ΘΑΛΗΣ 2006 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

parmenides51 · #1

1. Να υπολογίσετε την παράσταση: $\displaystyle{A= \left\{ 111 − \left[ 264 − \left(15 +\frac{54}{6}\right) \cdot \left| -5 \right|\right] : 12\right \} : 11 + 1}$

2. Είναι δυνατόν ένα χαρτονόμισμα των $\displaystyle{100}$ € να ανταλλαγεί με $\displaystyle{18}$ νομίσματα των $\displaystyle{2}$ € και των $\displaystyle{10}$ €;

3. Το $\displaystyle{6\% }$ του αριθμού $\displaystyle{\alpha \neq 0}$ είναι ίσο με το $\displaystyle{4\%}$ του αριθμού $\displaystyle{\beta }$ . Να βρείτε την τιμή του κλάσματος $\displaystyle{K=\frac{9\alpha -3\beta }{6\alpha -\beta }}$ .

4. Στο παρακάτω σχήμα είναι $\displaystyle{AB = B\Gamma}$ και η διχοτόμος $\displaystyle{\Gamma x}$ της γωνίας $\displaystyle{{\widehat{A\Gamma\Delta } }$ είναι παράλληλη στην $\displaystyle{AB}$ . Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ .

: 8alis 2006 4o.png (10.92 KiB) Προβλήθηκε 4394 φορές

parmenides51 · #2

parmenides51 έγραψε:2. Είναι δυνατόν ένα χαρτονόμισμα των $\displaystyle{100}$ € να ανταλλαγεί με $\displaystyle{18}$ νομίσματα των $\displaystyle{2}$ € και των $\displaystyle{10}$ €;

Μια ωραία λύση από μαθήτρια της Β' (έτσι μου το εξήγησε προφορικά)

Επειδή τα πολλαπλάσια του $\displaystyle{10}$ τελειώνουν σε $\displaystyle{0}$ και θέλουμε τα χαρτονομίσματα να καλύπτουν ποσό που τελειώνει σε $\displaystyle{0}$ ,
θα πρέπει και τα νομίσματα των $\displaystyle{2}$ να καλύπτουν ποσό που τελειώνει σε $\displaystyle{0}$ .
Οπότε πρέπει να είναι $\displaystyle{5}$ ή $\displaystyle{10}$ ή $\displaystyle{15}$ σε πλήθος τα νομίσματα των $\displaystyle{2}$ .
Αν έχω $\displaystyle{5}$ νομίσματα των $\displaystyle{2}$ € και $\displaystyle{18-2=16}$ των $\displaystyle{10}$ € έχω $\displaystyle{5\cdot 2+ 16 \cdot 10=10+160=170}$ €, δεν βγαίνει $\displaystyle{100}$ € .
Αν έχω $\displaystyle{10}$ νομίσματα των $\displaystyle{2}$ € και $\displaystyle{18-10=8}$ των $\displaystyle{10}$ € έχω $\displaystyle{10\cdot 2+ 8 \cdot 10=20+80=100}$ € .
Άρα γίνεται ένα χαρτονόμισμα των $\displaystyle{100}$ € να ανταλλαγεί με $\displaystyle{18}$ νομίσματα των $\displaystyle{2}$ € και των $\displaystyle{10}$ €.

#3

parmenides51 έγραψε:
parmenides51 έγραψε:2. Είναι δυνατόν ένα χαρτονόμισμα των $\displaystyle{100}$ € να ανταλλαγεί με $\displaystyle{18}$ νομίσματα των $\displaystyle{2}$ € και των $\displaystyle{10}$ €;
Μια ωραία λύση από μαθήτρια της Β' (έτσι μου το εξήγησε προφορικά)

Ωραία λύση.

Αν θέλουμε μία διαφορετική για χάρη των παιδιών μας και νοουμένου ότι δεν επιτρέπεται να χρησιμοποιήσουμε εξισώσεις ως εκτός ύλης (αλλά που κάνουν το πρόβλημα τετριμμένο), μπορούμε να πούμε:

Αν και τα

νομίσματα ήταν των

ευρώ, θα είχα συνολικά

ευρώ, δηλαδή θα μου έλλειπαν 100-36=64

. Άρα πρέπει κάποια να τα αντικαταστήσω με χαρτονομίσματα των

ευρώ. Πόσα;

Κάθε αντικατάσταση που κάνω αυξάνει το ποσό μου κατά 10-2=8

ευρώ. Για να το αυξήσω κατά

θέλω

αντικαταστάσεις. Συμπέρασμα: Θέλω

χαρτονομίσματα των

και τα υπόλοιπα, δηλαδή τα

, να είναι των

ευρώ. Επαλήθευση: $8\times 10 + 10\times 2 = 100$ .

Μ.

freyia · #4

parmenides51 έγραψε:3. Το $\displaystyle{6\% }$ του αριθμού $\displaystyle{\alpha \neq 0}$ είναι ίσο με το $\displaystyle{4\%}$ του αριθμού $\displaystyle{\beta }$ . Να βρείτε την τιμή του κλάσματος $\displaystyle{K=\frac{9\alpha -3\beta }{6\alpha -\beta }}$ .

ΛΥΣΗ

Δίνεται ότι $\displaystyle{6}$ % $\displaystyle{a=4}$ % $\displaystyle{b\Rightarrow 6a=4b\Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{2}{3}}$

Eπομένως:

$\displaystyle{K=\frac{9a-3b}{6a-b}=\frac{\frac{9a}{b}-\frac{3b}{b}}{\frac{6a}{b}-\frac{b}{b}}=\frac{9.\frac{2}{3}-3}{6.\frac{2}{3}-1}=}$

$\displaystyle{=\frac{3}{3}=1}$

Και ένας ακόμα τρόπος:

Άμα λύσουμε την εξίσωση $\displaystyle{6a=4b}$ π.χ ως προς

, τότε $\displaystyle{b=\frac{3a}{2}}$ . Eπομένως:

$\displaystyle{K=\frac{9a-3.\frac{3a}{2}}{6a-\frac{3a}{2}}=\frac{\frac{9a}{2}}{\frac{9a}{2}}=1}$

parmenides51 · #5

Ο σκοπός αγιάζει τα μέσα

parmenides51 έγραψε:2. Είναι δυνατόν ένα χαρτονόμισμα των $\displaystyle{100}$ € να ανταλλαγεί με $\displaystyle{18}$ νομίσματα των $\displaystyle{2}$ € και των $\displaystyle{10}$ €;

Αφού θέλουμε $\displaystyle{18}$ νομίσματα διακρίνουμε περιπτώσεις για όλα τα νομίσματα.

Έστω $\displaystyle{x, y}$ το πλήθος των νομισμάτων των $\displaystyle{2}$ € και $\displaystyle{10}$ € αντίστοιχα.

Προφανώς $\displaystyle{x+y=18}$ . Αναζητάμε άθροισμα $\displaystyle{100}$ €.

Για $\displaystyle{x=0}$ και $\displaystyle{y=18}$ θα έχουμε συνολικά ποσό $\displaystyle{0\cdot 2 + 18 \cdot 10 =0+180=180}$ €
Για $\displaystyle{x=1}$ και $\displaystyle{y=17}$ θα έχουμε συνολικά ποσό $\displaystyle{1\cdot 2 + 17 \cdot 10 =2+170=172}$ €
Για $\displaystyle{x=2}$ και $\displaystyle{y=16}$ θα έχουμε συνολικά ποσό $\displaystyle{2\cdot 2 + 16 \cdot 10 =4+160=164}$ €
Για $\displaystyle{x=3}$ και $\displaystyle{y=15}$ θα έχουμε συνολικά ποσό $\displaystyle{3\cdot 2 + 15 \cdot 10 =6+150=156}$ €
Για $\displaystyle{x=4}$ και $\displaystyle{y=14}$ θα έχουμε συνολικά ποσό $\displaystyle{4\cdot 2 + 14 \cdot 10 =8+140=148}$ €
Για $\displaystyle{x=5}$ και $\displaystyle{y=13}$ θα έχουμε συνολικά ποσό $\displaystyle{5\cdot 2 + 13 \cdot 10 =10+130=140}$ €
Για $\displaystyle{x=6}$ και $\displaystyle{y=12}$ θα έχουμε συνολικά ποσό $\displaystyle{6\cdot 2 + 12 \cdot 10 =12+120=132}$ €
Για $\displaystyle{x=7}$ και $\displaystyle{y=11}$ θα έχουμε συνολικά ποσό $\displaystyle{7\cdot 2 + 11 \cdot 10 =14+110=124}$ €
Για $\displaystyle{x=8}$ και $\displaystyle{y=10}$ θα έχουμε συνολικά ποσό $\displaystyle{8\cdot 2 + 10 \cdot 10 =16+100=116}$ €
Για $\displaystyle{x=9}$ και $\displaystyle{y=9}$ θα έχουμε συνολικά ποσό $\displaystyle{9\cdot 2 + 9 \cdot 10 =18+90=108}$ €
Για $\displaystyle{x=10}$ και $\displaystyle{y=8}$ θα έχουμε συνολικά ποσό $\displaystyle{10\cdot 2 + 8\cdot 10 =20+80=100}$ € , να το
Για $\displaystyle{x=11}$ και $\displaystyle{y=7}$ θα έχουμε συνολικά ποσό $\displaystyle{11\cdot 2 + 7\cdot 10 =22+70=92}$ €
Για $\displaystyle{x=12}$ και $\displaystyle{y=6}$ θα έχουμε συνολικά ποσό $\displaystyle{12\cdot 2 + 6 \cdot 10 =24+60=84}$ €
Για $\displaystyle{x=13}$ και $\displaystyle{y=5}$ θα έχουμε συνολικά ποσό $\displaystyle{13\cdot 2 + 5 \cdot 10 =26+50=76}$ €
Για $\displaystyle{x=14}$ και $\displaystyle{y=4}$ θα έχουμε συνολικά ποσό $\displaystyle{14\cdot 2 + 4 \cdot 10 =28+40=68}$ €
Για $\displaystyle{x=15}$ και $\displaystyle{y=3}$ θα έχουμε συνολικά ποσό $\displaystyle{15\cdot 2 + 3 \cdot 10 =30+30=60}$ €
Για $\displaystyle{x=16}$ και $\displaystyle{y=2}$ θα έχουμε συνολικά ποσό $\displaystyle{16\cdot 2 + 2\cdot 10 =32+20=52}$ €
Για $\displaystyle{x=17}$ και $\displaystyle{y=1}$ θα έχουμε συνολικά ποσό $\displaystyle{17\cdot 2 + 1 \cdot 10 =34+10=44}$ €
Για $\displaystyle{x=18}$ και $\displaystyle{y=0}$ θα έχουμε συνολικά ποσό $\displaystyle{18\cdot 2 +0 \cdot 10 =36+0=36}$ €

άρα είναι δυνατόν για $\displaystyle{x=10 }$ νομίσματα των $\displaystyle{2}$ € και $\displaystyle{y=8}$ των $\displaystyle{10}$ €

p_gianno · #6

parmenides51 έγραψε:
2. Είναι δυνατόν ένα χαρτονόμισμα των $\displaystyle{100}$ € να ανταλλαγεί με $\displaystyle{18}$ νομίσματα των $\displaystyle{2}$ € και των $\displaystyle{10}$ €;

8alis 2006 4o.png

Προφανώς τα 10-ευρα δεν μπορεί να είναι

ή παραπάνω από

Υποθέτοντας ότι έχουμε δέκα 10-ευρα ξεκινάμε την διαδικασία αντικατάστασης 10-ευρων με 2-ευρα λαμβάνοντας υπόψη οτι ένα 10-ευρω ισοδυναμεί με πέντε 2-ευρα.
Τότε ανταλλάσσοντας ένα 10 -ευρω με 2-ευρα έχουμε εννέα 10-ευρα και πέντε 2-ευρα που δεν μας κάνει σαν λύση γιατί τα νομίσματα είναι λιγότερα των

.
Ανταλλάσσοντας ένα ακόμη 10 -ευρω φθάνουμε στην επιθυμητή - δεκτή λύση των οκτώ 10-ευρων και δέκα 2-ευρων.
Κάθε άλλη περαιτέρω ανταλλαγή 10-ευρου με 2-ευρα "σπάει" το περιορισμό των

νομισμάτων προς τα πάνω.

freyia · #7

parmenides51 έγραψε:4. Στο παρακάτω σχήμα είναι $\displaystyle{AB = B\Gamma}$ και η διχοτόμος $\displaystyle{\Gamma x}$ της γωνίας $\displaystyle{{\widehat{A\Gamma\Delta } }$ είναι παράλληλη στην $\displaystyle{AB}$ . Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ .

8alis 2006 4o.png

Στο σχ'ήμα του κ. Parmenides51, άμα ονομάσω $\displaystyle{\widehat{A}=m}$ , τότε $\displaystyle{\widehat{A\Gamma B}=m}$ , (παρα τη βάση ισοσκελούς), $\displaystyle{\widehat{A\Gamma x}=m}$ , (εντός εναλλάξ) kai επίσης $\displaystyle{m}$ θα είναι και η παραπληρωματική της γωνίας $\displaystyle{\widehat{B\Gamma x}}$ , επειδή η $\displaystyle{\Gamma x}$ , είναι διχοτόμος.

Επομένως: $\displaystyle{3m=180\Rightarrow m=60}$ . Επομένως το τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ , είναι ισόλευρο και έχει όλες τις γωνίες του $\displaystyle{60^{o}}$

parmenides51 · #8

freyia έγραψε:
parmenides51 έγραψε:4. Στο παρακάτω σχήμα είναι $\displaystyle{AB = B\Gamma}$ και η διχοτόμος $\displaystyle{\Gamma x}$ της γωνίας $\displaystyle{{\widehat{A\Gamma\Delta } }$ είναι παράλληλη στην $\displaystyle{AB}$ . Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ .

8alis 2006 4o.png (80.74 KiB) Προβλήθηκε 4205 φορές

Άμα ονομάσω $\displaystyle{\widehat{A}=m}$ , τότε $\displaystyle{\widehat{A\Gamma B}=m}$ , (παρα τη βάση ισοσκελούς), $\displaystyle{\widehat{A\Gamma x}=m}$ , (εντός εναλλάξ) kai επίσης $\displaystyle{m}$ θα είναι και η παραπληρωματική της γωνίας $\displaystyle{\widehat{B\Gamma x}}$ , επειδή η $\displaystyle{\Gamma x}$ , είναι διχοτόμος.

Επομένως: $\displaystyle{3m=180\Rightarrow m=60}$ . Επομένως το τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ , είναι ισόπλευρο και έχει όλες τις γωνίες του $\displaystyle{60^{o}}$

parmenides51 έγραψε:1. Να υπολογίσετε την παράσταση: $\displaystyle{A= \left\{ 111 − \left[ 264 − \left(15 +\frac{54}{6}\right) \cdot \left| -5 \right|\right] : 12\right \} : 11 + 1}$

$\displaystyle{A= \left\{ 111 − \left[ 264 − \left(15 +\frac{54}{6}\right) \cdot \left| -5 \right|\right] : 12\right \} : 11 + 1}$

$\displaystyle{A= \left\{ 111 − \left[ 264 − (15 +9) \cdot \left| -5 \right|\right] : 12\right \} : 11 + 1}$

$\displaystyle{A= [111 − (264 − 24 \cdot 5) : 12] : 11 + 1}$

$\displaystyle{A= [111 − (264 − 120) : 12] : 11 + 1}$

$\displaystyle{A= (111 − 144 : 12): 11 + 1}$

$\displaystyle{A= (111 − 12): 11 + 1}$

$\displaystyle{A= 99: 11 + 1}$

$\displaystyle{A=9 + 1}$

$\displaystyle{A= 10}$

batzos · #9

2.) 2χ + 10ψ = 100 όπου χ ο αριθμός των δύευρων και ψ των δεκάευρων.
και χ + ψ = 18 (2). Το μόνο πού μένει είναι να λύσουμε το παραπάνω συστημα.
2χ + 10ψ = 100
-2χ -2ψ = -36 (προσθέτω κατά μέλη)
8ψ=64 ή ψ=8
από την (2) έχω ότι χ=18-ψ=18-8=10
αρα (χ,ψ)=(10,8) δηλαδή χρειαζόμαστε 10 κερματα των 2 ευρω και 8 χαρτονομίσματα των 10 ευρω. Αρα γινεται με 18 χαρτονομισματα των 2 ή των 10 ευρω να εχουμε συνολικο άθροισμα 100 ευρω.

parmenides51 · #10

batzos έγραψε:2.) 2χ + 10ψ = 100 όπου χ ο αριθμός των δύευρων και ψ των δεκάευρων.
και χ + ψ = 18 (2). Το μόνο πού μένει είναι να λύσουμε το παραπάνω συστημα.
2χ + 10ψ = 100
-2χ -2ψ = -36 (προσθέτω κατά μέλη)
8ψ=64 ή ψ=8
από την (2) έχω ότι χ=18-ψ=18-8=10
αρα (χ,ψ)=(10,8) δηλαδή χρειαζόμαστε 10 κερματα των 2 ευρω και 8 χαρτονομίσματα των 10 ευρω. Αρα γινεται με 18 χαρτονομισματα των 2 ή των 10 ευρω να εχουμε συνολικο άθροισμα 100 ευρω.

καλησπέρα

καλώς ήρθες

αρχικά όλα τα μαθηματικά τα γράφουμε σε $\displaystyle{\LaTeX}$ εδώ μέσα, το οποίο δεν αναγνωρίζει χαρακτήρες από ελληνικό πληκτρολόγιο
παραπάνω σου κοκκίνισα ποια πρέπει να γράψεις σε $\displaystyle{\LaTeX}$
καλύτερα να κάνεις τις μεταβλητές σου x, y

οδηγίες για $\displaystyle{\LaTeX}$ έχουμε εδώ και χώρος για να δοκιμάζεις υπάρχει εδώ
(διαδρομή : Ευρετήριο Δ. Συζήτησης ‹ ΟΔΗΓΙΕΣ LaTeX - ΛΟΓΙΣΜΙΚΑ - ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΕΣ - EBOOKS - ΝΕΕΣ ΠΡΟΣΘΗΚΕΣ ‹ Δοκιμές γραφής με TeX)

πχ. για να γράψεις με $\displaystyle{\LaTeX}$ το 2χ+3ψ=7 στο τετράγωνο πατάς 2x+3y=7^2 και μετά βάζεις δυο δολλάρια συνεχόμενα (shift+4) πριν και μετά όλη της μαθηματικής σου πρότασης και θα βγει $\displaystyle{2x+3y=7^2}$

Επίσης πατώντας παράθεση στην δημοσίευση οποιουδήποτε μπορείς να δεις ακριβώς και να αντιγράψεις τον κώδικα $\displaystyle{\LaTeX}$ που χρησιμοποίησε.

επίσης για να γράφεις με τόνους αλλά και χωρίς ορθογραφικά λάθη δες εδώ

σχετικά με την παραπάνω λύση σου, επειδή ασχολούμαστε με θέματα Θαλή της Β' γυμνασίου, αυτό σημαίνει πως δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την λύση μέθοδοι ανωτέρων τάξεων, δηλαδή οι μαθητές στην β' γυμνασίου, στην αρχή της β' καλύτερα δεν έχουν διδαχθεί συστήματα συνεπώς δεν μπορούν να την λύσουν την παραπάνω άσκηση με συστήματα, καλύτερα να μην λύνεις θέματα με ύλη μεγαλύτερης τάξης

στην άλλη σου λύση καλύτερα γράψτα όλα με αγγλικούς χαρακτήρες
τα σχήματα άστα πάνω μου

πατώντας το κουμπάκι EqEditor (το 1ο στην ευθεία με το Υποβολη ) μπορείς να βρείς πως γράφονται οι υπόλοιποι ελληνικοί χαρακτήρες με $\displaystyle{\LaTeX}$

αν σου φάνηκαν τα παραπάνω πολλά να ξέρεις ότι είναι πολύ πιο εύκολα εαν τα συνηθίσεις

ΘΑΛΗΣ 2006 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΘΑΛΗΣ 2006 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2006 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2006 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2006 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2006 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2006 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2006 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2006 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2006 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2006 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση