ΘΑΛΗΣ 2004 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

parmenides51 · #1

1. Να λυθεί στους πραγματικούς αριθμούς η εξίσωση $\displaystyle{(x^2 −1)(x^2 − 3)(x^2 − 2)^2 = 72}$

2. Να βρεθούν οι θετικοί ακέραιοι $\displaystyle{x, y}$ για τους οποίους ισχύει ότι $\displaystyle{9(x^2 + y^2 ) +10xy =177 + x^2y^2}$

3. Δίνεται ο αριθμός $\displaystyle{S(\nu) =1^5 + 2^5 +...+ \nu^5 , \nu \in \mathbb{N}^*}$ . Να προσδιορίσετε τους αριθμούς $\displaystyle{\nu}$ για τους οποίους ισχύει ότι : $\displaystyle{(\nu +1) |S(\nu)}$

4. Θεωρούμε τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ , τη διχοτόμο του $\displaystyle{BE}$ , το μέσο $\displaystyle{M}$ της $\displaystyle{E\Gamma}$ και σημείο $\displaystyle{ K}$ της πλευράς $\displaystyle{AB}$ τέτοιο ώστε η διχοτόμος $\displaystyle{BE}$ να τέμνει τη $\displaystyle{MK}$ στο μέσο της $\displaystyle{O}$ . Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\widehat{BO\Gamma} > 90^o}$ .

hlkampel · #2

parmenides51 έγραψε:1. Να λυθεί στους πραγματικούς αριθμούς η εξίσωση $\displaystyle{(x^2 −1)(x^2 − 3)(x^2 − 2)^2 = 72}$

Με $\omega = {x^2} - 2$ η εξίσωση γίνεται:

$\left( {\omega + 1} \right)\left( {\omega - 1} \right){\omega ^2} - 72 = 0 \Leftrightarrow {\omega ^4} - {\omega ^2} - 72 = 0 \Leftrightarrow \left( {{\omega ^2} - 9} \right)\left( {{\omega ^2} + 8} \right) = 0$

Έτσι ${\omega ^2} + 8 = 0 \Leftrightarrow {\omega ^2} = - 8 < 0$ άτοπο

ή

${\omega ^2} - 9 = 0 \Leftrightarrow {\omega ^2} = 9 \Leftrightarrow \omega = - 3\;\dot \eta \;\omega = 3$

Αν $\omega = - 3 \Leftrightarrow {x^2} - 2 = - 3 \Leftrightarrow {x^2} = - 1 < 0$ αδύνατο

Αν $\omega = 3 \Leftrightarrow {x^2} - 2 = 3 \Leftrightarrow {x^2} = 5 \Leftrightarrow x = \sqrt 5 \;\dot \eta \;x = - \sqrt 5$ που επαληθεύουν την εξίσωση.

#3

parmenides51 έγραψε:1. Να λυθεί στους πραγματικούς αριθμούς η εξίσωση $\displaystyle{(x^2 −1)(x^2 − 3)(x^2 − 2)^2 = 72}$

Και ένας ακόμα τρόπος με μιοκροδιαφορές από αυτόν του Ηλία:

Η δοσμένη εξίσωση γράφεται: $\displaystyle{(x^4 -4x^2 +3)(x^4 -4x^2 +4)=72}$ . Θέτουμε: $\displaystyle{x^4 -4x^2 +4=(x^2 -2)^2 =k}$ . Τότε:

$\displaystyle{(k-1)k=72\Leftrightarrow k^2 -k-72=0}$ και αφού προφανώς είναι $k\geq 0$ , βρίσκουμε ότι $\displaystyle{k=9}$ . Άρα:

$\displaystyle{(x^2 -2)^2 =9\Leftrightarrow x^2 -2=3}$ (γιατί η περίπτωση $\displaystyle{x^2 -2=-3\Leftrightarrow x^2 =-1}$ , απορρίπτεται.)

Άρα $\displaystyle{x^2 =5\Leftrightarrow x=\sqrt{5}}$ , ή $\displaystyle{x=-\sqrt{5}}$

sokratis lyras · #4

parmenides51 έγραψε:
3. Δίνεται ο αριθμός $\displaystyle{S(\nu) =1^5 + 2^5 +...+ \nu^5 , \nu \in \mathbb{N}^*}$ . Να προσδιορίσετε τους αριθμούς $\displaystyle{\nu}$ για τους οποίους ισχύει ότι : $\displaystyle{(\nu +1) |S(\nu)}$

Αν $n\equiv 0\mod 2$ το ζητούμενο ισχύει λόγω της γνωστής : $a^m+b^m\equiv 0\mod (a+b)$ όπου

περιττό.
Για

περιττό,για να ισχύει το ζητούμενο πρέπει $\displaystyle\left( \frac{n+1}{2}\right)^5\equiv 0\mod (n+1)$ (1), αφού τους υπόλοιπους όρους τους παίρνουμε άνα 2(1ος-nιοστος κ.ο.κ.) που διαιρούνται με το n+1

.
H (1) είναι ισοδύναμη με την $\displaystyle\frac{(n+1)^4}{2^5}\in N$ .Για $n\equiv 1\mod 4$ καταλήγουμε στην $(2k+1)/2 \in N$ που είναι άτοπο.Για $n\equiv 3\mod 4$ καταλήγουμε στην $4^4(l+1)/2^5\in N$
που ισχύει.

#5

parmenides51 έγραψε:2. Να βρεθούν οι θετικοί ακέραιοι $\displaystyle{x, y}$ για τους οποίους ισχύει ότι $\displaystyle{9(x^2 + y^2 ) +10xy =177 + x^2y^2}$

'Εχουμε:

$\displaystyle{9(x^2 +y^2 )+10xy=177+x^2 y^2 \Leftrightarrow 9(x^2 +y^2 +2xy)-18xy+1oxy=x^2 y^2 +177\Leftrightarrow}$

$\displaystyle{9(x+y)^2 =x^2 y^2 +8xy +16+161\Leftrightarrow (3x+3y)^2 =(xy+4)^2 +161\Leftrightarrow }$

$\displaystyle{(3x+3y)^2 -(xy+4)^2 =161 \Leftrightarrow (3x+3y-xy-4)(3x+3y+xy+4)=1.7.23}$ , (1)

Αφού $\displaystyle{x , y\epsilon N^{*}}$ , θα έχουμε ότι $\displaystyle{3x+3y-xy-4<3x+3y+xy+4}$ , οπότε από την σχέση (1) έχουμε:

$\displaystyle{3x+3y-xy-4=1 , 3x+3y+xy+4=161}$ , ή $\displaystyle{3x+3y-xy-4=7 , 3x+3y+xy+4=23}$

1η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: $\displaystyle{3x+3y-xy-4=1 , 3x+3y+xy+4=161}$

Τότε με πρόσθεση κατά μέλη αυτών έχουμε $\displaystyle{6x+6y=162\Leftrightarrow x+y=27}$ . Συνεπώς προκύπτει το σήστημα:

$\displaystyle{x+y=27}$

$\displaystyle{xy=76}$

Συνεπώς τα x , y

είναι οι ρίζες της εξίσωσης $\displaystyle{k^2 -27k+76=0}$ , η οποία όμως έχει διακρίνουσα D=4.1417

, που δεν είναι τέλειο τετράγωνο και άρα η περίπτωση αυτή απορρίπτεται, αφού δεν προκύπτουν ακέραιες λύσεις.

2η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: $\displaystyle{3x+3y-xy-4=7 , 3x+3y+xy+4=23}$

Τότε πάλι με πρόσθεση κατά μέλη έχουμε $\displaystyle{6x+6y=30\Leftrightarrow x+y=5}$ . Συνεπώς προκύπτει το σύστημα:

$\displaystyle{x+y=5}$

$\displaystyle{xy=4}$ ,

από το οποίο βρίσκουμε ότι $\displaystyle{x=4 , y=1}$ , ή $\displaystyle{x=1 , y=4}$

parmenides51 · #6

parmenides51 έγραψε:4. Θεωρούμε τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ , τη διχοτόμο του $\displaystyle{BE}$ , το μέσο $\displaystyle{M}$ της $\displaystyle{E\Gamma}$ και σημείο $\displaystyle{ K}$ της πλευράς $\displaystyle{AB}$ τέτοιο ώστε η διχοτόμος $\displaystyle{BE}$ να τέμνει τη $\displaystyle{MK}$ στο μέσο της $\displaystyle{O}$ . Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\widehat{BO\Gamma} > 90^o}$ .

Grigoris K. έγραψε:
έχει λυθεί εδώ και μάλιστα γενικεύθηκε.

ευχαριστούμε για την ενημέρωση

Υ.Γ. Είχε περιττό δεδομένο.

ΘΑΛΗΣ 2004 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΑΛΗΣ 2004 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2004 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2004 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2004 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2004 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2004 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση