ΘΑΛΗΣ 2000 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

parmenides51 · #1

1. Δίνονται οι παραστάσεις: $\displaystyle{A = (−5)^2 − (−2)^{ -3} : {{\left( -\frac{1}{2} \right)}^{3}}+ (-1)^{1000} , B = [ (−5)^2 − (−2)^3 − 1] : \left[ {{\left( -\frac{1}{2} \right)}^{3}}+\frac{35}{24} \right]}$ .
Να βρείτε τους αριθμούς $\displaystyle{A,B}$ και να συγκρίνετε τους αριθμούς $\displaystyle{\frac{A }{B }}$ και $\displaystyle{\frac{25B}{23A}}$ .

2. Στο σχήμα δίνονται
$\displaystyle{\bullet \left(\varepsilon _1 \right) // \left(\varepsilon _2 \right)}$
$\displaystyle{\bullet}$ το τρίγωνο $\displaystyle{AB \Gamma}$ είναι ισόπλευρο πλευράς $\displaystyle{\alpha}$
$\displaystyle{\bullet \Gamma E\bot A \Gamma }$ και $\displaystyle{A\Delta \bot B \Gamma}$
$\displaystyle{\bullet AE = 2\alpha}$ .
Να βρείτε:
α) Το λόγο $\displaystyle{\frac{\Gamma E }{A\Delta }}$ .
β) Το εμβαδό του τραπεζίου $\displaystyle{A\Delta\Gamma E}$ .

: 8alis 2000 2o.png (10.74 KiB) Προβλήθηκε 2058 φορές

3. Ο θετικός ακέραιος $\displaystyle{\alpha}$ είναι άρτιος και όταν διαιρείται με το $\displaystyle{7}$ δίνει υπόλοιπο $\displaystyle{2}$ . Να βρεθεί ο αριθμός $\displaystyle{\alpha}$ , αν είναι μεταξύ των αριθμών $\displaystyle{512}$ και $\displaystyle{521}$ .

4. Σε μια Βαλκανική συνάντηση Νέων συμμετείχαν $\displaystyle{199}$ παιδιά από $\displaystyle{9}$ διαφορετικές χώρες.
Να αποδείξετε ότι μία τουλάχιστον χώρα είχε στην αποστολή της $\displaystyle{12}$ τουλάχιστον παιδιά του ίδιου φύλου.

parmenides51 · #2

parmenides51 έγραψε:1. Δίνονται οι παραστάσεις: $\displaystyle{A = (−5)^2 − (−2)^{ -3} : {{\left( -\frac{1}{2} \right)}^{3}}+ (-1)^{1000} , B = [ (−5)^2 − (−2)^3 − 1] : \left[ {{\left( -\frac{1}{2} \right)}^{3}}+\frac{35}{24} \right]}$ .
Να βρείτε τους αριθμούς $\displaystyle{A,B}$ και να συγκρίνετε τους αριθμούς $\displaystyle{\frac{A }{B }}$ και $\displaystyle{\frac{25B}{23A}}$ .

$\displaystyle{A = (−5)^2 − (−2)^{ -3} : {{\left( -\frac{1}{2} \right)}^{3}}+ (-1)^{1000}}$
$\displaystyle{A = +5^2 − {{\left( -\frac{1}{2} \right)}^{3}} : {{\left( -\frac{1}{2} \right)}^{3}}+ 1^{1000}}$
$\displaystyle{A = 25 − 1+ 1}$
$\displaystyle{A = 25 }$

$\displaystyle{B = [ (−5)^2 − (−2)^3 − 1] : \left[ {{\left( -\frac{1}{2} \right)}^{3}}+\frac{35}{24} \right]}$
$\displaystyle{B = [ 5^2 − (−2^3) − 1] : \left[ -{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{3}}+\frac{35}{24} \right]}$
$\displaystyle{B = [ 25 − (−8) − 1] : \left[ - \frac{1^3}{2^3}+\frac{35}{24} \right]}$
$\displaystyle{B = (25+8− 1) : \left( - \frac{1}{8}+\frac{35}{24} \right)}$
$\displaystyle{B = 33 : \left( - \frac{1\cdot 3}{8\cdot 3}+\frac{35}{24} \right)}$
$\displaystyle{B = 33 : \left( - \frac{3}{24}+\frac{35}{24} \right)}$
$\displaystyle{B = 33 : \left(- \frac{33}{24} \right)}$
$\displaystyle{B = \frac{33}{1}\cdot \left( - \frac{24}{33} \right)}$
$\displaystyle{B = -\frac{33 \cdot 24}{1 \cdot 33}}$
$\displaystyle{B = -24$

$\displaystyle{\frac{A }{B }=\frac{25 }{-24}=-\frac{25 }{24}}$

$\displaystyle{\frac{25B}{23A}=\frac{25 \cdot (- 24)}{23 \cdot 24}=-\frac{25 }{23}}$ .

$\displaystyle{\frac{25 }{23} >\frac{25 }{24} \mathop {\Leftrightarrow}\limits^{-1<0}-\frac{25 }{23} <-\frac{25 }{24} \Leftrightarrow \frac{25B}{23A}<\frac{A }{B }}$

parmenides51 έγραψε:3. Ο θετικός ακέραιος $\displaystyle{\alpha}$ είναι άρτιος και όταν διαιρείται με το $\displaystyle{7}$ δίνει υπόλοιπο $\displaystyle{2}$ . Να βρεθεί ο αριθμός $\displaystyle{\alpha}$ , αν είναι μεταξύ των αριθμών $\displaystyle{512}$ και $\displaystyle{521}$ .

εδώ

#3

parmenides51 έγραψε:4. Σε μια Βαλκανική συνάντηση Νέων συμμετείχαν $\displaystyle{199}$ παιδιά από $\displaystyle{9}$ διαφορετικές χώρες.
Να αποδείξετε ότι μία τουλάχιστον χώρα είχε στην αποστολή της $\displaystyle{12}$ τουλάχιστον παιδιά του ίδιου φύλου.

Ας υποθέσουμε ότι καμία χώρα δεν είχε στην αποστολή της περισσότερα από $\displaystyle{12}$ άτομα του ίδιου φύλου. Τότε ακόμη και άν όλες οι χώρες είχαν από $\displaystyle{11}$ αγόρια και $\displaystyle{11}$ κορίτσια, τα παιδιά συνολικά θα ήταν $\displaystyle{9.22=198}$ . Όμως είναι
$\displaystyle{199}$ . Άρα τουλάχιστον μια χώρα, θα είχε $\displaystyle{12}$ τουλάχιστον παιδιά του ίδιου φύλου.

regovia · #4

Θέμα 3:

Στόχος είναι να εντοπίσω το τελευταίο πολλαπλάσιο του

ακριβώς πριν το διάστημα αριθμών που με ενδιαφέρει. (Εδώ, το 512 - 521

)
Εύκολα διαπιστώνουμε ότι το $49 \times 10 = 490$ είναι πολλαπλάσιο του

άρα το

είναι το πιο «κοντινό» στο 512

πολλαπλάσιο του

Οι αριθμοί λοιπόν μεταξύ των 512

και

που αφήνουν υπόλοιπο

όταν διαιρεθούν με το

θα είναι οι:
511 + 2 = 513

, και

Ο

είναι άρτιος, άρα α = 520.

#5

parmenides51 έγραψε:2. Στο σχήμα δίνονται
$\displaystyle{\bullet \left(\varepsilon _1 \right) // \left(\varepsilon _2 \right)}$
$\displaystyle{\bullet}$ το τρίγωνο $\displaystyle{AB \Gamma}$ είναι ισόπλευρο πλευράς $\displaystyle{\alpha}$
$\displaystyle{\bullet \Gamma E\bot A \Gamma }$ και $\displaystyle{A\Delta \bot B \Gamma}$
$\displaystyle{\bullet AE = 2\alpha}$ .
Να βρείτε:
α) Το λόγο $\displaystyle{\frac{\Gamma E }{A\Delta }}$ .
β) Το εμβαδό του τραπεζίου $\displaystyle{A\Delta\Gamma E}$ .

Eίναι χρήσιμο να γνωρίζουμε ότι το ύψος ισοπλεύρου τριγώνου πλευράς $\displaystyle{a}$ , είναι ίσο με $\displaystyle{\frac{a\sqrt{3}}{2}}$

(ενώ το εβαδόν του , που βέβαια στην άσκηση αυτή δεν μας χρειάζεται, είναι $\displaystyle{\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}}$ )

Άρα $\displaystyle{A\Delta =\frac{a\sqrt{3}}{2}}$ , ενώ από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο $\displaystyle{A\Gamma E}$ , έχουμε:

$\displaystyle{\Gamma E^2 =(2a)^2 -a^2\Rightarrow \Gamma E=a\sqrt{3}}$

Άρα $\displaystyle{\frac{\Gamma E}{AD}=\frac{a\sqrt{3}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=2}$

Και $\displaystyle{(A\Delta \Gamma E)=\frac{(AE+\Delta \Gamma).A\Delta }{2}=\frac{\frac{5a}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{2}}{2}=}$

$\displaystyle{=\frac{5a^2 \sqrt{3}}{8}}$

: 8alis%202000%202o.png (10.74 KiB) Προβλήθηκε 1890 φορές

parmenides51 · #6

parmenides51 έγραψε:2. Στο σχήμα δίνονται
$\displaystyle{\bullet \left(\varepsilon _1 \right) // \left(\varepsilon _2 \right)}$
$\displaystyle{\bullet}$ το τρίγωνο $\displaystyle{AB \Gamma}$ είναι ισόπλευρο πλευράς $\displaystyle{\alpha}$
$\displaystyle{\bullet \Gamma E\bot A \Gamma }$ και $\displaystyle{A\Delta \bot B \Gamma}$
$\displaystyle{\bullet AE = 2\alpha}$ .
Να βρείτε:
α) Το λόγο $\displaystyle{\frac{\Gamma E }{A\Delta }}$ .
β) Το εμβαδό του τραπεζίου $\displaystyle{A\Delta\Gamma E}$ .

: 8alis 2002 2o.png (12.29 KiB) Προβλήθηκε 1847 φορές

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:Είναι χρήσιμο να γνωρίζουμε ότι το ύψος ισοπλεύρου τριγώνου πλευράς $\displaystyle{a}$ , είναι ίσο με $\displaystyle{\frac{a\sqrt{3}}{2}}$

(ενώ το εμβαδόν του , που βέβαια στην άσκηση αυτή δεν μας χρειάζεται, είναι $\displaystyle{\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}}$ )

Άρα $\displaystyle{A\Delta =\frac{a\sqrt{3}}{2}}$ , ενώ από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο $\displaystyle{A\Gamma E}$ , έχουμε:

$\displaystyle{\Gamma E^2 =(2a)^2 -a^2\Rightarrow \Gamma E=a\sqrt{3}}$

Άρα $\displaystyle{\frac{\Gamma E}{AD}=\frac{a\sqrt{3}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=2}$

Και $\displaystyle{(A\Delta \Gamma E)=\frac{(AE+\Delta \Gamma).A\Delta }{2}=\frac{\frac{5a}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{2}}{2}=}$

$\displaystyle{=\frac{5a^2 \sqrt{3}}{8}}$

Υ.Γ. Το δεδομένο $\displaystyle{ AE = 2\alpha}$ είναι περιττό, μπορούσε να προκύψει από $\displaystyle{\eta \mu 30^o}$ στο τρίγωνο $\displaystyle{AE\Gamma}$ .

ΘΑΛΗΣ 2000 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΘΑΛΗΣ 2000 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2000 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2000 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2000 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2000 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2000 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση