ΘΑΛΗΣ 2004 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

parmenides51 · #1

1. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: $\displaystyle{A = 2^3 \cdot 5^3 + 2004 : 4 + (3^2 − 4) \cdot 100 + 3}$

2. Ένας τετραψήφιος αριθμός $\displaystyle{K}$ έχει όλα τα ψηφία του ίσα και το άθροισμα των ψηφίων του είναι $\displaystyle{20}$ .
(α) Να βρεθεί ο αριθμός $\displaystyle{K}$
(β) Να βρεθεί δεκαδικός αριθμός $\displaystyle{\alpha }$ και φυσικός αριθμός $\displaystyle{\nu}$ τέτοιοι ώστε να ισχύει: $\displaystyle{K = \alpha \cdot 10^{\nu}}$ , με $\displaystyle{1 \leq a \leq 10}$ .

3. Στο διπλανό σχήμα η ευθεία $\displaystyle{M \Lambda }$ είναι κάθετη προς την πλευρά $\displaystyle{B\Gamma}$ στο μέσον της $\displaystyle{M}$ .
Επιπλέον δίνονται: $\displaystyle{M\Gamma = 5cm, \widehat{M \Lambda\Gamma}= 45^o, \widehat{AB \Lambda}= 30^o}$ και το εμβαδόν $\displaystyle{E}$ του τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ ίσο με $\displaystyle{35cm^2}$ .
Να βρείτε:
(α) τις γωνίες $\displaystyle{ \widehat{A},\widehat{B},\widehat{\Gamma}}$ του τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ .
(β) το ύψος $\displaystyle{A\Delta}$ του τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ .

: 8alis 2004 3o.png (11.67 KiB) Προβλήθηκε 1968 φορές

4. Η τιμή του πετρελαίου στη Ν. Υόρκη ένα χρόνο πριν στις $\displaystyle{30-10-2003}$ ήταν $\displaystyle{32}$ δολάρια το βαρέλι, ενώ σήμερα είναι $\displaystyle{54,4}$ δολάρια το βαρέλι.
(α) Πόσο τις εκατό έχει αυξηθεί η τιμή του βαρελιού σε σχέση με την τιμή που είχε ένα χρόνο πριν;
(β) Πόσα δολάρια πρέπει να μειωθεί η τιμή του βαρελιού μέχρι την $\displaystyle{30-11-2004}$ έτσι ώστε η τιμή που θα έχει τότε να είναι αυξημένη κατά $\displaystyle{40\%}$ σε σχέση με την τιμή που είχε στις $\displaystyle{30- 10-2003}$ ;

parmenides51 · #2

parmenides51 έγραψε:4. Η τιμή του πετρελαίου στη Ν. Υόρκη ένα χρόνο πριν στις $\displaystyle{30-10-2003}$ ήταν $\displaystyle{32}$ δολάρια το βαρέλι, ενώ σήμερα είναι $\displaystyle{54,4}$ δολάρια το βαρέλι.
(α) Πόσο τις εκατό έχει αυξηθεί η τιμή του βαρελιού σε σχέση με την τιμή που είχε ένα χρόνο πριν;
(β) Πόσα δολάρια πρέπει να μειωθεί η τιμή του βαρελιού μέχρι την $\displaystyle{30-11-2004}$ έτσι ώστε η τιμή που θα έχει τότε να είναι αυξημένη κατά $\displaystyle{40\%}$ σε σχέση με την τιμή που είχε στις $\displaystyle{30- 10-2003}$ ;

(α) Από $\displaystyle{32}$ δολάρια πήγε στα $\displaystyle{54,4}$ δολάρια αυξήθηκε δηλαδή κατά $\displaystyle{54,4-32=22,4}$ δολάρια
αν είχα $\displaystyle{100}$ δολάρια τότε θα η τιμή θα είχε αυξηθεί κατά $\displaystyle{x}$ δολάρια

$\displaystyle{\frac{32}{100}=\frac{22,4}{x}\Leftrightarrow 32x=100 \cdot 22,4 \Leftrightarrow 32x=2240 \Leftrightarrow\frac{32x}{32}=\frac{2240}{32}\Leftrightarrow x=70}$ άρα $\displaystyle{70\%}$

(β) Αρχικά θα βρούμε πόσο θα είναι η τιμή που είναι αυξημένη κατά $\displaystyle{40\%}$ σε σχέση με την τιμή των $\displaystyle{32}$ δολαρίων

αύξηση $\displaystyle{40\%}$ σημαίνει αν είχα $\displaystyle{100}$ δολάρια τότε θα αυξηθεί κατά $\displaystyle{40}$ δολάρια
οπότε τώρα που έχω $\displaystyle{32}$ δολάρια η τιμή θα αυξηθεί κατά $\displaystyle{x}$ δολάρια

$\displaystyle{\frac{100}{32}=\frac{40}{x}\Leftrightarrow 100x=32\cdot 40 \Leftrightarrow 100x=1280 \Leftrightarrow\frac{100x}{100}=\frac{1280}{100}\Leftrightarrow x=12,8}$

οπότε θα κοστίζει $\displaystyle{32+12,8=44,8}$ δολάρια μετά την αύξηση $\displaystyle{40\%}$ ,

δηλαδή τόσο πρέπει να κοστίζει στις $\displaystyle{30-11-2004}$

και αφού σήμερα κοστίζει $\displaystyle{54,4}$ δολάρια η τιμή πρέπει να μειωθεί κατά $\displaystyle{54,4-44,8=9,6}$ δολάρια

Υ.Γ. Ας λύσει όποιος έχει την διάθεση θέματα Γεωμετρίας από τις εξετάσεις του Θαλή περασμένων ετών (κατά προτίμηση Γυμνασίου) και ας μην ανησυχεί για τα σχήματα, θα τα ετοιμάσω εγώ.

freyia · #3

parmenides51 έγραψε:2. Ένας τετραψήφιος αριθμός $\displaystyle{K}$ έχει όλα τα ψηφία του ίσα και το άθροισμα των ψηφίων του είναι $\displaystyle{20}$ .
(α) Να βρεθεί ο αριθμός $\displaystyle{K}$
(β) Να βρεθεί δεκαδικός αριθμός $\displaystyle{\alpha }$ και φυσικός αριθμός $\displaystyle{\nu}$ τέτοιοι ώστε να ισχύει: $\displaystyle{K = \alpha \cdot 10^{\nu}}$ , με $\displaystyle{1 \leq a \leq 10}$ .

Άμα ονομάσω τον τετραψήφιο $\displaystyle{K=xxxx}$ τότε $\displaystyle{x+x+x+x=20\Rightarrow x=5}$

Επομένως ο τετραψήφιος είναι ο $\displaystyle{K = 5555}$

Ακόμα: $\displaystyle{K=5,555.10^{3}}$ και επομένως $\displaystyle{a=5,555}$ και $\displaystyle{\nu =3}$

parmenides51 · #4

parmenides51 έγραψε:1. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: $\displaystyle{A = 2^3 \cdot 5^3 + 2004 : 4 + (3^2 − 4) \cdot 100 + 3}$

$\displaystyle{A = 2^3 \cdot 5^3 + 2004 : 4 + (3^2 − 4) \cdot 100 + 3}$
$\displaystyle{A = 2^3 \cdot 5^3 + 2004 : 4 + (9− 4) \cdot 100 + 3}$
$\displaystyle{A = 2^3 \cdot 5^3 + 2004 : 4 + 5 \cdot 100 + 3}$
$\displaystyle{A = 8 \cdot 125 + 2004 : 4 + 5 \cdot 100 + 3}$
$\displaystyle{A = 1000 + 501 + 500 + 3}$
$\displaystyle{A = 2004}$

parmenides51 · #5

parmenides51 έγραψε:3. Στο διπλανό σχήμα η ευθεία $\displaystyle{M \Lambda }$ είναι κάθετη προς την πλευρά $\displaystyle{B\Gamma}$ στο μέσον της $\displaystyle{M}$ .
Επιπλέον δίνονται: $\displaystyle{M\Gamma = 5cm, \widehat{M \Lambda\Gamma}= 45^o, \widehat{AB \Lambda}= 30^o}$ και το εμβαδόν $\displaystyle{E}$ του τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ ίσο με $\displaystyle{35cm^2}$ .
Να βρείτε:
(α) τις γωνίες $\displaystyle{ \widehat{A},\widehat{B},\widehat{\Gamma}}$ του τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ .
(β) το ύψος $\displaystyle{A\Delta}$ του τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ .

: 8alis 2004 3o.png (8.66 KiB) Προβλήθηκε 1835 φορές

α) Αφού η $\displaystyle{M\Lambda}$ είναι ύψος στο τρίγωνο $\displaystyle{M \Lambda\Gamma}$ θα ισχύει πως $\displaystyle{\widehat {\Lambda M\Gamma}=90^o}$

άρα στο τρίγωνο $\displaystyle{M \Lambda\Gamma}$ έχουμε πως $\displaystyle{\widehat {\Gamma}+\widehat {\Lambda M\Gamma}+\widehat {M\Lambda \Gamma}=180^o}$

$\displaystyle{\widehat {\Gamma}+90^o+45^o=180^o}$

$\displaystyle{\widehat {\Gamma}+135^o=180^o}$

$\displaystyle{\widehat {\Gamma}=180^o-135^o=45^o}$

Επειδή η $\displaystyle{M\Lambda}$ είναι και ύψος και διάμεσος στο τρίγωνο $\displaystyle{B \Lambda \Gamma}$ , το τρίγωνο $\displaystyle{B \Lambda \Gamma}$ θα είναι ισοσκελές

άρα $\displaystyle{B \Lambda =\Lambda \Gamma}$ και $\displaystyle{\widehat {\Lambda B\Gamma}=\widehat {\Gamma}= 45^o}$

άρα $\displaystyle{\widehat{B}= \widehat{AB \Lambda}+ \widehat{ \Lambda B\Gamma}=30^o+ 45^o =75^o }$

τέλος στο τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ έχουμε πως $\displaystyle{\widehat {A}+\widehat {B}+\widehat { \Gamma}=180^o}$

άρα $\displaystyle{AB\Gamma}$ έχουμε πως $\displaystyle{\widehat {A}+75^o+45^o=180^o}$

$\displaystyle{\widehat {A}+120^o=180^o}$

$\displaystyle{\widehat {A}=180^o-120^o=60^o}$

β) Εστω $\displaystyle{ A\Delta=\upsilon }$

$\displaystyle{B\Gamma=2 M\Gamma=2 \cdot 5=10 cm}$ διότι $\displaystyle{M}$ μέσο του $\displaystyle{B\Gamma}$

Το εμβαδόν του τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ είναι $\displaystyle{E=\frac{\beta \cdot \upsilon }{2}=\frac{B\Gamma \cdot \upsilon}{2}=\frac{10\upsilon}{2}=5\upsilon=35 cm^2}$

άρα $\displaystyle{\upsilon=35:5=7cm}$

ΘΑΛΗΣ 2004 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΘΑΛΗΣ 2004 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2004 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2004 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2004 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2004 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση