ΘΑΛΗΣ 2000 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

parmenides51 · #1

1. Το τριπλάσιο ενός αριθμού αυξημένο κατά $\displaystyle{18}$ ισούται με το τετράγωνο του αριθμού. Να βρεθεί ο αριθμός.

2. α) Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τετραπλεύρου $\displaystyle{AB\Gamma\Delta }$ ισούται με $\displaystyle{360^o}$ .
β) Τετραπλεύρου $\displaystyle{AB\Gamma\Delta }$ οι εξωτερικές γωνίες $\displaystyle{\widehat{A_{\varepsilon \xi} },\widehat{B_{\varepsilon \xi} },\widehat{\Gamma_{\varepsilon \xi} },\widehat{\Delta _{\varepsilon \xi} }}$ είναι ανάλογες προς τους αριθμούς $\displaystyle{6, 8, 10, 12,}$ αντιστοίχως.
Να βρεθεί το είδος του τετραπλεύρου.

3. Σε μια τάξη Λυκείου διοργανώθηκε πρωτάθλημα σκακιού. Την πρώτη μέρα έγιναν μόνο κάποιοι αγώνες στους οποίους οι δυο αντίπαλοι ήταν ένα αγόρι και ένα κορίτσι. Στους αγώνες αυτούς της πρώτης μέρας πήραν μέρος τα $\displaystyle{\frac{3}{4}}$ του αριθμού των αγοριών της τάξης και τα $\displaystyle{\frac{2}{3}}$ του αριθμού των κοριτσιών της τάξης.
Αν η τάξη έχει συνολικά $\displaystyle{34}$ παιδιά, να βρείτε:
α) πόσα αγόρια και πόσα κορίτσια έχει η τάξη.
β) πόσα παιδιά δεν πήραν μέρος την πρώτη μέρα στους αγώνες.

4. Οι δυο διαστάσεις ενός ορθογωνίου είναι οι θετικοί ακέραιοι $\displaystyle{x}$ και $\displaystyle{y}$ . Αν αυξήσουμε τη μια διάσταση κατά $\displaystyle{1}$ και την άλλη διάσταση κατά $\displaystyle{2}$ ,
τότε το ορθογώνιο που προκύπτει έχει εμβαδό διπλάσιο του αρχικού ορθογωνίου. Να βρεθούν οι διαστάσεις $\displaystyle{x}$ και $\displaystyle{y}$ .

#2

parmenides51 έγραψε:4. Οι δυο διαστάσεις ενός ορθογωνίου είναι οι θετικοί ακέραιοι $\displaystyle{x}$ και $\displaystyle{y}$ . Αν αυξήσουμε τη μια διάσταση κατά $\displaystyle{1}$ και την άλλη διάσταση κατά $\displaystyle{2}$ ,
τότε το ορθογώνιο που προκύπτει έχει εμβαδό διπλάσιο του αρχικού ορθογωνίου. Να βρεθούν οι διαστάσεις $\displaystyle{x}$ και $\displaystyle{y}$ .

Με βάση το πρόβλημα, έχουμε:

$\displaystyle{(x+1)(y+2)=2xy\Leftrightarrow xy-y-2x=2\Leftrightarrow x(y-2)-y=2\Leftrightarrow x(y-2)-y+2=4\Leftrightarrow}$

$\displaystyle{x(y-2)-(y-2)=4\Leftrightarrow (x-1)(y-2)=4}$ . Aφού όμως τα x,y

είναι θετικοί ακέραιοι αριθμοί, θα είναι

$\displaystyle{x-1>0}$ ,(η περίπτωση $\displaystyle{x-1=0}$ προφανώς απορρίπτεται). Άρα θα είναι και $\displaystyle{y-2>0}$ και συνεπώς θα πρέπει:

$\displaystyle{x-1=1 , y-2=4}$ , ή $\displaystyle{x-1=2 , y-2=2}$ , ή $\displaystyle{x-1=4 , y-2=1}$ . Δηλαδή:

$\displaystyle{(x=2 , y=6)}$ , ή $\displaystyle{(x=3 , y=4)}$ , ή $\displaystyle{(x=5 , y=3)}$

Garfield · #3

parmenides51 έγραψε:1. Το τριπλάσιο ενός αριθμού αυξημένο κατά $\displaystyle{18}$ ισούται με το τετράγωνο του αριθμού. Να βρεθεί ο αριθμός.

Έστω

ο ζητούμενος αριθμός. Τότε σύμφνωνα με το πρόβλημα έχουμε: $\displaystyle{ 3x+18 = x^{2} }$

Έτσι έχουμε να λύσουμε την παραπάνω εξίσωση, δηλαδή $\displaystyle{ 3x+18 = x^{2} } \Longleftrightarrow x^{2} -3x-18 = 0 \Longleftrightarrow (x-6)(x-3)=0 \Longleftrightarrow \boxed{x=6} \quad }$ ή $\displaystyle{ \quad \boxed{x=-3} }$

parmenides51 έγραψε: 3. Σε μια τάξη Λυκείου διοργανώθηκε πρωτάθλημα σκακιού. Την πρώτη μέρα έγιναν μόνο κάποιοι αγώνες στους οποίους οι δυο αντίπαλοι ήταν ένα αγόρι και ένα κορίτσι. Στους αγώνες αυτούς της πρώτης μέρας πήραν μέρος τα $\displaystyle{\frac{3}{4}}$ του αριθμού των αγοριών της τάξης και τα $\displaystyle{\frac{2}{3}}$ του αριθμού των κοριτσιών της τάξης.
Αν η τάξη έχει συνολικά $\displaystyle{34}$ παιδιά, να βρείτε:
α) πόσα αγόρια και πόσα κορίτσια έχει η τάξη.
β) πόσα παιδιά δεν πήραν μέρος την πρώτη μέρα στους αγώνες.

Έστω $x \quad$ και $\quad y$ ο αριθμός των αγοριών και των κοριτσιών της τάξης αντίστοιχα. Τότε από το πρόβλημα έχουμε ότι: $\displaystyle{ x+y=34 \quad (1)}$ . Ακόμη επειδή σε κάθε αγώνα (της πρώτης μέρας) επειδή οι δυο αντίπαλοι ήταν ένα αγόρι και ένα κορίτσι έχουμε ότι ο αριθμός των αγοριών που έπαιξαν είναι ίσος με τον αριθμό των κοριτσιών που έπαιξαν. Άρα από το πρόβλημα έχουμε ότι $\displaystyle{ \frac{3}{4}x = \frac{2}{3} y \quad (2)}$

Με αντικατάσταση της (1)

στην

έχουμε: $\displaystyle{ \frac{3}{4}x = \frac{2}{3} (34-x) \Longleftrightarrow 9x = 8(34-x) \Longleftrightarrow 17x =272 \Longleftrightarrow \boxed{x=16} }$

και άρα η (1)

μας δίνει $\displaystyle{ \boxed{y=18}}$ .

(β) Το πλήθος των παιδιών που δεν πήραν μέρος την πρώτη μέρα των αγώνων είναι: $\displaystyle{ 34 -\frac{3}{4} \cdot 16 - \frac{2}{3} \cdot 18 = \boxed{10} }$

#4

parmenides51 έγραψε:2. α) Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τετραπλεύρου $\displaystyle{AB\Gamma\Delta }$ ισούται με $\displaystyle{360^o}$ .
β) Τετραπλεύρου $\displaystyle{AB\Gamma\Delta }$ οι εξωτερικές γωνίες $\displaystyle{\widehat{A_{\varepsilon \xi} },\widehat{B_{\varepsilon \xi} },\widehat{\Gamma_{\varepsilon \xi} },\widehat{\Delta _{\varepsilon \xi} }}$ είναι ανάλογες προς τους αριθμούς $\displaystyle{6, 8, 10, 12,}$ αντιστοίχως.
Να βρεθεί το είδος του τετραπλεύρου.

(α) Φέρνουμε μια διαγώνιο του τετραπλεύρου, και έτσι δημιουργούνται δύο τρίγωνα, οπότε αφού σε κάθε τρίγωνο το άθροισμα των γωνιών του είναι ίσο με 180^o

, εύκολα δείχνουμε ότι το τετράπλευρο έχει άθροισμα γωνιών 360^o

(β) Κάθε εξωτερική γωνία οποιουδήποτε κυρτού πολυγώνου ισούται με 180^o

, μείον την αντίστοιχη εσωτερική του γωνία.

Με βάση λοιπόν την εκφώνηση, έχουμε:

$\displaystyle{\frac{180^o -A}{6}=\frac{180^o -B}{8}=\frac{180^o -\Gamma}{10}=\frac{180^o -\Delta}{12}=}$

$\displaystyle{=\frac{180^o -A+180^o -B+180^o -\Gamma +180^o -\Delta}{6+8+10+12}=}$

$\displaystyle{=\frac{4.180 -(A+B+\Gamma +\Delta)}{36}=10}$

Άρα $\displaystyle{\frac{180^o -A}{6}=10\Leftrightarrow A=120^o}$ και ομοίως, $\displaystyle{B=100^o}$ , $\displaystyle{\Gamma =80^o}$ , και $\displaystyle{\Delta =60^o}$ .

Αφού οι γωνίες $A , \Delta$ , (όπως και οι $B , \Gamma$ ), είναι παραπληρωματικές, συμπεραίνουμε ότι το τετράπλευρο
$\displaystyle{AB\Gamma \Delta}$ , είναι (μη ισοσκελές) τραπέζιο

parmenides51 · #5

parmenides51 έγραψε:4. Οι δυο διαστάσεις ενός ορθογωνίου είναι οι θετικοί ακέραιοι $\displaystyle{x}$ και $\displaystyle{y}$ . Αν αυξήσουμε τη μια διάσταση κατά $\displaystyle{1}$ και την άλλη διάσταση κατά $\displaystyle{2}$ ,
τότε το ορθογώνιο που προκύπτει έχει εμβαδό διπλάσιο του αρχικού ορθογωνίου. Να βρεθούν οι διαστάσεις $\displaystyle{x}$ και $\displaystyle{y}$ .

διαφορετικά εδώ

ΘΑΛΗΣ 2000 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΑΛΗΣ 2000 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2000 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2000 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2000 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2000 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση