ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2000 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

parmenides51 · #1

1. α) Nα αποδείξετε ότι: $\displaystyle{\frac{{\color{red}2}}{\nu (\nu +1)(\nu +2)}=\left(\frac{1}{\nu}-\frac{1}{\nu +1}\right)-\left(\frac{1}{\nu+1}-\frac{1}{\nu +2}\right)}$

β) Να υπολογιστεί το άθροισμα $\displaystyle{\Sigma =\frac{1}{1\cdot 2 \cdot3}+\frac{1}{2\cdot 3 \cdot4}+\frac{1}{4\cdot 5 \cdot6}+...+\frac{1}{1999\cdot 2000 \cdot2001}}$

2. Για τους αριθμούς $\displaystyle{\alpha,\beta,x,y}$ ισχύει $\displaystyle{xy - \alpha\beta=1}$ . Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\alpha^2+ \beta^2+x^2+ y^2+\alpha x+\beta y>1}$ .

3. α) Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση $\displaystyle{x^4+4y^4}$ .
β) Αν οι αριθμοί $\displaystyle{x,y}$ είναι θετικοί ακέραιοι με $\displaystyle{y\ge 2}$ , να αποδείξετε ότι ο αριθμός $\displaystyle{x^4+4y^4}$ είναι σύνθετος.

4. Στο σχήμα έχουμε:
(α) το τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές
(β) $\displaystyle{A\Delta=x, AE=y,A\Gamma=2x+y}$
(γ) Το $\displaystyle{\Delta EZH}$ είναι τετράγωνο με $\displaystyle{(\Delta EZH)={\color{red}\frac{2}{5}} (AB\Gamma)}$ .
Να υπολογίσετε:
1) το λόγο $\displaystyle{\frac{x}{y}}$ και
2) το λόγο $\displaystyle{\frac{(A\Delta E)}{(AB\Gamma)}}$

: Eykleidhs 2000 4og.PNG (3.73 KiB) Προβλήθηκε 1728 φορές

Σημείωση: Το 3ο θέμα είναι ίδιο με το 3ο θέμα της Α Λυκείου της ίδιας χρονιάς (εδώ)

edit's
1. Διόρθωση του συντελεστή στο 4ο θέμα
2. Προσθήκη σημείωσης
3. Διόρθωση αριθμού στο 1ο θέμα

parmenides51 · #2

parmenides51 έγραψε:1. α) Nα αποδείξετε ότι: $\displaystyle{\frac{{\color{red}2}}{\nu (\nu +1)(\nu +2)}=\left(\frac{1}{\nu}-\frac{1}{\nu +1}\right)-\left(\frac{1}{\nu+1}-\frac{1}{\nu +2}\right)}$

β) Να υπολογιστεί το άθροισμα $\displaystyle{\Sigma =\frac{1}{1\cdot 2 \cdot3}+\frac{1}{2\cdot 3 \cdot4}+\frac{1}{4\cdot 5 \cdot6}+...+\frac{1}{1999\cdot 2000 \cdot2001}}$

εδώ κι εδώ

parmenides51 έγραψε: 2. Για τους αριθμούς $\displaystyle{\alpha,\beta,x,y}$ ισχύει $\displaystyle{xy -\alpha\beta=1}$ . Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\alpha^2+ \beta^2+x^2+ y^2+\alpha x+\beta y>1}$ .

εδώ

parmenides51 έγραψε: 3. α) Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση $\displaystyle{x^4+4y^4}$ .
β) Αν οι αριθμοί $\displaystyle{x,y}$ είναι θετικοί ακέραιοι με $\displaystyle{y\ge 2}$ , να αποδείξετε ότι ο αριθμός $\displaystyle{x^4+4y^4}$ είναι σύνθετος.

εδώ (άσκηση 35)

hlkampel · #3

parmenides51 έγραψε: 4. Στο σχήμα έχουμε:
(α) το τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές
(β) $\displaystyle{A\Delta=x, AE=y,A\Gamma=2x+y}$
(γ) Το $\displaystyle{\Delta EZH}$ είναι τετράγωνο με $\displaystyle{(\Delta EZH)={\color{red}\frac{2}{5}} (AB\Gamma)}$ .
Να υπολογίσετε:
1) το λόγο $\displaystyle{\frac{x}{y}}$ και
2) το λόγο $\displaystyle{\frac{(A\Delta E)}{(AB\Gamma)}}$
Το συνημμένο Eykleidhs 2000 4og.PNG δεν είναι πλέον διαθέσιμο

1) Από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο ${\rm A}\Delta {\rm E}$ είναι:

$\Delta {{\rm E}^2} = {x^2} + {y^2}$ οπότε και $\left( {\Delta {\rm E}{\rm Z}{\rm H}} \right) = \Delta {{\rm E}^2} = {x^2} + {y^2}$

Αφού το τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές τότε ${\rm A}{\rm B} = {\rm A}\Gamma = 2x + y$ και

$\displaystyle\left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma } \right) = \frac{1}{2}{\rm A}{\rm B} \cdot {\rm A}\Gamma = \frac{1}{2}\left( {4{x^2} + 4xy + {y^2}} \right)$

$\displaystyle\left( {\Delta {\rm E}{\rm Z}{\rm H}} \right) = \frac{2}{5}\left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma } \right) \Rightarrow {x^2} + {y^2} = \frac{1}{5}\left( {4{x^2} + 4xy + {y^2}} \right) \Rightarrow {x^2} + 4{y^2} - 4xy = 0$ (1)

Αν διαιρέσουμε τη σχέση (1) με $xy \ne 0$ έχουμε ότι:

$\displaystyle\frac{x}{y} + 4\frac{y}{x} - 4 = 0$ και θέτοντας σ’ αυτήν $\displaystyle\frac{x}{y} = \alpha$ παίρνουμε:

$\alpha + \frac{4}{\alpha } - 4 = 0\mathop \Rightarrow \limits^{ \cdot \alpha } {\alpha ^2} - 4\alpha + 4 = 0 \Leftrightarrow {\left( {\alpha - 2} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \alpha = 2$

Άρα $\displaystyle\frac{x}{y} = 2$

2) Είναι $\displaystyle\frac{x}{y} = 2 \Leftrightarrow x = 2y$

Έτσι ${\rm A}{\rm B} = {\rm A}\Gamma = 2 \cdot 2y + y = 5y$ οπότε

$\displaystyle\left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma } \right) = \frac{1}{2}5y \cdot 5y = \frac{{25{y^2}}}{2}$

$\displaystyle\left( {{\rm A}\Delta {\rm E}} \right) = \frac{1}{2}xy = {y^2}$

$\displaystyle\frac{{\left( {{\rm A}\Delta {\rm E}} \right)}}{{\left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma } \right)}} = \frac{{{y^2}}}{{\frac{{25{y^2}}}{2}}} \Leftrightarrow \frac{{\left( {{\rm A}\Delta {\rm E}} \right)}}{{\left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma } \right)}} = \frac{2}{{25}}$

Σταύρος Σταυρόπουλος · #4

Μήπως ο αριθμητής στο 1ο μέλος του θέματος 1α είναι 2 αντί 1;

parmenides51 · #5

και στην παραπομπή που είναι λυμένη 2 έχει

, οκ διορθώθηκε

ενημέρωσα και τις πηγές

θενξ

Σταύρος Σταυρόπουλος · #6

Να είσαι πάντα καλά και θα ήθελα να σε ευχαριστήσω για την τεράστια προσφορά σου.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2000 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2000 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2000 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2000 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2000 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2000 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2000 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση