ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1997 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

parmenides51 · #1

1. Με πόσους τρόπους μπορούμε να παραστήσουμε τον πρώτο $\displaystyle{1997}$ ως διαφορά δύο τετραγώνων φυσικών αριθμών;

2. Να βρεθεί ο ακέραιος αριθμός $\displaystyle{\kappa }$ , ώστε ο αριθμός $\displaystyle{A=\frac{\sqrt{28-10\sqrt{3}}+\sqrt{5-2\sqrt{6}}+\sqrt{18+8\sqrt{2}}}{\kappa -2}}$ να είναι ακέραιος.

3. Να βρεθούν οι γωνίες του τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ , αν $\displaystyle{AB=3\sqrt 3\cdot 2^{\nu- 1} , B\Gamma=2^{\nu+2}- 2^{\nu+ 1}+2^{\nu} , A\Gamma=2^{\nu+1}- 2^{\nu}+2^{\nu-1} , \nu\in\matbb{N} , \nu\ne 0}$ .
Να προσδιοριστεί το $\displaystyle{\nu}$ , αν η περίμετρος του $\displaystyle{AB\Gamma}$ είναι $\displaystyle{3( 3+ \sqrt3)}$ .

4. Έχουμε άπειρα ίσα ισόπλευρα τρίγωνα και στις κορυφές καθενός τοποθετούμε τους αριθμούς $\displaystyle{1, 2, 3}$ . Μπορούμε να τοποθετήσουμε μερικά τρίγωνα, το ένα πάνω στο άλλο, ώστε σε κάθε κορυφή το άθροισμα των αριθμών να είναι $\displaystyle{97}$ ;

parmenides51 · #2

parmenides51 έγραψε: 3. Να βρεθούν οι γωνίες του τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ , αν $\displaystyle{AB=3\sqrt 3\cdot 2^{\nu- 1} , B\Gamma=2^{\nu+2}- 2^{\nu+ 1}+2^{\nu} , A\Gamma=2^{\nu+1}-2^{\nu}+2^{\nu-1} , \nu\in\matbb{N} , \nu\ne 0}$ .
Να προσδιοριστεί το $\displaystyle{\nu}$ , αν η περίμετρος του $\displaystyle{AB\Gamma}$ είναι $\displaystyle{3( 3+ \sqrt3)}$ .

εδώ

tsaknakis · #3

parmenides51 έγραψε:
4. Έχουμε άπειρα ίσα ισόπλευρα τρίγωνα και στις κορυφές καθενός τοποθετούμε τους αριθμούς $\displaystyle{1, 2, 3}$ . Μπορούμε να τοποθετήσουμε μερικά τρίγωνα, το ένα πάνω στο άλλο, ώστε σε κάθε κορυφή το άθροισμα των αριθμών να είναι $\displaystyle{97}$ ;

Έστω ότι χρειαστήκαμε χ τρίγωνα

ας υποθέσουμε ότι στην πρώτη κορυφή προσθέσαμε a το πλήθος

, b το πλήθος

και

το πλήθος 3.
Τότε a1+b2+c3=97 (1)

αντίστοιχα για τις υπόλοιπες κορυφές θα έχουμε
d1+e2+f3=97 (2)

Προσθέτοντας τις (1),(2)

και

έχουμε

$a+d+g+(b+e+h)2+(c+f+i)=3\cdot97 (*)$

όμως a+d+g=b+e+h=c+f+i=x

συνεπώς η

γίνεται
$x+2x+3x=3\cdot97$
$6x=3\cdot97$
2x=97

άτοπο, αφού ο

είναι περιττός

#4

parmenides51 έγραψε:2. Να βρεθεί ο ακέραιος αριθμός $\displaystyle{\kappa }$ , ώστε ο αριθμός $\displaystyle{A=\frac{\sqrt{28-10\sqrt{3}}+\sqrt{5-2\sqrt{6}}+\sqrt{18+8\sqrt{2}}}{\kappa -2}}$ να είναι ακέραιος.

Έχουμε:

$\displaystyle{\sqrt{28-10\sqrt{3}}=\sqrt{25+3-2.5.\sqrt{3}}=\sqrt{5^2 +(\sqrt{3})^2 -2.5.\sqrt{3}}=\sqrt{(5-\sqrt{3})^2 }=|5-\sqrt{3}|=}$

$\displaystyle{=5-\sqrt{3}}$

$\displaystyle{\sqrt{5-2\sqrt{6}}=\sqrt{2+3-2\sqrt{2}\sqrt{3}}=\sqrt{(\sqrt{2})^2 +(\sqrt{3})^2 -2\sqrt{2}\sqrt{3}}=}$

$\displaystyle{=\sqrt{(\sqrt{2}-\sqrt{3})^2 }=|\sqrt{2}-\sqrt{3}|=\sqrt{3}-\sqrt{2}}$

$\displaystyle{\sqrt{18+8\sqrt{2}}=\sqrt{16+2+2.4.\sqrt{2}}=\sqrt{4^2 +(\sqrt{2})^2 +2.4.\sqrt{2}}=\sqrt{(4+\sqrt{2})^2}=}$

$\displaystyle{=|4+\sqrt{2}|=4+\sqrt{2}}$

Με βάση τα παραπάνω, έχουμε:

$\displaystyle{A=\frac{5-\sqrt{3}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+4+\sqrt{2}}{k-2}=\frac{9}{k-2}$

Για να είναι ακέραιος ο αριθμός αυτός, πρέπει:

$\displeystyle{k-2=1\Rightarrow k=3$ , ή $k-2=-1\Rightarrow k=1$ , ή $k-2=3\Rightarrow k=5$ , ή $k-2=-3\Rightarrow k=-1$ ,

ή $k-2=9\Rightarrow k=11$ , ή $k-2=-9\Rightarrow k=-7$

#5

parmenides51 έγραψε:1. Με πόσους τρόπους μπορούμε να παραστήσουμε τον πρώτο $\displaystyle{1997}$ ως διαφορά δύο τετραγώνων φυσικών αριθμών;

Εστω $\displaystyle{m , n\epsilon N}$ , ώστε να είναι : $\displaystyle{m^2 -n^2 =1997\Rightarrow (m-n)(m+n)=1997}$ . Αφού όμως ο 1997

είναι

πρώτος, θα πρέπει:

$\displaystyle{m-n=1 , m+n=1997}$ , (από όπου προκύπτει εύκολα ότι $\displaystyle{m=999 , n=998}$ ) ή

$\displaystyle{m-n=1997 , m+n=1}$ , το οποίο αμέσως απορρίπτεται (αφού προκύπτει με αφαίρεση κατά μέλη ότι $\displaystyle{2n=-1996}$ , πράγμα που είναι άτοπο αφού $\displaystyle{n\epsilon N}$ )

Άρα ο μόνος τρόπος να γραφεί ο 1997

ως διαφορά τετραγώνων φυσικών αριθμών, είναι: $\displaystyle{999^2 -998^2}$ .

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1997 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1997 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1997 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1997 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1997 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1997 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση