ΘΑΛΗΣ 2005 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

#1

1. Έστω $\displaystyle{k}$ μη μηδενικός πραγματικός αριθμός και $\displaystyle{(a_{\nu})}$ μια ακολουθία θετικών αριθμών τέτοιων ώστε να ισχύει :

$\displaystyle{(a_{\nu +1})^2 +a_{\nu +1} =k((a_{\nu})^2 +a_{\nu})+(k-1)a_{\nu +1}a_{\nu}}$ , για κάθε $\displaystyle{\nu}$ θετικό ακέραιο.

Να αποδειχθεί ότι η ακολουθία $\displaystyle{(a_{\nu})}$ είναι γεωμετρική πρόοδος

2. Για ακεραίους

και

, να αποδειχθεί ότι αν ο αριθμός m^2 +28mn +n^2

διαιρείται δια

, τότε και ο αριθμός m^3 +n^3

διαιρείται διά του

3. Έστω

, μια κυρτή γωνία ,

εσωτερικό σημείο της και

ο κύκλος που διέρχεται από τα σημεία O , P

και τέμνει τις OX , OY

΄αντίστοιχα στα σημσία

και

, διαφορετικά από το

. Nα αποδείξετε ότι ο λόγος:

$\frac{AB}{PA+PB}$ , είναι σταθερός για οποιαδήποτε θέση του κύκλου

.

4. Για πραγματικούς αριθμούς $\displaystyle{a , b , c , x}$ , τέτοιους ώστε $\displaystyle{a<b , c<b, x>\frac{a+c}{2}}$ , να αποδειχθεί ότι:

$\displaystyle{\frac{x-c}{b-a}+\frac{x-a}{b-c}+\frac{b-x}{2x-a-c}\geq \frac{3}{2}.}$

#2

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:
3. Έστω , μια κυρτή γωνία , εσωτερικό σημείο της και ο κύκλος που διέρχεται από τα σημεία και τέμνει τις ΄αντίστοιχα στα σημσία και , διαφορετικά από το . Nα αποδείξετε ότι ο λόγος:

Ας είναι $\displaystyle{ \widehat{xOP} = \hat \phi ,\,\,\widehat{POy} = \hat \theta \, }$ τότε από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο $\displaystyle{ AOBP }$ είναι: $\displaystyle{ \boxed{\widehat{ABP} = \widehat{AOP} = \hat \phi \,,\,\,\,\widehat{PAB} = \widehat{POB} = \hat \theta ,\,\,\,\widehat{APB} = 180^0 - \left( {\hat \phi + \hat \theta } \right)}:\left( 1 \right) }$
[attachment=0]1.png[/attachment]
Από τον νόμο των ημιτόνων στο τρίγωνο $\displaystyle{ \vartriangle ABP }$ είναι:

$\displaystyle{ \frac{{AB}} {{\eta \mu \widehat{APB}}} = \frac{{PA}} {{\eta \mu \widehat{ABP}}} = \frac{{PB}} {{\eta \mu \widehat{PAB}}}\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)} \frac{{AB}} {{\eta \mu \left( {\phi + \theta } \right)}} = \frac{{PA}} {{\eta \mu \phi }} = \frac{{PB}} {{\eta \mu \theta }} = \frac{{PA + PB}} {{\eta \mu \phi + \eta \mu \theta }} \Rightarrow \boxed{\frac{{AB}} {{PA + PB}} = \frac{{\eta \mu \left( {\phi + \theta } \right)}} {{\eta \mu \phi + \eta \mu \theta }} = ct} }$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης

Υ.Σ. Στην ουσία το τρίγωνο $\displaystyle{ \vartriangle ABP }$ παραμένει όμοιο προς τον εαυτό του για κάθε κύκλο $\displaystyle{ \left( C \right) }$ όπως ορίζεται πιο πάνω

#3

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:
2. Για ακεραίους και , να αποδειχθεί ότι αν ο αριθμός διαιρείται δια , τότε και ο αριθμός διαιρείται διά του

$\displaystyle{ m^2 + 28mn + n^2 = 13k \Rightarrow m^2 + 2mn + n^2 = 13k - 26mn \Rightarrow \left( {m + n} \right)^2 = 13\left( {k - 2mn} \right) \Rightarrow 13/\left( {m + n} \right)^2 }$ $\displaystyle{ \mathop \Rightarrow \limits^{13\,\,\pi \rho \omega \tau o\varsigma } 13/\left( {m + n} \right) \Rightarrow }$

$\displaystyle{ 13/\left[ {\left( {m + n} \right)\left( {m^2 - mn + n^2 } \right)} \right] \Rightarrow \boxed{13/\left( {m^3 + n^3 } \right)} }$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης

S.E.Louridas · #4

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:Για πραγματικούς αριθμούς $\displaystyle{a , b , c , x}$ , τέτοιους ώστε $\displaystyle{a<b , c<b, x>\frac{a+c}{2}}$ , να αποδειχθεί ότι:

$\displaystyle{\frac{x-c}{b-a}+\frac{x-a}{b-c}+\frac{b-x}{2x-a-c}\geq \frac{3}{2}.}$

Αρκεί να αποδείξουμε
$\frac{{x - c}} {{b - x + x - a}} + \frac{{x - a}} {{b - x + x - c}} + \frac{{b - x}} {{x - a + x - c}} \geqslant \frac{3}{2}.}$ που ισχύει.

#5

Στάθη, καλησπέρα. Θα σου κλέψω το σχήμα, και θα γράψω μια παρόμοια λύση, χωρίς τριγωνομετρία.

Αφού το τρίγωνο $\displaystyle{ABP}$ , έχει όπως εύκολα απέδειξε ο Στάθης τις γωνίες του σταθερές, τότε κατασκευάζοντας ένα τρίγωνο $\displaystyle{KLM}$ με σταθερά μήκη πλευρών και γωνίες $\displaystyle{K=\theta , L=\phi ,}$ , θα έχουμε ότι τα τρίγωνα $\displaystyle{ABP}$ και
$\displaystyle{KLM}$ είναι όμοια. Άρα :

$\displaystyle{\frac{PA}{AB}=\frac{MK}{KL}}$

$\displaystyle{\frac{PB}{AB}=\frac{ML}{KL}}$

Προσθέτοντας τις πιο πάνω σχέσεις, έχω: $\displaystyle{\frac{PA+PB}{AB}=\frac{MK+ML}{KL}\Rightarrow}$

$\displaystyle{\frac{AB}{PA+PB}=\frac{KL}{MK+ML}=}$ σταθερό.

#6

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε: 4. Για πραγματικούς αριθμούς $\displaystyle{a , b , c , x}$ , τέτοιους ώστε $\displaystyle{a<b , c<b, x>\frac{a+c}{2}}$ , να αποδειχθεί ότι:

$\displaystyle{\frac{x-c}{b-a}+\frac{x-a}{b-c}+\frac{b-x}{2x-a-c}\geq \frac{3}{2}.}$

Ο Σωτήρης χρησιμοποιεί την ανισότητα Nesbitt.

Ουσιαστικά, η παρακάτω απόδειξη αποδεικνύει την ανισότητα αυτή.

Θέτουμε

$\displaystyle{b-a=k>0,~b-c=l>0,~2x-a-c=m>0.}$

Προσθέτουμε τις πρώτες δύο και μετά αφαιρούμε την τρίτη, οπότε βρίσκουμε

$\displaystyle{b-x=\frac{k+l-m}{2}.}$

Από αυτή και τις δύο πρώτες προκύπτει

$\displaystyle{x-a=\frac{k+m-l}{2},~x-c=\frac{l+m-k}{2}.}$

Τώρα, η αποδεικτέα γίνεται

$\displaystyle{\frac{l+m-k}{2k}+\frac{k+m-l}{2l}+\frac{k+l-m}{2m}\geq \frac{3}{2},}$

δηλαδή

$\displaystyle{\sum \Big(\frac{k}{l}+\frac{l}{k}\Big)\geq 6,}$

η οποία φανερά ισχύει.

sokratis lyras · #7

Λάθος στο latex.

sokratis lyras · #8

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:1. Έστω $\displaystyle{k}$ μη μηδενικός πραγματικός αριθμός και $\displaystyle{(a_{\nu})}$ μια ακολουθία θετικών αριθμών τέτοιων ώστε να ισχύει :

$\displaystyle{(a_{\nu +1})^2 +a_{\nu +1} =k((a_{\nu})^2 +a_{\nu})+(k-1)a_{\nu +1}a_{\nu}}$ , για κάθε $\displaystyle{\nu}$ θετικό ακέραιο.

Να αποδειχθεί ότι η ακολουθία $\displaystyle{(a_{\nu})}$ είναι γεωμετρική πρόοδος

Για $x=a_{n+1},y=a_n$ η σχέση γράφεται: $x^2+x=ky^2+ky+kxy-xy\Rightarrow (x-ky)(x+1)=-y(x-ky)$ .Για $x-ky\ne 0$ είναι x+y=-1

άτοπο.Άρα $x=ky\Rightarrow \displaystyle\frac{x}{y}=k$ δηλάδη το ζητούμενο.

ΘΑΛΗΣ 2005 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΑΛΗΣ 2005 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2005 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2005 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2005 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2005 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2005 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2005 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2005 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση