ΘΑΛΗΣ 1998 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#1

1ο Θέμα
Δίνεται ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο και αφαιρείται ένας κυκλικός δίσκος από το εσωτερικό του. Να κατασκευασθεί ευθεία η οποία διαιρεί την περιοχή που έχει σύνορο τις 4 πλευρές του ορθογωνίου και τον κύκλο σε δύο ισεμβαδικά μέρη.

2ο Θέμα
Πόσες πραγματικές ρίζες έχει η εξίσωση $2x^8+18x^6-64x^3+81=0 \ \ ;$

3ο Θέμα
Να βρεθούν όλοι οι φυσικοί αριθμοί

για τους οποίους ο αριθμός $\dfrac{n^3+5}{n^2+7}$ είναι ακέραιος.

4ο Θέμα
Να υπολογιστεί το άθροισμα $\displaystyle{\dfrac{3}{1^2\cdot 2^2}+\dfrac{5}{2^2\cdot 3^2}+\dfrac{7}{3^2\cdot 4^2}+\cdots + \dfrac{2n+1}{n^2\cdot (n+1)^2}$ όπου

θετικός ακέραιος.

Αλέξανδρος

chris · #2

1ο Θέμα
Δίνεται ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο και αφαιρείται ένας κυκλικός δίσκος από το εσωτερικό του. Να κατασκευασθεί ευθεία η οποία διαιρεί την περιοχή που έχει σύνορο τις 4 πλευρές του ορθογωνίου και τον κύκλο σε δύο ισεμβαδικά μέρη.

Προφανώς πρόκειται για την ευθεία που διέρχεται από το κέντρο του κύκλου και το σημείο τομής των διαγωνίων του ορθογωνίου.

2ο Θέμα
Πόσες πραγματικές ρίζες έχει η εξίσωση $2x^8+18x^6-64x^3+81=0 \ \ ;$

$\displaystyle 2x^8+18x^6-64x^3+81=0 \Leftrightarrow 2x^8 +2x^6 +\left(16x^6-64x^3+64 \right)+17=0\Leftrightarrow 2x^8+2x^6+\left(4x^3-8 \right)^2+17=0$
άρα είναι αδύνατη στο $\mathbb{R}$ .

3ο Θέμα
Να βρεθούν όλοι οι φυσικοί αριθμοί για τους οποίους ο αριθμός $\dfrac{n^3+5}{n^2+7}$ είναι ακέραιος.

$\displaystyle \frac{n^3+5}{n^2+7}=n-\frac{7n-5}{n^2+7}$
Άρα πρέπει και αρκεί n^2+7|7n-5

, όμως
$\displaystyle n^2+7\leq 7n-5 \Leftrightarrow \left(n-3 \right)\left(n-4 \right)\leq 0 \stackrel{n \in \mathbb{Z}}\Leftrightarrow n=3 \; \; \grave{\eta } \; \;n=4$
που είναι και οι δύο δεκτές.

cretanman έγραψε:4ο Θέμα
Να υπολογιστεί το άθροισμα $\displaystyle{\dfrac{3}{1^2\cdot 2^2}+\dfrac{5}{2^2\cdot 3^2}+\dfrac{7}{3^2\cdot 4^2}+\cdots + \dfrac{2n+1}{n^2\cdot (n+1)^2}$ όπου θετικός ακέραιος.

Γενικά είναι: $\displaystyle \frac{2n+1}{n^2\left(n+1 \right)^2}=\frac{1}{n^2}-\frac{1}{(n+1)^2}$
και επομένως
$\displaystyle S=\left(\frac{1}{1^2}-\frac{1}{2^2} \right)+\left(\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3^2} \right)+\left(\frac{1}{3^2}-\frac{1}{4^2} \right)+...+\left(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{(n+1)^2} \right)=1-\frac{1}{(n+1)^2}\Rightarrow \boxed{S=\frac{n^2+2n}{(n+1)^2}}$

parmenides51 · #3

Μετά το εντυπωσιακό

των θεμάτων από τον Χρήστο , ας δούμε πιο αναλυτικά το

cretanman έγραψε:1ο Θέμα
Δίνεται ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο και αφαιρείται ένας κυκλικός δίσκος από το εσωτερικό του. Να κατασκευασθεί ευθεία η οποία διαιρεί την περιοχή που έχει σύνορο τις 4 πλευρές του ορθογωνίου και τον κύκλο σε δύο ισεμβαδικά μέρη.

εδώ

ΘΑΛΗΣ 1998 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΑΛΗΣ 1998 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1998 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1998 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση