ΘΑΛΗΣ 2002 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

parmenides51 · #1

1. Θεωρούμε τετράγωνο πλευράς $\displaystyle{\alpha}$ , με $\displaystyle{\alpha > 1}$ . Το τετράγωνο που έχει πλευρά κατά $\displaystyle{1}$ μικρότερη του $\displaystyle{\alpha}$ , έχει περίμετρο ίση αριθμητικά προς το εμβαδό του αρχικού τετραγώνου. Να βρεθεί η πλευρά $\displaystyle{\alpha}$ .

2. Οι αριθμοί $\displaystyle{x,y,z,w}$ έχουν την ιδιότητα:
Αν προσθέσουμε τρεις οποιουσδήποτε από αυτούς και από το άθροισμα που θα προκύψει αφαιρέσουμε τον αριθμό $\displaystyle{5}$ , προκύπτει πάντοτε ο αριθμός $\displaystyle{2002}$ .
Να υπολογίσετε το άθροισμα $\displaystyle{x+y+z+w}$ .

3. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται οικόπεδο $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ σχήματος ορθογωνίου με πλευρές $\displaystyle{AB = \alpha}$ και $\displaystyle{B\Gamma = \beta}$ . Από το οικόπεδο θα κοπούν δυο δρόμοι $\displaystyle{EZH\Theta }$ και $\displaystyle{AIK\Lambda}$ . Ο δρόμος $\displaystyle{EZH\Theta }$ σχήματος ορθογωνίου έχει πλάτος $\displaystyle{ZH = y}$ , ενώ ο δρόμος $\displaystyle{AIK\Lambda}$ σχήματος παραλληλογράμμου έχει πλευρά $\displaystyle{AI = x}$ .
α) Να εκφράσετε το εμβαδό του οικοπέδου που απομένει μετά την αποκοπή των δυο δρόμων, ως συνάρτηση των $\displaystyle{\alpha, \beta, x}$ και $\displaystyle{y}$ .
β) Να εκφράσετε το πλάτος $\displaystyle{d}$ του δρόμου $\displaystyle{AIK\Lambda}$ ως συνάρτηση του $\displaystyle{x}$ , αν είναι γνωστό ότι $\displaystyle{\widehat{\Delta A\Lambda } = 30^o}$ .

: 8alis 2002 3o.png (5.9 KiB) Προβλήθηκε 1695 φορές

4. Μπορούμε να παραστήσουμε τον αριθμό $\displaystyle{2002}$ ως άθροισμα ενός τριψήφιου αριθμού και του κύβου του αθροίσματος των ψηφίων του αριθμού αυτού;

parmenides51 · #2

parmenides51 έγραψε:1. Θεωρούμε τετράγωνο πλευράς $\displaystyle{\alpha}$ , με $\displaystyle{\alpha > 1}$ . Το τετράγωνο που έχει πλευρά κατά $\displaystyle{1}$ μικρότερη του $\displaystyle{\alpha}$ , έχει περίμετρο ίση αριθμητικά προς το εμβαδό του αρχικού τετραγώνου. Να βρεθεί η πλευρά $\displaystyle{\alpha}$ .

εδώ

parmenides51 έγραψε:2. Οι αριθμοί $\displaystyle{x,y,z,w}$ έχουν την ιδιότητα:
Αν προσθέσουμε τρεις οποιουσδήποτε από αυτούς και από το άθροισμα που θα προκύψει αφαιρέσουμε τον αριθμό $\displaystyle{5}$ , προκύπτει πάντοτε ο αριθμός $\displaystyle{2002}$ .
Να υπολογίσετε το άθροισμα $\displaystyle{x+y+z+w}$ .

εδώ

#3

parmenides51 έγραψε:4. Μπορούμε να παραστήσουμε τον αριθμό $\displaystyle{2002}$ ως άθροισμα ενός τριψήφιου αριθμού και του κύβου του αθροίσματος των ψηφίων του αριθμού αυτού;

Ας υποθέσουμε ότι ο 2002

, μπορεί να παρασταθεί με τον τρόπο που θέλουμε.

Τότε $\displaystyle{2002=xyw+(x+y+w)^3}$ , όπου ο $\displaystyle{xyw}$ , είναι τριψήφιος αριθμός.

Αφού ο αριθμός $\displaystyle{xyw}$ είναι τριψήφιος, θα έχουμε ότι $\displaystyle{100\leq xyw \leq 1000\Rightarrow}$

$\displaystyle{-100\geq -xyw\geq -1000\Rightarrow 2002-100\geq 2002-xyw\geq 2002-1000\Rightarrow}$

$\displaystyle{1902\geq (x+y+w)^3 \geq 1002}$

Παρατηρούμε ότι:

$\displaystyle{10^3 =1000<1002}$

$\displaystyle{11^3 =1331}$

$\displaystyle{12^3 =1728}$

$\displaystyle{13^3 =2197>1902}$

Άρα οι μόνες δυνατές τιμές που μπορεί να πάρει ο αριθμός $\displaystyle{(x+y+w)^3}$ , είναι οι $\displaystyle{11^3}$ και $\displaystyle{12^3}$ .

Aν λοιπόν $\displaystyle{x+y+w=11}$ , τότε θα έχουμε: $\displaystyle{2002=xyw+11^3\Rightarrow 2002=xyw-1331\Rightarrow}$

$\displaystyle{xyw=671}$ . Άρα $\displaystyle{x=6, y=7 , w=1}$ , πράγμα άτοπο, αφού πρέπει $\displaystyle{x+y+w=11}$

Aν πάλι $\displaystyle{x+y+w=12}$ , όμοια καταλήγουμε σε άτοπο.

Άρα δεν μπορεί να γραφεί ο αριθμός $\displaystyle{2002}$ , με τον τρόπο που ζητάει η άσκηση.

#4

parmenides51 έγραψε:3. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται οικόπεδο $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ σχήματος ορθογωνίου με πλευρές $\displaystyle{AB = \alpha}$ και $\displaystyle{B\Gamma = \beta}$ . Από το οικόπεδο θα κοπούν δυο δρόμοι $\displaystyle{EZH\Theta }$ και $\displaystyle{AIK\Lambda}$ . Ο δρόμος $\displaystyle{EZH\Theta }$ σχήματος ορθογωνίου έχει πλάτος $\displaystyle{ZH = y}$ , ενώ ο δρόμος $\displaystyle{AIK\Lambda}$ σχήματος παραλληλογράμμου έχει πλευρά $\displaystyle{AI = x}$ .
α) Να εκφράσετε το εμβαδό του οικοπέδου που απομένει μετά την αποκοπή των δυο δρόμων, ως συνάρτηση των $\displaystyle{\alpha, \beta, x}$ και $\displaystyle{y}$ .
β) Να εκφράσετε το πλάτος $\displaystyle{d}$ του δρόμου $\displaystyle{AIK\Lambda}$ ως συνάρτηση του $\displaystyle{x}$ , αν είναι γνωστό ότι $\displaystyle{\widehat{\Delta A\Lambda } = 30^o}$ .

(a) To ζητούμενο εμβαδόν θα το βρούμε, αν από το εμβαδόν του ορθογωνίου $\displaystyle{AB\Gamma \Delta}$ , αφαιρέσουμε το εμβαδόν των δύο δρόμων αλλά επειδή η τομή των δύο δρόμων θα αφαιρεθεί δύο φορές, πρέπει να προσθέσουμε το εμβαδόν αυτής της τομής, ώστε τελικά να αφαιρεθεί μόνο μία φορά.
Με βάση τα παραπάνω, έχουμε:

$\displaystyle{E=(AB\Gamma \Delta) -(\Theta EZH)-(AI\Lambda K)+E_{1}}$ , όπου με $\displaystyle{E_{1}}$ , συμβολίσαμε το εμβαδόν της τομής των δύο δρόμων.

Άρα: $\displaystyle{E=ab-ay-x\beta +xy}$

(b) Από το σημείο $\displaystyle{I}$ , φέρνουμε την κάθετο $\displaystyle{IT}$ , πάνω στην $\displaystyle{A\Lambda}$ . Tότε από το ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{AIT}$ ,

έχουμε: $\displaystyle{\eta \mu(\widehat{IAT})=\frac{IT}{x}}$ . Αφού όμως $\displaystyle{\widehat{\Lambda A\Delta}=30^{o}}$ , άρα

$\displaystyle{\widehat{IAT}=60^{o}}$ . Συνεπώς θα έχουμε: $\displaystyle{\eta \mu60 =\frac{IT}{x}\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{IT}{x}}$

$\displaystyle{\Rightarrow IT=\frac{x\sqrt{3}}{2}}$

: 8alis%202002%203o.png (5.9 KiB) Προβλήθηκε 1574 φορές

parmenides51 · #5

parmenides51 έγραψε:3. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται οικόπεδο $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ σχήματος ορθογωνίου με πλευρές $\displaystyle{AB = \alpha}$ και $\displaystyle{B\Gamma = \beta}$ . Από το οικόπεδο θα κοπούν δυο δρόμοι $\displaystyle{EZH\Theta }$ και $\displaystyle{AIK\Lambda}$ . Ο δρόμος $\displaystyle{EZH\Theta }$ σχήματος ορθογωνίου έχει πλάτος $\displaystyle{ZH = y}$ , ενώ ο δρόμος $\displaystyle{AIK\Lambda}$ σχήματος παραλληλογράμμου έχει πλευρά $\displaystyle{AI = x}$ .
α) Να εκφράσετε το εμβαδό του οικοπέδου που απομένει μετά την αποκοπή των δυο δρόμων, ως συνάρτηση των $\displaystyle{\alpha, \beta, x}$ και $\displaystyle{y}$ .
β) Να εκφράσετε το πλάτος $\displaystyle{d}$ του δρόμου $\displaystyle{AIK\Lambda}$ ως συνάρτηση του $\displaystyle{x}$ , αν είναι γνωστό ότι $\displaystyle{\widehat{\Delta A\Lambda } = 30^o}$ .

: 8alis 2002 3o.png (10.06 KiB) Προβλήθηκε 1546 φορές

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:(a) To ζητούμενο εμβαδόν θα το βρούμε, αν από το εμβαδόν του ορθογωνίου $\displaystyle{AB\Gamma \Delta}$ , αφαιρέσουμε το εμβαδόν των δύο δρόμων αλλά επειδή η τομή των δύο δρόμων θα αφαιρεθεί δύο φορές, πρέπει να προσθέσουμε το εμβαδόν αυτής της τομής, ώστε τελικά να αφαιρεθεί μόνο μία φορά.
Με βάση τα παραπάνω, έχουμε:

$\displaystyle{E=(AB\Gamma \Delta) -(\Theta EZH)-(AI\Lambda K)+E_{1}}$ , όπου με $\displaystyle{E_{1}}$ , συμβολίσαμε το εμβαδόν της τομής των δύο δρόμων.

Άρα: $\displaystyle{E=ab-ay-x\beta +xy}$

(b) Από το σημείο $\displaystyle{I}$ , φέρνουμε την κάθετο $\displaystyle{IT}$ , πάνω στην $\displaystyle{A\Lambda}$ . Tότε από το ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{AIT}$ ,

έχουμε: $\displaystyle{\eta \mu(\widehat{IAT})=\frac{IT}{x}}$ . Αφού όμως $\displaystyle{\widehat{\Lambda A\Delta}=30^{o}}$ , άρα

$\displaystyle{\widehat{IAT}=60^{o}}$ . Συνεπώς θα έχουμε: $\displaystyle{\eta \mu60 =\frac{IT}{x}\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{IT}{x}}$

$\displaystyle{\Rightarrow IT=\frac{x\sqrt{3}}{2}}$

ΘΑΛΗΣ 2002 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΑΛΗΣ 2002 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2002 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2002 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2002 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2002 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση