6}$ € , η τιμή θα αυξηθεί κατά $\displaystyle{x}$ €

$\displaystyle{\frac{100}{1,6}=\frac{35}{x}\Leftrightarrow 100x=1,6\cdot 35\Leftrightarrow 100x=56\Leftrightarrow\frac{100x}{100}=\frac{56}{100}\Leftrightarrow x=0,56}$ € η αύξηση,

οπότε θα κοστίζει $\displaystyle{1,6+0,56=2,16}$ € στο τέλος του $\displaystyle{2003}$

Υ.Γ. Σας χρωστάω και άλλον τρόπο, πιο σύντομο αλλά χωρίς απλή μέθοδο των τριών. Το ίδιο ισχύει και για την παρόμοια.

freyia · #3

parmenides51 έγραψε:3. Στο τραπέζιο $\displaystyle{AB\Gamma\Delta }$ ( $\displaystyle{AB//\Gamma\Delta }$ ) του σχήματος δίνονται $\displaystyle{{\widehat{BA\Delta}= {\widehat{AB\Gamma}}$ και ότι τα τρίγωνα $\displaystyle{AB\Gamma}$ και $\displaystyle{A\Gamma\Delta }$ είναι ισοσκελή με $\displaystyle{AB=A\Gamma}$ και $\displaystyle{A\Delta=\Gamma\Delta}$ .
α) Να αποδείξετε ότι η $\displaystyle{A\Gamma}$ διχοτομεί τη γωνία $\displaystyle{{\widehat{BA\Delta}}$ .
β) Να υπολογιστεί η γωνία $\displaystyle{\omega }$ .

(a) $\displaystyle{\widehat{BA\Gamma}=\widehat{A\Gamma \Delta}}$ , (εντός εναλλάξ....)

$\displaystyle{\widehat{BA\Gamma}=\widehat{\Delta A\Gamma}}$ , (παρά την βάση ισοσκελούς τριγώνου)

Επομένως : $\displaystyle{\widehat{BA\Gamma}=\widehat{\Delta A\Gamma}}$

(b) Στο σχήμα, δεν φαίνεται ποια είναι η γωνία $\displaystyle{\omega}$ . Έτσι, ας υποθέσω ότι ζητάμε την γωνία π.χ $\displaystyle{\widehat{BA\Gamma}}$

Από το ισοσκελές τρίγηωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ , βρίσκω: $\displaystyle{2\widehat{B}+\omega =180^{o}}$ , (i)

Aπό την υπόθεση όμως έχουμε:

$\displaystyle{\widehat{B}=2\omega}$ . Επομένως η (i) μπορεί να γραφτεί:

$\displaystyle{2.2\omega +\omega =180^{o}\Rightarrow 5\omega =180^{o}\Rightarrow \omega =36^{o}}$

parmenides51 · #4

parmenides51 έγραψε:3. Στο τραπέζιο $\displaystyle{AB\Gamma\Delta }$ ( $\displaystyle{AB//\Gamma\Delta }$ ) του σχήματος δίνονται $\displaystyle{{\widehat{BA\Delta}= {\widehat{AB\Gamma}}$ και ότι τα τρίγωνα $\displaystyle{AB\Gamma}$ και $\displaystyle{A\Gamma\Delta }$ είναι ισοσκελή με $\displaystyle{AB=A\Gamma}$ και $\displaystyle{A\Delta=\Gamma\Delta}$ .
α) Να αποδείξετε ότι η $\displaystyle{A\Gamma}$ διχοτομεί τη γωνία $\displaystyle{{\widehat{BA\Delta}}$ .
β) Να υπολογιστεί η γωνία $\displaystyle{\omega }$ .

: 8alis 2003 3o.png (5.28 KiB) Προβλήθηκε 2435 φορές

Ας κοιτάξει κάποιος που έχει πρόσβαση στα θέματα ποια γωνία είναι η $\displaystyle{\omega}$ .

#5

parmenides51 έγραψε:

8alis 2003 3o.png

Ας κοιτάξει κάποιος που έχει πρόσβαση στα θέματα ποια γωνία είναι η $\displaystyle{\omega}$ .[/quote]

Γωνία $\displaystyle{\omega}$ ήταν η γωνία

, οπότε μπορείς parmanides να την σημαδέψεις στο σχήμα στην εκφώνηση.

Άρα είναι $\displaystyle{\omega=72^{o}}$ , διότι η γωνία

, είναι ίση με την γωνία

, που η freyia, βρήκε ότι είναι :

$\displaystyle{\frac{A}{2}=36^{o}}$ , οπότε $\displaystyle{A=72^{o}=B=\omega}$

parmenides51 · #6

freyia έγραψε:
parmenides51 έγραψε:3. Στο τραπέζιο $\displaystyle{AB\Gamma\Delta }$ ( $\displaystyle{AB//\Gamma\Delta }$ ) του σχήματος δίνονται $\displaystyle{{\widehat{BA\Delta}= {\widehat{AB\Gamma}}$ και ότι τα τρίγωνα $\displaystyle{AB\Gamma}$ και $\displaystyle{A\Gamma\Delta }$ είναι ισοσκελή με $\displaystyle{AB=A\Gamma}$ και $\displaystyle{A\Delta=\Gamma\Delta}$ .
α) Να αποδείξετε ότι η $\displaystyle{A\Gamma}$ διχοτομεί τη γωνία $\displaystyle{{\widehat{BA\Delta}}$ .
β) Να υπολογιστεί η γωνία $\displaystyle{\omega }$ .

8alis 2003 3o b.png (32.29 KiB) Προβλήθηκε 2418 φορές

(a) $\displaystyle{\widehat{BA\Gamma}=\widehat{A\Gamma \Delta}}$ , (εντός εναλλάξ....)

$\displaystyle{\widehat{BA\Gamma}=\widehat{\Delta A\Gamma}}$ , (παρά την βάση ισοσκελούς τριγώνου)

Επομένως : $\displaystyle{\widehat{BA\Gamma}=\widehat{\Delta A\Gamma}}$

(b) Έστω $\displaystyle{\widehat{BA\Gamma}=\varphi }$

Από το ισοσκελές τρίγηωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ , βρίσκω: $\displaystyle{2\widehat{B}+\varphi =180^{o}}$ , (i)

Aπό την υπόθεση όμως έχουμε:

$\displaystyle{\widehat{B}=2\varphi }$ . Επομένως η (i) μπορεί να γραφτεί:

$\displaystyle{2.2\varphi +\varphi =180^{o}\Rightarrow 5\varphi =180^{o}\Rightarrow \varphi =36^{o}}$

Τελικά $\displaystyle{\widehat{B}=2\varphi =2\cdot 36^{o}=72^{o}}$

Υ.Γ. Επεξεργάστηκα την απάντηση από freyia με την εισαγωγή μιας μεταβλητής και κατάλληλου σχήματος για να είναι ξεκάθαρα λυμένη.
Ενημερώθηκαν οι γνωστές πηγές για την ασάφεια στην εκφώνηση.

parmenides51 · #7

parmenides51 έγραψε:1. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: $\displaystyle{A = 2415 − 4 \cdot 10^2 + 2003^0 − 2 \cdot3^2 + 2}$ .

$\displaystyle{A = 2415 − 4 \cdot 10^2 + 2003^0 − 2 \cdot3^2 + 2}$
$\displaystyle{A = 2415 − 4 \cdot 100 + 1− 2 \cdot 9+ 2}$
$\displaystyle{A = 2415 − 400 + 1− 18+ 2}$
$\displaystyle{A = 2415 − 400 + 1− 18+ 2}$
$\displaystyle{A = 2415 + 1+ 2− 400− 18}$
$\displaystyle{A = 2418− 418}$
$\displaystyle{A = 2000}$

parmenides51 έγραψε:2.Αν παρατάξουμε τους μαθητές ενός Γυμνασίου σε τριάδες περισσεύουν $\displaystyle{2}$ . Αν τους παρατάξουμε σε τετράδες ή σε πεντάδες επίσης περισσεύουν $\displaystyle{2}$ .
Να προσδιορίσετε τον αριθμό των μαθητών, αν γνωρίζουμε ότι είναι τριψήφιος με άθροισμα ψηφίων $\displaystyle{5}$ .

Έστω $\displaystyle{x}$ ο αριθμός των μαθητών
Αφού περισσεύουν $\displaystyle{2}$ άτομα είτε τους παρατάξουμε σε τριάδες είτε τους παρατάξουμε σε τετράδες είτε σε πεντάδες αντίστοιχα,
τότε αν αφαιρέσουμε $\displaystyle{2}$ άτομα στον αριθμό των μαθητών δεν θα περισσεύει κανένα άτομο στις παραπάνω παρατάξεις
δηλαδή το σύνολο $\displaystyle{x-2}$ θα είναι κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών $\displaystyle{3,4}$ και $\displaystyle{5}$ .
Γνωρίζουμε πως τα πολλαπλάσια των $\displaystyle{3,4,5}$ είναι τα πολλαπλάσια του ΕΚΠ $\displaystyle{(3,4,5)=60}$ .
Οπότε ο αριθμός $\displaystyle{x-2}$ θα είναι ένας από τους αριθμούς $\displaystyle{$ 60,120,180,240,300,360,420,480,540,600,660,720,780,840,900,960,1020,...}

\displaystyle{x} θα είναι ένας από τος αριθμούς

\displaystyle{122,182,242,302,362,422,482,542,602,662,722,782,842,902,962} , αφού ψάχνουμε για τριψήφιο.
από τους παραπάνω αριθμούς άθροισμα ψηφίων

\displaystyle{5} έχουν το

\displaystyle{122 } και το

\displaystyle{302} άρα οι μαθητές είναι ή

\displaystyle{122}

\displaystyle{302}$

parmenides51 · #8

parmenides51 έγραψε:
parmenides51 έγραψε: 4. Η τιμή ενός προϊόντος αυξήθηκε το $\displaystyle{2001}$ (από $\displaystyle{1–1-2001}$ μέχρι $\displaystyle{31–12-2001}$ ) κατά $\displaystyle{20\%}$ .
Στη συνέχεια το $\displaystyle{2002}$ μειώθηκε κατά $\displaystyle{10\%}$ , ενώ το $\displaystyle{2003}$ αναμένεται αύξηση κατά $\displaystyle{25\%}$ .
α) Να προσδιορίσετε το ποσοστό επί τοις εκατό, της μεταβολής της τιμής του προϊόντος κατά την τριετία από $\displaystyle{1-1-2001}$ μέχρι $\displaystyle{31-12-2003}$ .
β) Αν η τιμή του προϊόντος ήταν $\displaystyle{1,60}$ € την , ποια θα είναι η τιμή του την ;
Υ.Γ. Σας χρωστάω και άλλον τρόπο, πιο σύντομο αλλά χωρίς απλή μέθοδο των τριών. Το ίδιο ισχύει και για την παρόμοια.

ας δούμε και την σύντομη λύση

(α) αύξηση $\displaystyle{20\%}$ σημαίνει πως η αρχική ποσότητα $\displaystyle{x}$ έγινε $\displaystyle{\frac{120}{100}x=1,2x}$

μείωση $\displaystyle{10\%}$ σημαίνει πως η προηγούμενη ποσότητα $\displaystyle{1,2x}$ έγινε $\displaystyle{\frac{90}{100}1,2x=0,9\cdot1,2x=1,08x}$

αύξηση $\displaystyle{25\%}$ σημαίνει πως η προηγούμενη ποσότητα $\displaystyle{1,08x}$ γίνεται $\displaystyle{\frac{125}{100}1,08x=1,25\cdot 1,08x=1,35x}$

οπότε αφού η αρχική ποσότητα $\displaystyle{x}$ έγινε $\displaystyle{1,35x=\frac{135}{100}x}$ έχουμε αύξηση $\displaystyle{35\%}$ κατά την τριετία

(β) αφού έχουμε αύξηση $\displaystyle{35\%}$ κατά την τριετία, τότε η ποσότητα $\displaystyle{1,6}$ € θα γίνει $\displaystyle{\frac{135}{100}1,6=1,35\cdot1,6=2,16}$ €

ΘΑΛΗΣ 2003 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΘΑΛΗΣ 2003 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2003 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2003 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2003 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2003 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2003 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2003 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2003 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση